1.5二次函数的应用 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数与方程关系、顶点坐标应用|选择1-4题，如用函数值范围判断方程解，直接应用顶点公式求最值| |中档|实际问题建模（拱桥、销售利润）、函数对称性|选择5-8题、填空9-12题，如矩形面积含墙长限制，两小球高度相同利用对称性| |提升|综合应用（利润含参数、运动问题）、存在性探究|解答13-15题，如销售利润结合礼品参数，小球运动两次高度相同的时间间隔推理|

1.5二次函数的应用 同步练习 一、选择题 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如列表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y －0.03 －0.01 0.02 0.04 A．－0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 2．如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽4m，顶点离水面2m．当水面宽6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．4.5m 3．某广场有一喷水池，水从地面喷出.如图所示，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线(单位：)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）。 A． B． C． D． 4．一个小球以的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度与时间满足关系式，当小球的高度为时，t为（　　） A．1s B．2s C．1s或2s D．以上都不对 5．C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步，12时31分航班抵达北京首都国际机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）。在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分。如图，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇。此时相遇点H距地面20m，喷水口A，B距地面均为4m.若两辆消防车同时后退10m，两条水柱的形状及喷水口A'，B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面（　　） A．17 m B．18m C．19m D．20m 6．九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（　　） A．6米 B．10米 C．12米 D．15米 7．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　） A．90元，4500元 B．80元，4500元 C．90元，4000元 D．80元，4000元 8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N 分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连结DM，MN，ND.设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S关于x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点为（－5，0），则不等式的解集为　 　． 10．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为　 　 m． 11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出　 　秒时，两个小球在空中的高度相同． 12．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积为　 　. 三、解答题 13．某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售量盒 56 52 48 44 40 （1）求与的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值． 14．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，s与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 15．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. （1）小球被发射后　 　s时离地面的高度最大（用含的式子表示）. （2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度. （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵-0.01＜0＜0.02 ∴当y=0时，6.18＜x＜6.19； 故答案为：C. 【分析】根据二次函数与坐标轴交点的关系，根据图表可判断当y=0时，x的取值范围. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a+c； 由图可知，图像经过点（0，2）和（2，0），将其代入函数， 可得，解得c=2，a=-； ∴解析式为y=-+2 当水面宽6m时，横坐标为3，将其带入函数， 可得y=-×9+2=-2.5； ∴此时水面下降2.5m 故答案为：C. 【分析】根据待定系数法解二次函数，可以求出抛物线的解析式； 根据二次函数的性质，已知横坐标，将其带入函数，即可求出纵坐标的值. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：y=-x2+4x=-(x2-4x+4)+4=-(x-2)2+4， ∴水喷出的最大高度是4m. 故答案为：A. 【分析】根据题意，可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标，从而利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，求得其顶点坐标的纵坐标，问题即可得解 4．【答案】C 【解析】【解答】解：把代入，得：， 解得或． 故当秒或2秒时，小球能达到10米的高度． 故答案为：C． 【分析】把代入解析式，计算出t的值即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴此时两条水柱相遇点H'距地面19m， 故答案为：C． 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，铅球落地点y=0， ∴ 解得：x＝-2（舍去），x=10， 则该生此次实心球训练的成绩为10米. 故答案为：B. 【分析】根据解析式和铅球的落地点y=0，可得，据此求出x的值再选择. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设每月总利润为 ， 依题意得： ，此图象开口向下，又 ， 当 时， 有最大值，最大值为4500元． 故答案为：B． 【分析】根据题意，列出二次函数，根据二次函数的最值求出答案即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：， ∴， ， ， ， ∴S关于x的函数时二次函数，且函数图象开口向上，当时，函数有最小值6， 故答案为：A． 【分析】根据列出关于的函数解析式，再根据二次函数的图象可得出结论． 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为且与x轴的一个交点为（－5，0）， ∴与x轴的另一个交点为： ∵不等式，即 ∴不等式的解集为：， 故答案为：. 【分析】根据二次函数的对称轴为且与x轴的一个交点为（－5，0），据此求出与x轴的另一个交点，进而即可求出不等式的解集. 10．【答案】9 【解析】【解答】解：令，则， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：9 【分析】结合题意，代入可得到一个关于x的一元二次方程，求解方程即可得出答案。 11．【答案】2.5 【解析】【解答】解：∵， ∴该函数的对称轴是直线x=3， ∵ 抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球， 两个小球在空中的高度相同， ∴ 第二个小球抛出3-0.5=2.5(秒）时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为：2.5. 【分析】根据函数解析式先求出函数的对称轴是直线x=3，再根据二次函数的性质计算求解即可。 12．【答案】64 【解析】【解答】解：设养鸡场与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为（24−x）米，面积为S平方米， 根据题意得：S=x∙（24−x）=−x2+12x，（0<x≤8）， ∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下， ∴ 当0<x≤8时，S随x的增大而增大， ∴当x=8时，S取得最大值为64. 故答案为：64. 【分析】设养鸡场与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为（24−x）米，面积为S平方米，进而根据矩形的面积等于长乘以宽建立出S关于x的函数解析式，进而根据所得函数的性质即可解决问题. 13．【答案】（1）解：设． ． 解得：． ； （2）解：设日销售利润为元． ． 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解： ． 最大利润为392元， ． 整理得：． ． 解得：，． 当时，， 每盒糖果的利润（元），故舍去． ∴． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解； （2）设日销售利润为w元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，再把函数解析式配成顶点式，结合函数解析式的性质可得答案； （3） 赠送礼品后，每千克糖果的利润为(x-10-m)元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而根据日销售获得的最大利润为392元，结合顶点纵坐标公式建立方程，求解得出m的值，再检验即可得出符合题意的答案. 14．【答案】（1）解：由题意，2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80． 由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40． 由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80）， ∴S＝﹣2x2+80x． （2）解：由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750， ∴x＝15（舍去）或x＝25． 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2． （3）解：由题意，根据（2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， 又∵﹣2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20． 【解析】【分析】（1）先根据题意得到2x+y＝80，进而即可得到y＝﹣2x+80，再结合墙长42米即可得到x取值范围，再根据矩形的面积公式结合题意进行计算即可求解； （2）根据题意解一元二次方程即可求解； （3）先根据题意将二次函数的一般形式化为顶点式，进而根据二次函数的最值即可求解。 15．【答案】（1） （2）解：根据题意，得 当时，. ∴. ∴. （3）解：小明的说法不正确.理由如下： 由（2），得. 当时，. 解方程，得，. ∴小明的说法不正确. 【解析】【解答】解：（1）依题意，对称轴所在直线； ∵-5＜0，∴小球被发射后s时离地面的高度最大 ； 故答案为：； 【分析】（1）根据二次函数的性质，利用含参数v0表示二次函数对称轴即可； （2）在（1）的基础上分析，即该二次函数经过顶点，代入函数解出v0即可； （3）在（2）的基础上，求出当发射小球高度为15米时对应物体的运动时间判断即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $