1.5.1 二次函数的应用同步练习（抛物线形）2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数抛物线形应用，通过基础认知、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一模型到复杂实际问题的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|坐标系建立、解析式求解|以拱桥、大门为情境，如选择1-3题，强化模型意识| |情境应用|实际场景中的函数应用|结合“杭州之门”“喷水池”等真实案例，如选择4-6题，培养数学眼光| |综合拓展|最值问题与跨情境综合|如解答题12题结合斜坡与喷水动态分析，发展应用意识与推理能力|

1.5.1 二次函数的应用（抛物线形）—浙教版数学九年级上册同步练习 一、选择题 1．如上图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面时，水面宽水面下降，水面宽度增加(　　) A． B． C． D． 2．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 3．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 4．杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新了杭州第一高楼的纪录，双塔底部为跨度约 62 米，高度约34米的巨型抛物线 0)]结构(如图)，则a 的值接近于(　　) A． B． C． D． 5．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 6．某广场有一喷水池，水从地面喷出(如图所示)，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4 米 B．3 米 C．2 米 D．1米 二、填空题 7．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，从钢管流出的水都成抛物线形，以钢管的出水口点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式为 若露在墙壁外面的钢管的长度OA=0.2米(钢管的直径长度忽略不计)，钢管离水池水面的高度AB=1米，要使从钢管流出的水都落在水池里，则水池的宽度至少是　 　米. 8．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为　 　m． 9．廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知抛物线的函数表达式为 为保护廊桥的安全，要在该抛物线上距水面AB 高为8米的点 E，F处各安装一盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 EF 是　 　米. 10．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆　 　条． 三、解答题 11．如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出水柱的最高点的高度． 12．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米. （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地. （2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过 A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2m，抛物线顶点 C的坐标为(0，2)， 设顶点式 y=ax2+2 ，把 A 点坐标(-2，0)代入得a=-0.5， ∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+2 当水面下降 2.5m，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=-2.5 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2.5 与抛物线相交的两点之间的距离， 把y=-2.5 代入抛物线解析式得出：-2.5=-0.5x2+2 解得：x=±3 则2×3-4=2 ∴水面下降 2.5 m，水面宽度增加 2m 故答案为：B. 【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y=-2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故答案为：B． 【分析】根据所建坐标系及图形特点，利用二次函数的对称性可求出点A、B的坐标，再求出点D的坐标，利用二次函数的两根式可求出函数解析式，再求出当x=0时y的值，可得到门的高度. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故答案为：A． 【分析】按照题目的要求，将代入解析式，再通过计算就能得到对应的结果. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：建立如图的平面直角坐标系， ∴顶点C(0，34)，B(31，0)， 设抛物线的解析式为 把 B(31，0)代入得 ∴a接近于 故答案为：A . 【分析】建立平面直角坐标系，设函数解析式为 把点B的坐标代入解析式求出a的值解答即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得，抛物线过点、、， 设， 把代入， 得， 解得， ． 令得， ， 门的高度约为． 故选：B． 【分析】先根据抛物线的特征确定抛物线上三个点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，最后通过令抛物线表达式令求出门高. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：， 则顶点坐标为（2，2）， 所以水喷出的最大高度是2米. 故答案为：C . 【分析】先将解析式化成顶点式，根据顶点坐标即可得出答案. 7．【答案】2.2 【解析】【解答】解：由题意，∵令y=-1，则 或x=2(舍去)。 ∴水池宽至少是2+0.2=2.2(米)。 故答案为： 2.2. 【分析】依据题意，令y=-1，则 求出x后即可判断得解. 8．【答案】40 【解析】【解答】解：建立如下直角坐标系， 点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200） 设抛物线的解析式为y=ax2+200， 则0=1600a+200， 解得：a=-， ∴抛物线的解析式为y=-x2+200， 当y=150时，即150=-x2+200， 解得：x=±20， 则CD=20-(-20)=40m. 故答案为：40. 【分析】建立合适的直角坐标系，点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200） 设抛物线的解析式为y=ax2+200，将点B、点E的坐标代入即可求出a的值，再将y=150代入解析式，进而得出答案. 9．【答案】8 【解析】【解答】解：由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值. 故有 即 所以两盏警示灯之间的水平距离为： 故答案为：. 【分析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长. 10．【答案】解：令，则，解得或，∴，∵相邻支撑杆之间的距离为，，，∴在轴右侧，共7条，同理在轴左侧最多安装7条，∴最多可安装支撑杆14条，故答案为：14． 【解析】【分析】由抛物线上点的坐标特征可令，则可求出的值为，则AB＝4，再由抛物线的轴对称性质可先在y轴右侧0.15米处开始安装支撑杆，则剩余距离1.85米可安装6根撑杆，且第6根撑杆距离点B0.05米，即右侧可安装7根撑杆，同理左侧也可安装7根撑杆，即最多可安装14根撑杆． 11．【答案】（1）解：由题意得，， ∴，． ∵喷出水柱在距离O点处达到最高， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为 （2）解：由（1）有抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水柱的最高点的高度为 【解析】【分析】（1）由题意得，，抛物线的对称轴为直线，因此设抛物线的解析式为，将点A，B坐标代入可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c的值，从而即可得到抛物线的解析式； （2）水柱的最高点的高度等于顶点纵坐标的值，由（1）的抛物线解析式得到顶点坐标，即可得出答案. （1）解：由题意得，， ∴，． ∵喷出水柱在距离O点处达到最高， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）有抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水柱的最高点的高度为． 12．【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得 ∴抛物线为 当x=15时， 答：能浇灌到小树后面的草坪； （2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为 ∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为 【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪； (2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $