北京市中央民族大学附属中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷，以函数、几何、概率等核心模块为载体，通过AI幻觉率统计、新定义数列等创新设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据处理能力，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、概率、函数性质|基础巩固，梯度合理| |填空题|5/25|定义域、解三角形、函数零点|能力提升，多模块综合| |解答题|6/85|导数应用、AI概率统计、新定义数列|创新应用，如19题结合AI科技情境，21题“n数列”定义考查创新意识|

民大附中2026~2027学年度第一学期开学 高三数学试卷 2026.8 （时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 7．设，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数．则下列结论中错误的是（   ） A．当时，函数在单调递减 B．当时，函数有最大值2 C．当时，函数有3个极值点 D．当时，直线与曲线恰有2个交点 9．已知函数，则下列四个结论不正确的是（    ） A．有极小值 B．恰有2个零点 C．，使得不等式恒成立 D．，使得关于的方程有3个不同的实数解 10．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为 . 12．已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ． 13．已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 14．在锐角△ABC中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 15．已知函数．给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则； ④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足． 其中所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．在△ABC中，已知． (1)求角的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求的面积． 条件①： ； 条件②：； 条件③：△ABC的周长是． 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 17．已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 18．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设（为的导数），求的单调区间； (3)求的极值点的个数． 19．幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 20．已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 21．给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 (1)写出两个数列； (2)若为数列，求的值； (3)求的最大值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答 案 2026.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B B B D D C A 11． 12． 13． 14． 2 15．②③ 16．（1）因为，得到， 由余弦定理可得，又， 可得. （2）若选①：，所以角有两个，不符合条件； 若选②：因为，由正弦定理可得， 在三角形中，可得， 所以，， 且， 由正弦定理可得，所以，解得，又， 所以， 若选③：的周长是，因为，可得， 即，由余弦定理，可得， 整理得到，则， 可知方程有两个不相等的实根，且， 可知方程方程有两个不相等的正实根，即边不唯一，不合题意， 综上所述：只有②符合条件，且此时三角形的面积为． 17．（1）因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. （2）因为, 令,可得, 又因为,令,得, 令,得, 所以函数在上的单调递减区间为， 18．（1）， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得. （2）由（1）知，，则， 易知的定义域为，又， 令，得， 所以的变化情况如下表 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）的极值点个数就是的变号零点的个数， 又恒成立，也即的变号零点的个数． 由（2）知的单调递增区间是，单调递减区间是， 因为， ， 所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使得， 的变化情况如下表： 0 所以的极值点个数为3． 19．（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 （2）幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 , 故 （3）来自于乙公式的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”，     “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉”     则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 20．（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 21．（1）数列：①1，2，3；②1，3，2；③3，1，2；④3，2，1（任取两个）. （2）当时，因为或， 所以或， 所以； 当时，因为；；； 均是数列，所以可以为， 假设存在，则此时， 记，其中， 记，其中， 由条件（2），之后必有， 直到集合中某一个数出现在数列的最后两项中； 同理集合中必有某一个数出现在数列的最后两项中， 由于集合，中的数均与同奇偶，所以同奇偶，不妨设均为奇数， 考虑数列中最后一项偶数，必不能满足条件（2），矛盾，假设错误． 所以. （3）设，， 由（2）知，必为一奇一偶， 考虑在数列中出现的先后顺序，与（2）同理，首次出现的必为最小值1或最大值， 接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共种先后顺序， 同理，在数列中出现的先后顺序共种， 先确定分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，所以共种方法， 所以， 当时，； 当时，， 所以， ， 所以的最大值为4，当时取到． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $