1.2空间向量基本定理 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，以“基础概念—几何体应用—综合计算证明”为路径，分层设计梯度合理，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间基底概念辨析|选择题1-2直接考查基底定义，强化概念理解| |能力提升|向量线性表示与共面判断|多选题9-11结合共面条件，培养推理意识| |综合应用|几何体中向量运算与证明|解答题15-16融合正方体折叠与夹角计算，发展空间观念|

1.2空间向量基本定理 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】∵＝(a－b)，∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间基底． 2.在长方体ABCD -A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间的一个基底． 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）直三棱柱中，若，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于，又因为在直三棱柱中. 所以. 已知，，，代入可得：. 答案为D. 4.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，点在上，且满足. 又因为是边的中点，所以，由此可得， 向量可表示为， 将上述表达式代入得， 整理后得， 因此，选项 D 正确. 5.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则||＝(　　) A.   B.   C.   D.2 【答案】A 【解析】过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N(图略)，则可得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝，所以||＝.故选A. 6.若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是(　　) A.{c+a，c，c-a} B.{b，b+c，b-c} C.{b+c，a+b+c，a} D.{b+c，b-c，a} 【答案】D 【解析】对于A，因为(c+a)+(c-a)=2c，所以向量c+a，c-a，c共面，所以{c+a，c，c-a}不能构成空间的一个基底； 对于B，因为(b+c)+(b-c)=2b，所以向量b+c，b-c，b共面，所以{b，b+c，b-c}不能构成空间的一个基底； 对于C，因为(b+c)+a=a+b+c，所以b+c，a+b+c，a共面，所以{b+c，a+b+c，a}不能构成空间的一个基底； 对于D，因为不存在x，y∈R，使得a=x(b+c)+y(b-c)，所以b+c，b-c，a不共面，所以{b+c，b-c，a}可以构成空间的另一个基底. 7.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　) A.   B.   C.   D. 【答案】B 【解析】因为＝x＋y＋z＝x＋y＋，O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1， 同理可得＋＋z＝1， 解得x＋y＝，z＝.所以x＋y＋z＝. 8.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，M，N分别为AC，A1B1的中点，设=a，=b，=c，则可用a，b，c表示为(　　) A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c 【答案】B 【解析】因为在三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，所以AB=2A1B1，又由题意得=，=，所以=++=-++=-++=a-b+c. 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·四川眉山高二上期中）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】A选项：设，展开得. 可得，解得，，有解，向量共面，A不符合. B选项：设，展开得. 可得，方程组无解，向量不共面，B符合. C选项：设，展开得. 可得，无解，向量不共面，C符合. D选项：设，展开得. 可得，无解，向量不共面，D符合. 故选：BCD. 10.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则可以与向量p=e1+e2，q=e1-e2构成基底的向量是(　　) A.e1 B.e3 C.e1+2e2 D.e1+2e3 【答案】BD 【解析】能与p，q构成基底，则与p，q不共面. ∵e1=，e2=，e1+2e2=p-q， ∴A，C都不符合题意.∵{e1，e2，e3}为一个基底，∴e3，e1+2e3与p，q不共面，可构成基底. 11.（2025-2026·湖南岳阳高二下期末）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】构成空间的一个基底，故不共面，三个向量可构成空间基底的充要条件是三向量不共面，若存在不全为零的实数使，则三向量共面，不能构成基底. 对选项A，，系数不全为零，故三向量共面，不能构成基底. 对选项B，，系数不全为零，故三向量共面，不能构成基底. 对选项C，设，整理得，结合不共面，得方程组仅有唯一零解，故三向量不共面，可以构成基底. 对选项D，设，整理得，结合不共面，得方程组仅有唯一零解，故三向量不共面，可以构成基底. 答案为AB. 三、填空题（共3小题） 12.已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m、n、p不共面，若a∥b，则x＋y等于                  ． 【答案】－5 【解析】∵a∥b且a≠0， ∴存在实数λ，使b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp， 又m、n、p不共面， ∴＝＝， 则x＝－13，y＝8，x＋y＝－5. 13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则=                  . 【答案】c+- 【解析】如图,连接C1M并延长,交A1B1于点D, ∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心, =a,=b,=c, ∴=+=c+ =c+×(+) =c+(+-) =c+(-b+a-b) =c+-. 14.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　. 【答案】 【解析】如图所示，令=a，=b，=c， 则〈a，b〉=120°，c⊥a，c⊥b， 因为=+=-a+c，=+=b+c， |cos〈，〉|======. 四、解答题（共2小题） 15.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 【答案】(1)证明　设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底. 所以＝＋＝－k＋(＋) ＝i＋j－k，＝＋＝－i－k， 所以·＝(i＋j－k)·(－i－k) ＝－|i|2＋|k|2＝0， 所以EF⊥B1C. (2)解　∵＝i＋j－k， ＝＋＝－k－j， ||2＝(i＋j－k)2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝， ||2＝(－k－j)2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝， ||＝， ∴cos〈，〉＝， ＝＝＝. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 16.（2025-2026·四川雅安高二上期末）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】解：(1)由,得, 故,.. 由与垂直,得, 即,故,. 因此实数和的值分别为和. (2)由与、共面,设（）, 故, 对应坐标相等得,解得,,. 因此实数的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2空间向量基本定理 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A. B. C. D.或 2.在长方体ABCD -A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）直三棱柱中，若，则（） A. B. C. D. 4.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（） A. B. C. D. 5.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则||＝(　　) A.   B.   C.   D.2 6.若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是(　　) A.{c+a，c，c-a} B.{b，b+c，b-c} C.{b+c，a+b+c，a} D.{b+c，b-c，a} 7.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　) A.   B.   C.   D. 8.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，M，N分别为AC，A1B1的中点，设=a，=b，=c，则可用a，b，c表示为(　　) A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·四川眉山高二上期中）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（） A. B. C. D. 10.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则可以与向量p=e1+e2，q=e1-e2构成基底的向量是(　　) A.e1 B.e3 C.e1+2e2 D.e1+2e3 11.（2025-2026·湖南岳阳高二下期末）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m、n、p不共面，若a∥b，则x＋y等于                  ． 13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则=                  . 14.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　. 四、解答题（共2小题） 15.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 16.（2025-2026·四川雅安高二上期末）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $