1.5 二次函数的应用（2）- 同步分层练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础建模到综合应用，系统巩固二次函数实际应用，培养数学建模与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|二次函数概念及简单应用|以选择填空为主，聚焦单一知识点建模，如销售利润、长方形面积问题，培养符号意识| |巩固提升|二次函数性质及综合应用|增加几何与函数结合题，强化最值计算与条件限制，如正方形面积最小、含售价限制的利润问题，发展推理能力| |能力应用|二次函数在复杂情境中的建模与优化|结合实际情境的综合探究，如长方体包装盒设计，需建立函数关系并优化，提升模型意识与创新意识|

1.5 二次函数的应用（2）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80，设这种产品每天的销售毛利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=(x-30)(-2x+80) B．w=x(-2x+80) C．w=30(－2x+80) D．w=x(-2x+50) 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：根据题意得，w=(x-30)y， 即w=(x-30)(-2x+80)， 故答案为：A. 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式. 2．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　） A．y=240（1-2x） B．y=240（1+2x） C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，y=240 故答案为：C. 【分析】设两次的平均降价率为x，根据增长率问题，得出函数关系式即可求解. 3．经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加10个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（25﹣x）（150+5x） B．y＝（25﹣x）（150+10x） C．y＝（70﹣x）（150+5x） D．y＝（70﹣x）（150+10x） 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设 商品的售价减低x元，列函数关系式为y＝(25﹣x)(150+5x)， 故答案为：A. 【分析】利用单利润×销售量列函数关系式即可. 4．某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：由题意得：平行墙的边长为， ∴面积， 故答案为：D． 【分析】根据矩形面积公式，即可得出面积。 5．某种商品的进价为每件 20 元，调查表明，在某段时间内，以每件x 元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件.若要使利润最大，则销售价格应为每件　 　元. 【答案】25 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设利润为w元， 则 ∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案为：25. 【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润>销售量，每件利润=每件售价-每件进价.再根据所列二次函数求最大值. 6．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为　 　． 【答案】48 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设花圃的宽AB为x米，长BC为(24-3x)米， ， ∵墙长不限， 当时，，S值最大，此时． 故答案为：48． 【分析】设花圃的宽AB为x米，长BC为(24-3x)米，根据矩形面积公式建立出S关于x的函数关系式，进而将函数解析式配成顶点式，根据二次函数性质即可求出矩形花圃的最大面积. 7．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到最大，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， ∴150(1+x)2=216 解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍） ∴该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w 则w=(m-30)[600-5(m-40)]=-5(m-95)2+21125 ∵-5<0， ∴当m＝95时，月销售利润最大； 为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案. 8．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示和的长． （2）求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】（1）解：由题意得：，∴； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】本题主要考查几何图形中的代数式表示、二次函数的实际应用（面积最值问题）； （1）由题意可得，然后利用篱笆总长和靠墙边的长度，建立矩形边长的代数式； （2）由（1）可得，通过配方法或顶点公式求最大值． （1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 9．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系． （1）试求出y与x的函数关系式； （2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（30，400）、（40，200）代入y＝kx+b中， 则， 解得：， ∴y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）. （2）根据“利润=单个利润×数量”可得w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣20x+1000） ＝﹣20x2+1400x﹣20000 ＝﹣20（x﹣35）2+4500， ∴当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500， 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（30，400）、（40，200）代入y＝kx+b中，即可得出函数表达式； （2）根据二次函数的顶点坐标可以求得w的最大值，从而可以解答本题． 二、巩固提升 10．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；一次函数的其他应用 【解析】【解答】解：∵， 则与满足一次函数关系， ∵， 则S与满足二次函数关系， 故选：C． 【分析】 形如(为常数，且)的函数叫做一次函数，故为一次函数； 形如(为常数，且) 的函数叫做二次函数，故为二次函数。 11．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 【答案】C 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图象开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故答案为：C． 【分析】利用二次函数的顶点式可得：函数图象开口向下，其顶点坐标为，从而可得当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 12．某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具.当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个.物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为 (　　)元. A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故答案为：B . 【分析】设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 13．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用 【解析】【解答】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 【分析】 ①根据售价与销量的关系确定函数解析式即可； ②设利润为W元，建立利润函数，再根据该商品的利润率不能超过列出不等式，最后根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论 14．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为， 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为，故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 【分析】 根据表格利用待定系数法求出y与x的一次函数关系式，可判断①正确；根据“利润=（售价-进价）x 销售量”建立利润W与售价x的二次函数关系式，代入特定x的值计算，可判断②正确；利用二次函数的性质（开口方向、对称轴）求最大利润，可判断③错误；根据“总费用不超过5000元”列出不等式，确定x的取值范围，结合二次函数的增减性求特定范围内的最大值，可判断④正确． 15．如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：正方形的边长为3，设， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 同理可证， ，， ， 正方形的面积， 即：当（即在边上的中点）时，正方形的面积最小， ． 故答案为：D． 【分析】 设，根据正方形的边长表示出，再根据正方形的性质得到，，再根据等角的余角相等可得，即可利用AAS判定，同理得到，再根据全等三角形的性质得到，， 再利用勾股定理求出的长，再表示出正方形的面积，将面积的函数关系式配方为顶点式，再利用二次函数的性质即可求出面积的最小值，解答即可． 16． 如图，四边形ABCD中的两条对角线AC和BD互相垂直，，当AC为　 　时，四边形ABCD的面积最大. 【答案】5 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设，四边形面积为，则， 则：， ， 有最大值， 当时，四边形的面积最大， 即当时，四边形面积最大， 故答案为：． 【分析】根据已知设四边形面积为，为，根据四边形的面积公式列函数关系式，利用对称轴公式计算即可． 17． 已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为　 　 【答案】 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，S取最大值， 即这个直角三角形的面积的最大值为． 故答案为：． 【分析】设一条直角边为，根据三角形的面积公式得到，化为顶点式求出最值解答即可． 18． 已知▱ABCD 的周长为8cm，∠B=30°，若AB=x cm. （1）▱ABCD 的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为　 　，自变量x 的取值范围为　 　； （2）当x=　 　时，y的值最大，最大值为　 　 【答案】（1）； （2）2；2 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：(1) 过点A作于点E，如下图， ， 的周长为8cm， ， (0<x<4) 因为AB、BC是 的边长，所以AB、BC的大小是正实数，即x>0，4-x>0，即0<x<4. 故答案为： <4 ∴y有最大值，即当x=2时，y有最大值，最大值为2. 故答案为：2；2. 【分析】（1）过点A作于点E，根据30°的直角三角形的性质得到AE=，然后根据平行四边形的面积公式列函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）配方为顶点式，然后求出最大值即可. 19．某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现，某种商品的周销量 y （件)是关于售价 x （元/件)的一次函数，下表给出了该商品售价 x、周销量 y、周销售利润 w （元)的三组对应值数据： x 40 70 90 y 180 90 30 w 3600 4500 2100 注：周销售利润=周销量× （售价-进价) （1）求 y关于 x的函数表达式（不要求写自变量取值范围) （2）①该商品的进价为 ▲ 元/件； ②若该商品的售价不低于 30元/件，销售量不低于 150件.当售价为多少时，周销售利润最大?并求出此时的最大利润. 【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b， 根据题意得：，解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-3x+300 （2）解：①20； ②根据题意得，a≥30，y=-3x+300≥150， 解得30≤x≤50 W=(-3x+300)(x-20) =-3x2+360x-6000 =-3(x-60)2+4800. ∵-3<0，对称轴为直线x=60， ∴抛物线开口向下，当30≤x≤50时，W随x的增大而增大， ∴当售价为 50元/件时，周销售利润最大，此时w=-3×(50-60)2+4800=4500(元)，即最大利润为4500元 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：①该商品的进价为a元/件： 根据题意得，180×(40-a)=3600， 解得a=20 即该商品的进价为20元/件； 故答案为：20. 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可； (2)①根据周销售利润=周销量×(售价-进价)列方程求解即可； ②先根据“商品的售价不低于30元/件，销售量不低于150件”确定x的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可. 20．某商品的进价为每件 40元，当售价为每件 50元时，每个月可卖出 210件，如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10件(每件售价不能低于 50元且不得高于 65元)，设每件商品的售价上涨x元，(x为正整数)每个月的销售量为y件. （1） y与x的函数关系式为： 　 　； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于 58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围. 【答案】（1）y=210-10x(0<x≤15) （2）解：设月利润为 W，由题意得 ∵a=-10<0， ∴当x=5.5时， W有最大值 2402.5， ∵0<x≤15且 x为正整数， ∴当x=5时， 50+x=55， W=2400； 当x=6时， 50+x=56， W=2400； ∴当售价定为每件 55或 56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400元； （3）解：由题意得， W=(210-10x)(50+x-40-a)=-10(x-21)(x+10-a)， ∴抛物线对称轴为直线 ∵售价每件不低于 58元，0<x≤15且 x为正整数， ∴8≤x≤15时，每月的销售利润随x的增大而减小， 解得5<a<6. 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：(1)由题意得，y与x的函数关系式为y=210-10x， ∵每件售价不能低于50元且不得高于65元， ∴50+x≤65 ∴0<x≤15 故答案为：y=210-10x(0<x≤15). 【分析】(1)根据题意列关系式即可； (2)月利润等于销售量乘以单价利润，据此列出二次函数，化为顶点式求最值即可； 11+a(3)先表示出月利润，再写出其对称轴为直线，根据当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，列不等式组求解即可. 三、能力应用 21．综合与实践： 当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧. 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的下底面积为. 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒. 【解决问题】请按要求完成下列任务： （1）分别求关于，关于的函数解析式； （2）若设计的长方体包装盒的下底面积为，求的值； （3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积的最大值及剪去的小正方形的边长. 【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为xcm，长方体的长、宽、高的和为ycm，长方体包装盒的底面积为， 依题意得：， ； （2）解：∵设计的长方体包装盒的底面积为， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值为4； （3）解：由题知，， 解不等式：50−2x≥20⇒x≤15， 50−2x≤44⇒x≥3， 得自变量范围：3≤x≤15. 二次函数S=2x2−70x+600， ∵a=2>0， ∴抛物线开口向上， 对称轴：x=−==17.5， 对称轴x=17.5，区间3≤x≤15在对称轴左侧，S随x增大而减小. 最大值在区间最小x=3处： Smax=2×32−70×3+600 =408. 所以底面积最大值408cm2，对应剪去小正方形边长x=3cm. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）由裁去小正方形边长，确定折叠后长方体长、宽、高；由三边相加列式化简，得到y与x的一次函数；由底面积 = 长 × 宽，多项式展开整理得到S关于x的二次函数. (2)将S=352代入函数建立一元二次方程，整理为一元二次标准方程，因式分解求解得到两个根；结合纸板实际尺寸舍去超出范围的根，得到符合题意的x. (3)由20≤y≤44代入一次函数，解不等式组得到x取值范围；分析由二次函数a符号判断开口方向、对称轴，区间增减性；在区间左端点取到最大值，计算最大底面积与对应边长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 二次函数的应用（2）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80，设这种产品每天的销售毛利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=(x-30)(-2x+80) B．w=x(-2x+80) C．w=30(－2x+80) D．w=x(-2x+50) 2．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　） A．y=240（1-2x） B．y=240（1+2x） C． D． 3．经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加10个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（25﹣x）（150+5x） B．y＝（25﹣x）（150+10x） C．y＝（70﹣x）（150+5x） D．y＝（70﹣x）（150+10x） 4．某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（　　） A． B． C． D． 5．某种商品的进价为每件 20 元，调查表明，在某段时间内，以每件x 元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件.若要使利润最大，则销售价格应为每件　 　元. 6．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为　 　． 7．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到最大，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 8．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示和的长． （2）求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 9．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系． （1）试求出y与x的函数关系式； （2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 二、巩固提升 10．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 11．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 12．某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具.当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个.物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为 (　　)元. A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 13．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 16． 如图，四边形ABCD中的两条对角线AC和BD互相垂直，，当AC为　 　时，四边形ABCD的面积最大. 17． 已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为　 　 18． 已知▱ABCD 的周长为8cm，∠B=30°，若AB=x cm. （1）▱ABCD 的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为　 　，自变量x 的取值范围为　 　； （2）当x=　 　时，y的值最大，最大值为　 　 19．某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现，某种商品的周销量 y （件)是关于售价 x （元/件)的一次函数，下表给出了该商品售价 x、周销量 y、周销售利润 w （元)的三组对应值数据： x 40 70 90 y 180 90 30 w 3600 4500 2100 注：周销售利润=周销量× （售价-进价) （1）求 y关于 x的函数表达式（不要求写自变量取值范围) （2）①该商品的进价为 ▲ 元/件； ②若该商品的售价不低于 30元/件，销售量不低于 150件.当售价为多少时，周销售利润最大?并求出此时的最大利润. 20．某商品的进价为每件 40元，当售价为每件 50元时，每个月可卖出 210件，如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10件(每件售价不能低于 50元且不得高于 65元)，设每件商品的售价上涨x元，(x为正整数)每个月的销售量为y件. （1） y与x的函数关系式为： 　 　； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于 58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围. 三、能力应用 21．综合与实践： 当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧. 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的下底面积为. 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒. 【解决问题】请按要求完成下列任务： （1）分别求关于，关于的函数解析式； （2）若设计的长方体包装盒的下底面积为，求的值； （3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积的最大值及剪去的小正方形的边长. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：根据题意得，w=(x-30)y， 即w=(x-30)(-2x+80)， 故答案为：A. 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式. 2．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，y=240 故答案为：C. 【分析】设两次的平均降价率为x，根据增长率问题，得出函数关系式即可求解. 3．【答案】A 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设 商品的售价减低x元，列函数关系式为y＝(25﹣x)(150+5x)， 故答案为：A. 【分析】利用单利润×销售量列函数关系式即可. 4．【答案】D 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：由题意得：平行墙的边长为， ∴面积， 故答案为：D． 【分析】根据矩形面积公式，即可得出面积。 5．【答案】25 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设利润为w元， 则 ∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案为：25. 【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润>销售量，每件利润=每件售价-每件进价.再根据所列二次函数求最大值. 6．【答案】48 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设花圃的宽AB为x米，长BC为(24-3x)米， ， ∵墙长不限， 当时，，S值最大，此时． 故答案为：48． 【分析】设花圃的宽AB为x米，长BC为(24-3x)米，根据矩形面积公式建立出S关于x的函数关系式，进而将函数解析式配成顶点式，根据二次函数性质即可求出矩形花圃的最大面积. 7．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， ∴150(1+x)2=216 解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍） ∴该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w 则w=(m-30)[600-5(m-40)]=-5(m-95)2+21125 ∵-5<0， ∴当m＝95时，月销售利润最大； 为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案. 8．【答案】（1）解：由题意得：，∴； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】本题主要考查几何图形中的代数式表示、二次函数的实际应用（面积最值问题）； （1）由题意可得，然后利用篱笆总长和靠墙边的长度，建立矩形边长的代数式； （2）由（1）可得，通过配方法或顶点公式求最大值． （1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 9．【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（30，400）、（40，200）代入y＝kx+b中， 则， 解得：， ∴y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）. （2）根据“利润=单个利润×数量”可得w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣20x+1000） ＝﹣20x2+1400x﹣20000 ＝﹣20（x﹣35）2+4500， ∴当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500， 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（30，400）、（40，200）代入y＝kx+b中，即可得出函数表达式； （2）根据二次函数的顶点坐标可以求得w的最大值，从而可以解答本题． 10．【答案】C 【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；一次函数的其他应用 【解析】【解答】解：∵， 则与满足一次函数关系， ∵， 则S与满足二次函数关系， 故选：C． 【分析】 形如(为常数，且)的函数叫做一次函数，故为一次函数； 形如(为常数，且) 的函数叫做二次函数，故为二次函数。 11．【答案】C 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图象开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故答案为：C． 【分析】利用二次函数的顶点式可得：函数图象开口向下，其顶点坐标为，从而可得当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 12．【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故答案为：B . 【分析】设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 13．【答案】B 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用 【解析】【解答】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 【分析】 ①根据售价与销量的关系确定函数解析式即可； ②设利润为W元，建立利润函数，再根据该商品的利润率不能超过列出不等式，最后根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论 14．【答案】C 【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为， 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为，故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 【分析】 根据表格利用待定系数法求出y与x的一次函数关系式，可判断①正确；根据“利润=（售价-进价）x 销售量”建立利润W与售价x的二次函数关系式，代入特定x的值计算，可判断②正确；利用二次函数的性质（开口方向、对称轴）求最大利润，可判断③错误；根据“总费用不超过5000元”列出不等式，确定x的取值范围，结合二次函数的增减性求特定范围内的最大值，可判断④正确． 15．【答案】D 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：正方形的边长为3，设， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 同理可证， ，， ， 正方形的面积， 即：当（即在边上的中点）时，正方形的面积最小， ． 故答案为：D． 【分析】 设，根据正方形的边长表示出，再根据正方形的性质得到，，再根据等角的余角相等可得，即可利用AAS判定，同理得到，再根据全等三角形的性质得到，， 再利用勾股定理求出的长，再表示出正方形的面积，将面积的函数关系式配方为顶点式，再利用二次函数的性质即可求出面积的最小值，解答即可． 16．【答案】5 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设，四边形面积为，则， 则：， ， 有最大值， 当时，四边形的面积最大， 即当时，四边形面积最大， 故答案为：． 【分析】根据已知设四边形面积为，为，根据四边形的面积公式列函数关系式，利用对称轴公式计算即可． 17．【答案】 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，S取最大值， 即这个直角三角形的面积的最大值为． 故答案为：． 【分析】设一条直角边为，根据三角形的面积公式得到，化为顶点式求出最值解答即可． 18．【答案】（1）； （2）2；2 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：(1) 过点A作于点E，如下图， ， 的周长为8cm， ， (0<x<4) 因为AB、BC是 的边长，所以AB、BC的大小是正实数，即x>0，4-x>0，即0<x<4. 故答案为： <4 ∴y有最大值，即当x=2时，y有最大值，最大值为2. 故答案为：2；2. 【分析】（1）过点A作于点E，根据30°的直角三角形的性质得到AE=，然后根据平行四边形的面积公式列函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）配方为顶点式，然后求出最大值即可. 19．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b， 根据题意得：，解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-3x+300 （2）解：①20； ②根据题意得，a≥30，y=-3x+300≥150， 解得30≤x≤50 W=(-3x+300)(x-20) =-3x2+360x-6000 =-3(x-60)2+4800. ∵-3<0，对称轴为直线x=60， ∴抛物线开口向下，当30≤x≤50时，W随x的增大而增大， ∴当售价为 50元/件时，周销售利润最大，此时w=-3×(50-60)2+4800=4500(元)，即最大利润为4500元 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：①该商品的进价为a元/件： 根据题意得，180×(40-a)=3600， 解得a=20 即该商品的进价为20元/件； 故答案为：20. 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可； (2)①根据周销售利润=周销量×(售价-进价)列方程求解即可； ②先根据“商品的售价不低于30元/件，销售量不低于150件”确定x的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可. 20．【答案】（1）y=210-10x(0<x≤15) （2）解：设月利润为 W，由题意得 ∵a=-10<0， ∴当x=5.5时， W有最大值 2402.5， ∵0<x≤15且 x为正整数， ∴当x=5时， 50+x=55， W=2400； 当x=6时， 50+x=56， W=2400； ∴当售价定为每件 55或 56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400元； （3）解：由题意得， W=(210-10x)(50+x-40-a)=-10(x-21)(x+10-a)， ∴抛物线对称轴为直线 ∵售价每件不低于 58元，0<x≤15且 x为正整数， ∴8≤x≤15时，每月的销售利润随x的增大而减小， 解得5<a<6. 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：(1)由题意得，y与x的函数关系式为y=210-10x， ∵每件售价不能低于50元且不得高于65元， ∴50+x≤65 ∴0<x≤15 故答案为：y=210-10x(0<x≤15). 【分析】(1)根据题意列关系式即可； (2)月利润等于销售量乘以单价利润，据此列出二次函数，化为顶点式求最值即可； 11+a(3)先表示出月利润，再写出其对称轴为直线，根据当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，列不等式组求解即可. 21．【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为xcm，长方体的长、宽、高的和为ycm，长方体包装盒的底面积为， 依题意得：， ； （2）解：∵设计的长方体包装盒的底面积为， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值为4； （3）解：由题知，， 解不等式：50−2x≥20⇒x≤15， 50−2x≤44⇒x≥3， 得自变量范围：3≤x≤15. 二次函数S=2x2−70x+600， ∵a=2>0， ∴抛物线开口向上， 对称轴：x=−==17.5， 对称轴x=17.5，区间3≤x≤15在对称轴左侧，S随x增大而减小. 最大值在区间最小x=3处： Smax=2×32−70×3+600 =408. 所以底面积最大值408cm2，对应剪去小正方形边长x=3cm. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）由裁去小正方形边长，确定折叠后长方体长、宽、高；由三边相加列式化简，得到y与x的一次函数；由底面积 = 长 × 宽，多项式展开整理得到S关于x的二次函数. (2)将S=352代入函数建立一元二次方程，整理为一元二次标准方程，因式分解求解得到两个根；结合纸板实际尺寸舍去超出范围的根，得到符合题意的x. (3)由20≤y≤44代入一次函数，解不等式组得到x取值范围；分析由二次函数a符号判断开口方向、对称轴，区间增减性；在区间左端点取到最大值，计算最大底面积与对应边长. 学科网（北京）股份有限公司 $