第1章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版数学九上《二次函数》单元基础卷，覆盖定义、性质、图像变换及实际应用，通过射水鱼、篮球投篮等情境培养抽象能力与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|二次函数定义（1题）、顶点坐标（2题）、图像平移（3题）|结合图像辨析性质，如第5题通过顶点判断函数关系| |填空题|6题/18分|实际应用（11题射水鱼）、方程解（12题）|联系生物情境，如11题用抛物线判断水流能否击中昆虫| |解答题|8题/72分|解析式求解（17题）、实际建模（21题篮球投篮、23题拱桥）|融合运动与建筑场景，如21题建立投篮抛物线模型，24题销售利润问题培养应用意识|

《第1章 二次函数》基础卷-浙教版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）. A．y=2x-3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义； B：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义； C：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数； D：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义， 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的定义“形如，其中、、为常数且的整式函数”逐一分析选项． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A．(3，4) B．(-3，4) C．(-3，-4) D．(3，-4) 【答案】A 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质 【解析】【解答】解：的顶点坐标是(3，4) 故答案为：A 【分析】根据二次函数的顶点式即可求出顶点坐标. 3．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】 设向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位， ∴平移后解析式为y=（x-a）2+4-b， 4-b<4， 故答案为：A 【分析】 利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项. 4．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质 【解析】【解答】解：∵2＞0， ∴y＝2（x+1）2+3的最小值是3. 故答案为：D。 【分析】由二次函数的顶点式即可得出函数的最小值。 5．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（　　） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由图象可得，抛物线开口朝下，则a<0 ∵顶点P(2，3) ∴对称轴为直线x=2，即 ∴b=-4a，即4a+b=0，A错误； 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3 令x=0，则y=4a+3，即抛物线y轴的交点坐标为(0，4a+3) 由图象可得，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y=1下方 ∴0<4a+3<1，解得：，B正确 根据图象，当x=2时，取得最大值为y=4a+2b+3 对任意实数t， ∴，C错误 ∵对称轴为x=2 ∴ 当m=0时，两点到对称轴的距离相等 ∴，D错误 故答案为：B 【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系，对称性质逐项进行判断即可求出答案. 6．若点，，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：对于二次函数，其对称轴为轴，开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 点关于轴对称的点为， ， ， 故选：D． 【分析】 根据二次函数的性质，已知抛物线解析式为，可推出它开口向上，对称轴为轴，结合“抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小”这一性质，即可完成判断. 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【答案】B 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是， ∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m， 故答案为：B. 【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解. 8．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：二次函数开口向上，即；而二次函数与y轴交于负半轴，即；二次函数对称轴在y轴右侧，即，因此， 综上得出，，c＜0， ∴点在第三象限． 故答案为：C。 【分析】本题结合二次函数的性质，可以首先得出、，然后结合二次函数的对称轴，分析得出b＜0，此时综合得出，c＜0，最后根据象限坐标的特点即可得出答案。 9． 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可． 10．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（　　） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【分析】应该在与之间，结合表格信息即可求出答案. 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流　 　击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【解答】解：当x=20时， ∵40<50，即当水平距离为20cm时，水流的高度为40cm，低于昆虫所在的高度50cm ∴P(20，50)不在抛物线上 ∴这次射出的水流不能击中昆虫 故答案为：不能 【分析】将x=20代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案. 12． 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　． 【答案】-1 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由图象可得： 二次函数的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3，0) ∴函数图象与x轴的另一个交点为(-1，0) ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解-1 故答案为：-1 【分析】根据函数图象与x轴交点坐标即为对应方程的解即可求出答案. 13．关于x的函数图象经过原点，则m的值为　 　． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵关于x的函数图象经过原点， ∴， ∴， 解得或， 当时，原函数为，符合题意， 当时，原函数为，符合题意， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 【分析】根据函数图象上点的坐标特点，将点(0，0)代入y=(m-3)x2+5x+m2-m-6可得关于字母m的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程即可求出m的值. 14．二次函数，当时，的最大值和最小值的和是　 　． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是x＝1， 则当x＝1时，y＝1−2−3＝−4，是最小值； 当x＝3时，y＝9−6−3＝0是最大值． 的最大值和最小值的和是-4 故答案为：-4． 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质并结合求出对应的函数值y的取值范围，从而得解. 15．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：把代入， 得：， ∴ 【分析】将点代入抛物线可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 16．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m ，水面宽6m ，建立如图②所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式是　 　. 【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：设抛物线的表达式为y=ax2（a≠0）， 将（3，-3）代入可得，-3=9a， 解得：a=-， 所以抛物线的表达式为y=-x2. 故答案为：y=-x2. 【分析】设抛物线的表达式为y=ax2（a≠0），将（3，-3）代入表达式，即可得出答案. 三、解答题（共8题，共72分） 17．已知点A(a，7)在抛物线y=x2+4x+10上． （1）求点A的坐标； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴a2+4a+10=7， 解得，a=-1或-3， ∴点A的坐标为（-1，7）或（-3，7）； （2）∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6， ∴抛物线的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）． 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把点 A(a，7) 代入解析式，可得出关于字母a的二元一次方程，求解得出a的值，从而可得点A的坐标； （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答. 18．已知：二次函数 （1）把这个二次函数表示成的形式； （2）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的； （3）试求出抛物线与x轴的交点坐标；并直接写出：当x为何值时，代数式的值是负数． 【答案】（1）解：， ， ； （2）解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． （3）与x轴的交点坐标为与；当时，的值是负数． 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 【分析】（1）根据配方法，首先提取二次项系数，使二次项系数化为1，然后再进行和配方，即可得出y=即可； （2）根据顶点式，可直接得出 抛物线的顶点坐标为（1，-2）和对称轴为x=1；并根据平移规律可得出平移方式即可； （3）令即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合二次函数性质，即可得出x的取值． （1）解：， ， ； （2）解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． （3）解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 19．已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点. （1）求三点的坐标； （2）求的面积 【答案】（1）解： 二次函数 ，令x=0，得y=-3，故二次函数与y轴的交点为(0，-3)， 令x=0，得，得x1=-3，x2=1，故与x轴的交点为(-3，0)、(1，0) 故A(-3，0) B(1，0) C(0，-3). （2）解：AB=1-(-3)=4，OC=3，故. 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】(1)分别令x=0，y=0求出对应的y值与x的值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)由(1)知AB=4，OC=3，即可得△ABC的面积. 20．已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x （1） 求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围； （2）当S=3.5时，求x的值. 【答案】（1）解：由题意可得，AB=8-x， 面积 S关于x的函数表达式 S=， x的取值范围为：0＜x＜8. （2）解：当s=3.5时，=3.5， 化简得：x2-8x+7=0， 解得：x1=1；x2=7. 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）先求出AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出答案； （2）将S=3.5代入（1）中的等式，进而得出答案. 21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）解：根据题意，将球出手点、最高点和篮圈的位置标点如下： 则，， ∴设二次函数解析式为， 则将点A代入可得，16a+4=， 解得：a=， ∴抛物线的解析式为； （2）解：此球能否准确投中， 理由：根据题意可知，点C的坐标为（7，3）， 将x=7代入得，， ∴点C在抛物线上， ∴此球一定能投中. 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线解析式求得的值，进而即可得出答案． （1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22． 2024年巴黎奥运会的官方吉祥物“弗里热”是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合.奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱.尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元. （1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； （2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支.进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个.为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价10%后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）解：设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元 由题意可得： 解得： ∴“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元. （2）解：设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w 由题意可得：w=(120-120×10%-90)a+(80-60)(600-a)=-2a+12000 ∵-2<0 ∴当a取最小值时，w取最大值 ∵a≥200 ∴a=200时，w的最大值为12000-400=11600元 ∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元，根据8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元建立方程组，解方程组即可求出答案. （2）设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案. 23．3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1）解：根据题意可知，点A（-6，0），点B（-3，4.5）， 设抛物线的表达式为：， 将点A代入，得：0=（-6+3）2a+4.5， 即9a+4.5=0， 解得：a=， ∴ 抛物线的表达式为. （2）解：根据题意可知，CE=2m，DF=2m， 即y=2， 将y=2代入，得，， 解得：，， ∴EF=， 答：两条彩带之间的水平距离为米. 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，再将点A的坐标代入求解即可得出答案； （2）由（1）可得抛物线的表达式为，再将代入求解即可得出答案． （1）解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ （2）解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 24．某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只.设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只. （1）求y与x之间的函数关系式. （2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式. （3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润?最大毛利润是多少元? （注：每只毛利润=每只销售价-每只进价） 【答案】（1）解：由题意得：y=60-2(x-30)=-2x+120 （2）解：由题意得：W=(x-20)(-2x+120)=-2x2+160x-2400 （3）解：W=-2x2+160x-2400=-2(x-40)2+800 ∵-2<0 ∴抛物线开口向下，当x<40时，W随x的增大而增大， ∵规定每件售价不得高于35元 ∴当x=35时，W取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】(1)平均每天销售量y=原来的销售量60-2×相对于30元的单价提高的价格； (2)销售利润W=单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式； (3)根据题中所给的自变量的取值，结合(2)得到的关系式，即可求得二次函数的最值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《第1章 二次函数》基础卷-浙教版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）. A．y=2x-3 B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A．(3，4) B．(-3，4) C．(-3，-4) D．(3，-4) 3．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 4．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（　　） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 6．若点，，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 8．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9． 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 10．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（　　） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流　 　击中昆虫．（填“能”或“不能”） 12． 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　． 13．关于x的函数图象经过原点，则m的值为　 　． 14．二次函数，当时，的最大值和最小值的和是　 　． 15．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为　 　． 16．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m ，水面宽6m ，建立如图②所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式是　 　. 三、解答题（共8题，共72分） 17．已知点A(a，7)在抛物线y=x2+4x+10上． （1）求点A的坐标； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 18．已知：二次函数 （1）把这个二次函数表示成的形式； （2）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的； （3）试求出抛物线与x轴的交点坐标；并直接写出：当x为何值时，代数式的值是负数． 19．已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点. （1）求三点的坐标； （2）求的面积 20．已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x （1） 求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围； （2）当S=3.5时，求x的值. 21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 22． 2024年巴黎奥运会的官方吉祥物“弗里热”是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合.奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱.尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元. （1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； （2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支.进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个.为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价10%后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润. 23．3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 24．某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只.设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只. （1）求y与x之间的函数关系式. （2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式. （3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润?最大毛利润是多少元? （注：每只毛利润=每只销售价-每只进价） 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义； B：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义； C：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数； D：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义， 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的定义“形如，其中、、为常数且的整式函数”逐一分析选项． 2．【答案】A 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质 【解析】【解答】解：的顶点坐标是(3，4) 故答案为：A 【分析】根据二次函数的顶点式即可求出顶点坐标. 3．【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】 设向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位， ∴平移后解析式为y=（x-a）2+4-b， 4-b<4， 故答案为：A 【分析】 利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项. 4．【答案】D 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质 【解析】【解答】解：∵2＞0， ∴y＝2（x+1）2+3的最小值是3. 故答案为：D。 【分析】由二次函数的顶点式即可得出函数的最小值。 5．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由图象可得，抛物线开口朝下，则a<0 ∵顶点P(2，3) ∴对称轴为直线x=2，即 ∴b=-4a，即4a+b=0，A错误； 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3 令x=0，则y=4a+3，即抛物线y轴的交点坐标为(0，4a+3) 由图象可得，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y=1下方 ∴0<4a+3<1，解得：，B正确 根据图象，当x=2时，取得最大值为y=4a+2b+3 对任意实数t， ∴，C错误 ∵对称轴为x=2 ∴ 当m=0时，两点到对称轴的距离相等 ∴，D错误 故答案为：B 【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系，对称性质逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：对于二次函数，其对称轴为轴，开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 点关于轴对称的点为， ， ， 故选：D． 【分析】 根据二次函数的性质，已知抛物线解析式为，可推出它开口向上，对称轴为轴，结合“抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小”这一性质，即可完成判断. 7．【答案】B 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是， ∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m， 故答案为：B. 【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解. 8．【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：二次函数开口向上，即；而二次函数与y轴交于负半轴，即；二次函数对称轴在y轴右侧，即，因此， 综上得出，，c＜0， ∴点在第三象限． 故答案为：C。 【分析】本题结合二次函数的性质，可以首先得出、，然后结合二次函数的对称轴，分析得出b＜0，此时综合得出，c＜0，最后根据象限坐标的特点即可得出答案。 9．【答案】A 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可． 10．【答案】A 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【分析】应该在与之间，结合表格信息即可求出答案. 11．【答案】不能 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【解答】解：当x=20时， ∵40<50，即当水平距离为20cm时，水流的高度为40cm，低于昆虫所在的高度50cm ∴P(20，50)不在抛物线上 ∴这次射出的水流不能击中昆虫 故答案为：不能 【分析】将x=20代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案. 12．【答案】-1 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由图象可得： 二次函数的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3，0) ∴函数图象与x轴的另一个交点为(-1，0) ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解-1 故答案为：-1 【分析】根据函数图象与x轴交点坐标即为对应方程的解即可求出答案. 13．【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵关于x的函数图象经过原点， ∴， ∴， 解得或， 当时，原函数为，符合题意， 当时，原函数为，符合题意， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 【分析】根据函数图象上点的坐标特点，将点(0，0)代入y=(m-3)x2+5x+m2-m-6可得关于字母m的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程即可求出m的值. 14．【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是x＝1， 则当x＝1时，y＝1−2−3＝−4，是最小值； 当x＝3时，y＝9−6−3＝0是最大值． 的最大值和最小值的和是-4 故答案为：-4． 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质并结合求出对应的函数值y的取值范围，从而得解. 15．【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：把代入， 得：， ∴ 【分析】将点代入抛物线可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 16．【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：设抛物线的表达式为y=ax2（a≠0）， 将（3，-3）代入可得，-3=9a， 解得：a=-， 所以抛物线的表达式为y=-x2. 故答案为：y=-x2. 【分析】设抛物线的表达式为y=ax2（a≠0），将（3，-3）代入表达式，即可得出答案. 17．【答案】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴a2+4a+10=7， 解得，a=-1或-3， ∴点A的坐标为（-1，7）或（-3，7）； （2）∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6， ∴抛物线的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）． 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把点 A(a，7) 代入解析式，可得出关于字母a的二元一次方程，求解得出a的值，从而可得点A的坐标； （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答. 18．【答案】（1）解：， ， ； （2）解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． （3）与x轴的交点坐标为与；当时，的值是负数． 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 【分析】（1）根据配方法，首先提取二次项系数，使二次项系数化为1，然后再进行和配方，即可得出y=即可； （2）根据顶点式，可直接得出 抛物线的顶点坐标为（1，-2）和对称轴为x=1；并根据平移规律可得出平移方式即可； （3）令即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合二次函数性质，即可得出x的取值． （1）解：， ， ； （2）解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． （3）解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 19．【答案】（1）解： 二次函数 ，令x=0，得y=-3，故二次函数与y轴的交点为(0，-3)， 令x=0，得，得x1=-3，x2=1，故与x轴的交点为(-3，0)、(1，0) 故A(-3，0) B(1，0) C(0，-3). （2）解：AB=1-(-3)=4，OC=3，故. 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】(1)分别令x=0，y=0求出对应的y值与x的值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)由(1)知AB=4，OC=3，即可得△ABC的面积. 20．【答案】（1）解：由题意可得，AB=8-x， 面积 S关于x的函数表达式 S=， x的取值范围为：0＜x＜8. （2）解：当s=3.5时，=3.5， 化简得：x2-8x+7=0， 解得：x1=1；x2=7. 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）先求出AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出答案； （2）将S=3.5代入（1）中的等式，进而得出答案. 21．【答案】（1）解：根据题意，将球出手点、最高点和篮圈的位置标点如下： 则，， ∴设二次函数解析式为， 则将点A代入可得，16a+4=， 解得：a=， ∴抛物线的解析式为； （2）解：此球能否准确投中， 理由：根据题意可知，点C的坐标为（7，3）， 将x=7代入得，， ∴点C在抛物线上， ∴此球一定能投中. 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线解析式求得的值，进而即可得出答案． （1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22．【答案】（1）解：设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元 由题意可得： 解得： ∴“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元. （2）解：设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w 由题意可得：w=(120-120×10%-90)a+(80-60)(600-a)=-2a+12000 ∵-2<0 ∴当a取最小值时，w取最大值 ∵a≥200 ∴a=200时，w的最大值为12000-400=11600元 ∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元，根据8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元建立方程组，解方程组即可求出答案. （2）设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案. 23．【答案】（1）解：根据题意可知，点A（-6，0），点B（-3，4.5）， 设抛物线的表达式为：， 将点A代入，得：0=（-6+3）2a+4.5， 即9a+4.5=0， 解得：a=， ∴ 抛物线的表达式为. （2）解：根据题意可知，CE=2m，DF=2m， 即y=2， 将y=2代入，得，， 解得：，， ∴EF=， 答：两条彩带之间的水平距离为米. 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，再将点A的坐标代入求解即可得出答案； （2）由（1）可得抛物线的表达式为，再将代入求解即可得出答案． （1）解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ （2）解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 24．【答案】（1）解：由题意得：y=60-2(x-30)=-2x+120 （2）解：由题意得：W=(x-20)(-2x+120)=-2x2+160x-2400 （3）解：W=-2x2+160x-2400=-2(x-40)2+800 ∵-2<0 ∴抛物线开口向下，当x<40时，W随x的增大而增大， ∵规定每件售价不得高于35元 ∴当x=35时，W取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】(1)平均每天销售量y=原来的销售量60-2×相对于30元的单价提高的价格； (2)销售利润W=单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式； (3)根据题中所给的自变量的取值，结合(2)得到的关系式，即可求得二次函数的最值. 学科网（北京）股份有限公司 $