精品解析：重庆市两江中学校2025-2026学年高一下学期过程评估数学试题

重庆市两江中学校2025—2026学年高2028届高一（下）过程评估 数学试题 命题说明： 1.考试时间：120分钟，试卷满分：150分； 2.作答时，请将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意第4题分为云校班和非云校班） 1. 已知向量，满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量平行的坐标关系，可求得的值.再根据向量加法和数乘的坐标运算即可求得. 【详解】向量，满足，，若∥ 则，解得 所以， 由向量加法和数乘的坐标运算可得 故选：A 【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系，由平行关系求参数，平面向量加法和数乘的坐标运算，属于基础题. 2. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i 【答案】C 【解析】 【详解】，所以z的虚部为4． 3. 在平行四边形中，点为的中点，与的交点为.设，，则向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过三角形相似得到与的比例关系，再用表示，最终即可求出. 【详解】因为，所以，则有，所以． 又因为，且，，所以． 从而. 4. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ） A. ①② B. ①⑤ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱及圆锥的截面性质判断即可. 【详解】当竖直截面经过圆柱、圆锥的轴线（轴截面）时： 圆柱截面是矩形，圆锥截面是等腰三角形，挖去后内部是V形缺口，对应图形①. 当竖直截面不经过轴线时： 圆柱竖直截线依然是直线，但圆锥被不经过顶点的竖直平面截取，截线是曲线，缺口边缘是弧线，对应图形⑤. 圆锥被竖直平面截，只有过顶点时截线才是直线；不过顶点时内侧边缘一定是曲线，不会是直线段，故排除②③④. 6. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意画出图形，结合正弦定理即可求解. 【详解】 设甲船初始位置为，航行后位置为，灯塔为， 由题意， 航行后灯塔在正西方，结合方位关系可得， 根据正弦定理， 代入已知值：，  因此此时甲船距离灯塔. 7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 8. 在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，求出所需各点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】 以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，设与轴交于点， 因为，，，，，分别为，的中点， 可得，， ，， 所以，，，，，， 所以，， ， 故选：D. 9. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分． 10. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第二象限 D. 复数z是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数除法法则和模长公式对A作出判断，由共轭复数的定义判断B，由复数的几何意义判断C；代入检验得到D正确. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 由题意得，故B错误： 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C正确； 因为， 所以复数是方程的一个根，故D正确． 11. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由向量与的夹角为钝角，得，解得，A正确； 对于B，，当且仅当取到等号，B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，C错误； 对于D，由，得，解得，D正确. 12. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B；由棱锥底面积与高为定值判断C；设BE＝x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D． 【详解】在直三棱柱中，，， 底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 直三棱柱的体积为，故B不正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值， ××2＝，××＝，故C正确； 设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义， 即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 13. 将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用体积相等求出，进而可求其表面积. 【详解】设实心铁球的半径为， 由题意可知，得， 故实心铁球的表面积为， 故答案为： 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【解析】 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解； ②过作的平行线，交于点，分别在中运用余弦定理，求得，结合即可求得的面积. 【详解】①因为， 由正弦定理，得 即 因为，所以 所以 因为，所以 所以. ②因为的外接圆半径为，， 由正弦定理，得，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以 因为D在边BC上，且，所以. 如图，过作的平行线，交于点. 在中，. 由余弦定理，得 即， 所以， 又 所以 故的面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出坐标利用两个向量平行的对应，以及向量模的公式列方程求解即可； （2）利用向量的数量积与向量垂直与夹角公式求解即可. 【详解】解：（1）设， ， ，即.① 由，得.② 解①②得或 或. （2）， ，即. 又， ，整理得. . 又. 17. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为线段的中点，为正方形对角线的交点． （1）求证：面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，由线面平行的判定定理可得到证明； （2）由即可求得答案. 【小问1详解】 为正方形对角线的交点，即为的中点，为线段的中点，在中为中位线， 可得，面，面， 由线面平行的判定定理可得面； 【小问2详解】 为等边三角形，且边长为2，可得, 因为棱柱为正棱柱，则面， 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）求的单调增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由图象观察可得，求出最小正周期可得； （2）根据正弦函数性质列不等式计算求解单调增区间； （3）由，得，根据正弦函数性质求解. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 因为，所以， 当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为. 19. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）； （2）体积为，表面积为． 【解析】 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【小问1详解】 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. 【小问2详解】 四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 20. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简得到，得到； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； （3）由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围 【小问1详解】 由， 因为， 所以， 由，得，又，则． 【小问2详解】 如图： 由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． 【小问3详解】 因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 21. 如图，在中，，，，，，设与交于点，且． （1）求的值； （2）定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市两江中学校2025—2026学年高2028届高一（下）过程评估 数学试题 命题说明： 1.考试时间：120分钟，试卷满分：150分； 2.作答时，请将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意第4题分为云校班和非云校班） 1. 已知向量，满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i 3. 在平行四边形中，点为的中点，与的交点为.设，，则向量等于（ ） A. B. C. D. 4. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ） A. ①② B. ①⑤ C. ②③ D. ①④ 6. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 9. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分． 10. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第二象限 D. 复数z是方程的一个根 11. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 12. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 13. 将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________． 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 17. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为线段的中点，为正方形对角线的交点． （1）求证：面； （2）求三棱锥的体积． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）求的单调增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 19. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 20. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 21. 如图，在中，，，，，，设与交于点，且． （1）求的值； （2）定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $