1.4二次函数与一元二次方程的关系作业 2026-2027学年数学浙教版九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“二次函数与一元二次方程的关系”，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数与x轴交点、方程根的直接对应|以选择填空为主，如直接求交点横坐标（第1题）、表格数据判根（第2题），夯实概念理解| |提升层|对称轴应用、根的判别式、简单实际问题|结合图象求另一个根（第4题）、小球飞行高度计算（第7题），培养推理与运算能力| |综合层|复杂实际建模、方程与不等式综合|斜坡小球飞行轨迹分析（第13题）、抛绣球得分策略研究（第12题），发展模型意识与应用能力|

1.4　二次函数与一元二次方程的关系 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.二次函数y=x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标是( ) A.x1=1，x2=3 B.x1=－1，x2=3 C.x1=－1，x2=－3 D.x1=1，x2=－3 2.已知代数式x2＋kx－20的值如表，则关于x的一元二次方程x2＋kx－20=0的根为( ) x －3 －2 －1 … 9 10 11 x2＋kx－20 13 0 －11 … －11 0 13 A.－2 B.10 C.－2或10 D.－3或11 3.若关于x的二次函数y=－x2＋mx＋n的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)和(3，0)，则关于x的一元二次方程－x2＋mx＋n=0的解为( ) A.x1=x2=0 B.x1=1，x2=－3 C.x1=1，x2=0 D.x1=－1，x2=3 4.(3分)若二次函数y=x2＋bx＋c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的一个根为x1=3，则另一个根为x2= 。  5.(3分)关于x的方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的一个解为x=5，函数y=ax2＋bx＋c＋1的图象的对称轴为直线x=3，则方程ax2＋bx＋c=0的另一个解为x= 。  6.(9分)下列各函数的图象与x轴是否有公共点？如果有，求出公共点的坐标。 (1)(3分)y=2x2－3x＋1； (2)(3分)y=5x2＋4x＋2； (3)(3分)y=x2－4x＋4。 7.(8分)如图，以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：米)与飞行时间t(单位：秒)之间有下列函数关系：h=30t－5t2。依据所给信息，解决下列问题： (1)(3分)小球的飞行高度是否能达到25米？如果能，需要飞行的时间是多少？ (2)(3分)小球的飞行高度是否能达到45米？如果能，需要飞行的时间是多少？ (3)(2分)小球从飞出到落地要用多少时间(设地面是水平的)？ 8.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.(10分)已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)(2分)方程ax2＋bx＋c=0的根是 。  (2)(2分)方程ax2＋bx＋c=－3的根是 。  (3)(2分)方程ax2＋bx＋c=5的根是 。  (4)(2分)方程ax2＋bx＋c=－4的根是 。  (5)(2分)方程ax2＋bx＋c=－6的根的情况怎样？ 。  10.(3分)已知二次函数y=x2＋2x＋m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 。  11.(8分)如果关于x的函数y=ax2＋(a＋2)x＋a＋1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值。 12.(10分)已知二次函数y=x2－2kx－(2k＋1)。 (1)(4分)求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点。 (2)(6分)若该二次函数图象的对称轴为直线x=1，求它与x轴的交点坐标。 13.(10分)[应用意识]如图，一小球从斜坡点O以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y=ax2＋bx(a＜0)的图象刻画，斜坡可以用一次函数y=x的图象刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)(7分)①(2分)m= ，n= 。  ②(2分)小球飞行的最大高度为 米。  ③(3分)若小球的落点是A，求点A的坐标。 (2)(3分)已知小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y=－5t2＋vt，求v的值。 第2课时　利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2＋bx＋c=0的一个根的取值范围为( ) x 2.01 2.02 2.03 2.04 y －0.03 －0.01 0.02 0.06 A.2.01＜x＜2.02 B.2.02＜x＜2.03 C.2.03＜x＜2.04 D.x＞2.04 2.如图，点A(2.26，－0.32)，B(2.56，0.41)在二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c=0的一个根的近似值可能是( ) 第2题图 A.2.67 B.2.56 C.2.39 D.2.26 3.如图是二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为( ) 第3题图 A.－1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜－2或x＞5 D.x＜－1或x＞5 4.二次函数y=ax2－2ax＋c的图象及局部细节如图所示，则关于x的方程ax2－2ax＋c=0的较大的根的取值范围是( ) A.0.4＜x＜0.5 B.0.5＜x＜0.6 C.2.4＜x＜2.5 D.2.5＜x＜2.6 5.(3分)已知方程x2－2x－5=0的一个近似解是－1.45，则这个方程的另一个近似解是 。(精确到0.01)  6.(3分)如图，二次函数y1=ax2＋c(a≠0)与一次函数y2=mx＋n(m≠0)的图象相交于点 A(－3，p)，B(2，q)，若ax2＋c＜－mx＋n，则x的取值范围是 。  7.(8分)利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根(精确到0.1)。 (1)(2分)4x2－8x＋1=0； (2)(2分)x2－2x－5=0； (3)(2分)2x2－6x＋3=0； (4)(2分)x2－x－1=0。 8.(8分)已知二次函数y=x2＋x的图象如图所示。 (1)(4分)根据方程的根和函数图象与x轴交点横坐标之间的关系，将方程x2＋x=1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x2＋x=1的根： (精确到0.1)。  (2)(4分)在同一坐标系中画出一次函数y=x＋的图象，并写出一次函数的值小于二次函数的值时自变量x的取值范围： 。  9.如图所示，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是直线x=－1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点横坐标在1和2之间。有下列结论：①2a－b=0；②方程ax2＋bx＋c=0一定有一根在－3和－4之间；③方程ax2＋bx＋c－1=0一定有两个不等实根；④a＋b＞－2。其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(3分)已知二次函数y=－x2＋2x＋m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m=0的根为 ；不等式－x2＋2x＋m＞0的解集是 ；当x 时，y随x的增大而减小。  11.(8分)阅读材料，解答问题。 例：用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0。 解：设y=x2－2x－3，则y是x的二次函数。 ∵a=1＞0，∴抛物线开口向上。 又∵当y=0时，x2－2x－3=0，解得x1=－1，x2=3。 ∴由此得抛物线y=x2－2x－3的大致图象如图所示。 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0， ∴x2－2x－3＞0的解集是：x＜－1或x＞3。 (1)(3分)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2－2x－3＜0的解集是 ；  (2)(5分)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0。 12.(12分)[应用意识]综合与实践 【研究主题】抛绣球得分策略研究 【场地介绍】如图1，绣球训练场地中，高杆底部B到两边抛球线的距离OB和BQ均为6 m，高杆BC高度为5 m，球圈的半径是0.5 m。 【测试方法】测试员在抛球线后将球抛出，绣球穿过高杆上方的球圈算成功一次，绣球抛出后快跑捡回，至对面抛球线后继续抛出，规定时间内穿过次数越多，得分越高。 【实践建模】如图2，测试过程中，球从O点正上方1.5 m的A处飞出，穿过球圈后，落到点E(点O，B，E在同一条直线上)。绣球大小和球圈厚度忽略不计，在不考虑空气阻力的情况下，绣球的飞行路线是抛物线。以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 (1)(6分)当绣球飞行的水平距离为4 m时，达到最大高度6.3 m。 ①(2分)求y关于x的函数表达式。 ②(4分)请判断此次抛出的绣球是否能穿过球圈，并说明理由。 【方案优化】实践发现，绣球落点E的位置影响得分效率，当10≤OE≤12时，落点E位于最佳区域。 (2)(2分)请判断(1)中绣球的落点E是否位于最佳区域，并说明理由。 (3)(4分)调整绣球的轨迹，使其穿过球圈的圆心后，落点E在最佳区域。设此时飞行路线的表达式为y=ax2＋bx＋1.5，请写出a的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　二次函数与一元二次方程的关系 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 分值：76分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.二次函数y=x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标是(　B　) A.x1=1，x2=3 B.x1=－1，x2=3 C.x1=－1，x2=－3 D.x1=1，x2=－3 【解析】 ∵y=x2－2x－3与x轴交点的横坐标，即y=0时x的值， ∴解方程x2－2x－3=0， 因式分解得：(x－3)(x＋1)=0， ∴x－3=0或x＋1=0， ∴x=3或x=－1， ∴交点的横坐标为x1=－1，x2=3。 2.已知代数式x2＋kx－20的值如表，则关于x的一元二次方程x2＋kx－20=0的根为(　C　) x －3 －2 －1 … 9 10 11 x2＋kx－20 13 0 －11 … －11 0 13 A.－2 B.10 C.－2或10 D.－3或11 3.若关于x的二次函数y=－x2＋mx＋n的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)和(3，0)，则关于x的一元二次方程－x2＋mx＋n=0的解为(　D　) A.x1=x2=0 B.x1=1，x2=－3 C.x1=1，x2=0 D.x1=－1，x2=3 4.(3分)若二次函数y=x2＋bx＋c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的一个根为x1=3，则另一个根为x2=　－1　。  【解析】 由二次函数y=x2＋bx＋c的部分图象可知，对称轴为直线x=1，关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的一个根为x1=3， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为(－1，0)， ∴关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的一个根为x1=3，则另一个根为x2=－1。 5.(3分)关于x的方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的一个解为x=5，函数y=ax2＋bx＋c＋1的图象的对称轴为直线x=3，则方程ax2＋bx＋c=0的另一个解为x=　1　。  【解析】 函数y=ax2＋bx＋c＋1的对称轴为直线x=3， ∴函数y=ax2＋bx＋c的对称轴也为直线x=3。 ∵方程ax2＋bx＋c=0的两个根关于对称轴对称，已知一个根为x=5， ∴设另一个根为x2，则=3， 解得x2=1。 6.(9分)下列各函数的图象与x轴是否有公共点？如果有，求出公共点的坐标。 (1)(3分)y=2x2－3x＋1； (2)(3分)y=5x2＋4x＋2； (3)(3分)y=x2－4x＋4。 解：(1)令y=0，得2x2－3x＋1=0， Δ=b2－4ac=9－8=1＞0，∴此函数的图象与x轴有两个公共点， 解方程得x=， ∴x1=1，x2=， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，。 (2)令y=0，得5x2＋4x＋2=0， Δ=b2－4ac=16－40=－24＜0，∴此函数的图象与x轴没有公共点。 (3)令y=0，得x2－4x＋4=0， Δ=b2－4ac=16－16=0，∴此函数的图象与x轴有一个公共点， 解方程得x1=x2=2， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)。 7.(8分)如图，以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：米)与飞行时间t(单位：秒)之间有下列函数关系：h=30t－5t2。依据所给信息，解决下列问题： (1)(3分)小球的飞行高度是否能达到25米？如果能，需要飞行的时间是多少？ (2)(3分)小球的飞行高度是否能达到45米？如果能，需要飞行的时间是多少？ (3)(2分)小球从飞出到落地要用多少时间(设地面是水平的)？ 解：(1)小球的飞行高度能达到25米， 当h=25米时，得25=30t－5t2， 解得t1=1，t2=5， ∴当飞行1秒或5秒时，它的飞行高度为25米。 (2)小球的飞行高度能达到45米， 当h=45米时，得45=30t－5t2， 解得t1=t2=3， ∴当飞行3秒时，它的飞行高度为45米。 (3)当h=0时，0=30t－5t2， 解得t1=0，t2=6， ∴小球从飞出到落地需要6秒。 8.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD等于(　B　) A.3 B.4 C.5 D.6 9.(10分)已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)(2分)方程ax2＋bx＋c=0的根是　－1或3　。  (2)(2分)方程ax2＋bx＋c=－3的根是　0或2　。  (3)(2分)方程ax2＋bx＋c=5的根是　4或－2　。  (4)(2分)方程ax2＋bx＋c=－4的根是　1　。  (5)(2分)方程ax2＋bx＋c=－6的根的情况怎样？　无实数根　。  10.(3分)已知二次函数y=x2＋2x＋m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是　m＜1　。  【解析】 当y=0时，x2＋2x＋m=0。 ∵方程x2＋2x＋m=0有两个不相等的实数解时，二次函数y=x2＋2x＋m与x轴有两个公共点， ∴Δ=22－4m＞0， 解得m＜1， 即实数m的取值范围是m＜1。 11.(8分)如果关于x的函数y=ax2＋(a＋2)x＋a＋1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值。 解：当a=0时，函数表达式化为y=2x＋1，此一次函数与x轴只有一个公共点； 当a≠0时，函数y=ax2＋(a＋2)x＋a＋1为二次函数，当Δ=(a＋2)2－4a(a＋1)=0时，它的图象与x轴只有一个公共点， 整理得3a2－4=0，解得a=±。 综上所述，实数a的值为0或±。 12.(10分)已知二次函数y=x2－2kx－(2k＋1)。 (1)(4分)求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点。 (2)(6分)若该二次函数图象的对称轴为直线x=1，求它与x轴的交点坐标。 解：(1)∵y=x2－2kx－(2k＋1)， ∴Δ=(－2k)2－4×1×[－(2k＋1)] =4k2＋8k＋4 =4(k2＋2k＋1) =4(k＋1)2， ∴Δ=4(k＋1)2≥0， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点。 (2)∵y=x2－2kx－(2k＋1)， ∴对称轴为直线x=－=k。 ∵该二次函数y=x2－2kx－(2k＋1)图象的对称轴为直线x=1， ∴k=1， 即y=x2－2×1×x－(2×1＋1)=x2－2x－3，依题意，令y=0，则x2－2x－3=0， ∴(x－3)(x＋1)=0， 解得x1=3，x2=－1， ∴它与x轴的交点坐标分别为(3，0)，(－1，0)。 13.(10分)[应用意识]如图，一小球从斜坡点O以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y=ax2＋bx(a＜0)的图象刻画，斜坡可以用一次函数y=x的图象刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)(7分)①(2分)m=　3　，n=　6　。  ②(2分)小球飞行的最大高度为　8　米。  ③(3分)若小球的落点是A，求点A的坐标。 (2)(3分)已知小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y=－5t2＋vt，求v的值。 解：(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为(4，8)， ∴解得 ∴二次函数表达式为y=－x2＋4x。 当y=时，－x2＋4x=， 解得x1=3，x2=5，∴m=3。 当x=6时，n=y=－×62＋4×6=6。 ②由抛物线的顶点坐标知小球飞行的最大高度为8米。 ③联立，得 解得 ∴点A的坐标是。 (2)y=－5t2＋vt=－5， 由(1)知=8， 解得v=4(负值舍去)。 第2课时　利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值 分值：60分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2＋bx＋c=0的一个根的取值范围为(　B　) x 2.01 2.02 2.03 2.04 y －0.03 －0.01 0.02 0.06 A.2.01＜x＜2.02 B.2.02＜x＜2.03 C.2.03＜x＜2.04 D.x＞2.04 2.如图，点A(2.26，－0.32)，B(2.56，0.41)在二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c=0的一个根的近似值可能是(　C　) 第2题图 A.2.67 B.2.56 C.2.39 D.2.26 3.如图是二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(　D　) 第3题图 A.－1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜－2或x＞5 D.x＜－1或x＞5 4.二次函数y=ax2－2ax＋c的图象及局部细节如图所示，则关于x的方程ax2－2ax＋c=0的较大的根的取值范围是(　C　) A.0.4＜x＜0.5 B.0.5＜x＜0.6 C.2.4＜x＜2.5 D.2.5＜x＜2.6 5.(3分)已知方程x2－2x－5=0的一个近似解是－1.45，则这个方程的另一个近似解是　3.45　。(精确到0.01)  【解析】 由题知，方程x2－2x－5=0的解可看成抛物线y=x2－2x－5与x轴交点的横坐标。 ∵该方程的一个近似解是－1.45，且抛物线y=x2－2x－5的对称轴为直线x=1， 则1－(－1.45)=2.45，1＋2.45=3.45，∴抛物线y=x2－2x－5与x轴另一个交点的横坐标为3.45， ∴这个方程的另一个近似解是3.45。 6.(3分)如图，二次函数y1=ax2＋c(a≠0)与一次函数y2=mx＋n(m≠0)的图象相交于点 A(－3，p)，B(2，q)，若ax2＋c＜－mx＋n，则x的取值范围是　－2＜x＜3　。  7.(8分)利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根(精确到0.1)。 (1)(2分)4x2－8x＋1=0； (2)(2分)x2－2x－5=0； (3)(2分)2x2－6x＋3=0； (4)(2分)x2－x－1=0。 解：(1)画函数y=4x2－8x＋1的图象，如答图1。 第7题答图1 由图象可知x1≈1.9，x2≈0.1。 (2)画函数y=x2－2x－5的图象，如答图2。 第7题答图2 由图象可知x1≈3.4，x2≈－1.4。 (3)画函数y=2x2－6x＋3的图象，如答图3。 第7题答图3 由图象可知x1≈2.4，x2≈0.6。 (4)画函数y=x2－x－1的图象，如答图4。 第7题答图4 由图象可知x1≈1.6，x2≈－0.6。 8.(8分)已知二次函数y=x2＋x的图象如图所示。 (1)(4分)根据方程的根和函数图象与x轴交点横坐标之间的关系，将方程x2＋x=1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x2＋x=1的根：　x1≈－1.6，x2≈0.6　(精确到0.1)。  (2)(4分)在同一坐标系中画出一次函数y=x＋的图象，并写出一次函数的值小于二次函数的值时自变量x的取值范围：　x＜－1.5或x＞1　。  解：(1)画图如答图。 (2)画图如答图。 第8题答图 9.如图所示，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是直线x=－1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点横坐标在1和2之间。有下列结论：①2a－b=0；②方程ax2＋bx＋c=0一定有一根在－3和－4之间；③方程ax2＋bx＋c－1=0一定有两个不等实根；④a＋b＞－2。其中正确的结论有(　D　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 ∵二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x=－1， ∴－=－1， ∴2a－b=0，故①正确； ∵二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x=－1，与x轴的一个交点横坐标在1和2之间， ∴另一个交点横坐标在－4和－3之间， ∴方程ax2＋bx＋c=0一定有一根在－3和－4之间，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点纵坐标是2， ∴抛物线与直线y=1一定有两个交点， ∴方程ax2＋bx＋c－1=0一定有两个不等实根，故③正确； ∵抛物线开口向下，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点横坐标在1和2之间， ∴当x=1时，y＞0， ∴a＋b＋2＞0， ∴a＋b＞－2，故④正确。 10.(3分)已知二次函数y=－x2＋2x＋m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m=0的根为　x1=－1，x2=3　；不等式－x2＋2x＋m＞0的解集是　－1＜x＜3　；当x　＞1　时，y随x的增大而减小。  11.(8分)阅读材料，解答问题。 例：用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0。 解：设y=x2－2x－3，则y是x的二次函数。 ∵a=1＞0，∴抛物线开口向上。 又∵当y=0时，x2－2x－3=0，解得x1=－1，x2=3。 ∴由此得抛物线y=x2－2x－3的大致图象如图所示。 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0， ∴x2－2x－3＞0的解集是：x＜－1或x＞3。 (1)(3分)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2－2x－3＜0的解集是　－1＜x＜3　；  (2)(5分)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0。 第11题图　　 第11题答图 解：(2)设y=x2－1，则y是x的二次函数， ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上。 又∵当y=0时，x2－1=0， 解得x1=－1，x2=1， ∴由此得抛物线y=x2－1的大致图象如答图所示。 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞1时，y＞0， ∴x2－1＞0的解集是：x＜－1或x＞1。 12.(12分)[应用意识]综合与实践 【研究主题】抛绣球得分策略研究 【场地介绍】如图1，绣球训练场地中，高杆底部B到两边抛球线的距离OB和BQ均为6 m，高杆BC高度为5 m，球圈的半径是0.5 m。 【测试方法】测试员在抛球线后将球抛出，绣球穿过高杆上方的球圈算成功一次，绣球抛出后快跑捡回，至对面抛球线后继续抛出，规定时间内穿过次数越多，得分越高。 【实践建模】如图2，测试过程中，球从O点正上方1.5 m的A处飞出，穿过球圈后，落到点E(点O，B，E在同一条直线上)。绣球大小和球圈厚度忽略不计，在不考虑空气阻力的情况下，绣球的飞行路线是抛物线。以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 (1)(6分)当绣球飞行的水平距离为4 m时，达到最大高度6.3 m。 ①(2分)求y关于x的函数表达式。 ②(4分)请判断此次抛出的绣球是否能穿过球圈，并说明理由。 【方案优化】实践发现，绣球落点E的位置影响得分效率，当10≤OE≤12时，落点E位于最佳区域。 (2)(2分)请判断(1)中绣球的落点E是否位于最佳区域，并说明理由。 (3)(4分)调整绣球的轨迹，使其穿过球圈的圆心后，落点E在最佳区域。设此时飞行路线的表达式为y=ax2＋bx＋1.5，请写出a的取值范围。 解：(1)①由题意可设抛物线表达式为y=a(x－4)2＋6.3，代入A(0，1.5)得： 1.5=a(0－4)2＋6.3， 解得a=－0.3， ∴抛物线表达式为y=－0.3(x－4)2＋6.3。 ②本次抛出的绣球能穿过球圈。 理由：当x=6时，代入抛物线表达式得y=－0.3×(6－4)2＋6.3=5.1， 由题意，C点高度为5 m，球圈的半径是0.5 m，绣球大小忽略不计， 球圈顶端高度为5＋0.5×2=6(m)。 ∵5＜5.1＜6， ∴绣球能穿过球圈。 (2)绣球没有落在最佳区域。 理由：令抛物线中y=0， －0.3(x－4)2＋6.3=0， 解得x=4＋(负值舍去)。 ∵x=4＋＜10， ∴绣球没有落在最佳区域。 (3)根据题意绣球的轨迹穿过球圈圆心，故抛物线过(6，5.5)，代入y=ax2＋bx＋1.5， 得36a＋6b＋1.5=5.5， 解得b=－6a， 代入抛物线表达式得y=ax2＋x＋1.5， 抛物线过(6，5.5)和(0，1.5)，由图象知，抛物线开口越大，OE越大， ∴当OE=10时抛物线开口最小，当OE=12时抛物线开口最大， 由条件可得100a＋10＋1.5=0， 解得a=－， 由条件可得144a＋12＋1.5=0， 解得a=－，∴－≤a≤－。 学科网（北京）股份有限公司 $