2.4《一元二次方程的应用》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础应用到中考综合，覆盖9大知识点，通过实际情境问题培养数学抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|几何面积、勾股定理等9个单一知识点|20道基础题，如矩形剪正方形、梯子滑动问题，强化方程建模的数学眼光| |进阶思维题|跨知识点综合应用（如利润与函数结合）|选择填空+解答题，含增长率方程构建，提升数学推理与运算能力| |中考链接题|动态几何、最大利润等中考核心题型|10道中考真题，如矩形动点面积问题，培养数学语言表达与模型观念|

北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.4一元二次方程的应用 本节知识点总结 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 2．几何面积问题：利用面积公式建立方程，注意道路宽度、边长为正等实际限制。 3．勾股定理应用问题：梯子滑动、航行问题、九章算术等，利用a²+b²=c²建立方程。 4．增长率问题：原量×(1+增长率)ⁿ=现量，连续两次增长用(1+x)²。 5．传播问题：每轮每人传染x人，两轮后总感染人数为(1+x)²。 6．利润问题：单件利润×销售量=总利润，注意涨价/降价对销售量的影响。 7．数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字，连续整数设为x、x+1等。 8．动点问题：用时间t表示各线段长度，利用面积或勾股定理建立方程。 9．检验：解出方程的根后，必须检验是否符合实际意义，不合题意的根要舍去。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 几何面积问题 1．（2024秋·北京海淀·期中）用一块长为30cm、宽为20cm的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为264cm²，求x的值。 【答案】x=4 【分析】折成盒子后底面长为(30-2x)cm，宽为(20-2x)cm，底面积=(30-2x)(20-2x)=264。 【详解】解：设剪去的正方形边长为x cm，则盒子底面长为(30-2x)cm，宽为(20-2x)cm。 根据题意得：(30-2x)(20-2x) = 264， 展开得：600 - 100x + 4x² = 264， 整理得：x² - 25x + 84 = 0， 因式分解得：(x-4)(x-21) = 0， 解得：x₁ = 4，x₂ = 21。 检验：当x=21时，20-2x=-22<0，不合题意，舍去；当x=4时，符合题意。 答：x的值为4cm。 2．（2024秋·上海浦东·月考）如图，在一块长20m、宽12m的矩形花园中，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分栽种花草。若栽种花草的面积为171m²，求道路的宽。 【答案】道路宽为1m 【分析】设道路宽为x m，将四块草坪平移合并为一个长(20-x)m、宽(12-x)m的矩形。 【详解】解：设道路的宽为x m。 将四块草坪向中间平移，合并为一个长(20-x)m、宽(12-x)m的矩形。 根据题意得：(20-x)(12-x) = 171， 整理得：x² - 32x + 69 = 0， 因式分解得：(x-1)(x-69) = 0， 解得：x₁ = 1，x₂ = 69（舍去）。 检验：x=1<12，符合题意。 答：道路的宽为1m。 3．（2024秋·广东深圳·单元测）一个直角三角形的两条直角边的和为14cm，面积为24cm²，求这两条直角边的长。 【答案】两条直角边分别为6cm和8cm 【分析】设一条直角边为x cm，则另一条为(14-x)cm，面积=½x(14-x)=24。 【详解】解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(14-x)cm。 根据题意得：½x(14-x) = 24， 整理得：x² - 14x + 48 = 0， 因式分解得：(x-6)(x-8) = 0， 解得：x₁ = 6，x₂ = 8。 检验：两组解均使边长为正，符合题意。 答：这两条直角边的长分别为6cm和8cm。 题型02 勾股定理应用问题 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，一架长10m的梯子AB斜靠在竖直的墙上，梯子底端B到墙的距离为6m。若梯子的顶端A下滑1m到A'，求梯子底端B向外滑动的距离。 【答案】梯子底端向外滑动(√51-6)m 【分析】先求初始时A到地面高度为8m，下滑1m后A'高度为7m，再求B'到墙距离为√51。 【详解】解：在Rt△AOB中，AB=10m，OB=6m， 由勾股定理得：OA = = = 8(m)。 顶端A下滑1m后，OA' = 8-1 = 7(m)。 在Rt△A'OB'中，A'B'=10m，OA'=7m， OB' = = (m)。 ∴ 梯子底端向外滑动的距离为 BB' = OB'-OB = (-6)m。 答：梯子底端向外滑动(-6)m。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）《九章算术》中有一道"引葭赴岸"问题：有一个边长为1丈（10尺）的正方形水池，水池中央长有一根芦苇，露出水面1尺。把芦苇拉到岸边，芦苇顶端恰好碰到岸边水面。求水池的深度和芦苇的长度。 【答案】水深12尺，芦苇长13尺 【分析】设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，水池半宽5尺，由勾股定理x²+5²=(x+1)²。 【详解】解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺。 水池中心到岸边的水平距离为5尺。 由勾股定理得：x² + 5² = (x+1)²， 展开得：x² + 25 = x² + 2x + 1， 化简得：2x = 24，解得 x = 12。 芦苇长 = x+1 = 13(尺)。 检验：x=12>0，符合实际意义。 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺。 6．（2024秋·山东济南·期中）甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲船以16海里/时的速度向东南方向航行，乙船以12海里/时的速度向西南方向航行。几小时后两船相距40海里？ 【答案】2小时 【分析】东南与西南方向夹角为90°，t小时后甲船航行16t海里，乙船航行12t海里。 【详解】解：设t小时后两船相距40海里。 甲船向东南方向，乙船向西南方向，两船航行方向的夹角为90°。 t小时后，甲船航行16t海里，乙船航行12t海里。 由勾股定理得：(16t)² + (12t)² = 40²， 即 400t² = 1600，t² = 4， 解得 t₁ = 2，t₂ = -2（舍去）。 检验：t=2>0，符合实际意义。 答：2小时后两船相距40海里。 题型03 增长率问题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）某商店4月份的利润为25万元，6月份的利润为36万元。设平均每月利润的增长率为x，求平均每月的增长率。 【答案】平均每月增长率为20% 【分析】4月到6月经过2个月，25(1+x)²=36。 【详解】解：设平均每月利润的增长率为x。 根据题意得：25(1+x)² = 36， 两边除以25得：(1+x)² = 36/25， 开方得：1+x = ±6/5， 解得 x₁ = = 20%，x₂ = -（舍去）。 检验：x=20%>0，符合实际意义。 答：平均每月的增长率为20%。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）某县2022年投入教育经费2500万元，预计2024年投入3600万元。求这两年投入教育经费的年平均增长率。 【答案】年平均增长率为20% 【分析】2500(1+x)²=3600。 【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x。 根据题意得：2500(1+x)² = 3600， 两边除以2500得：(1+x)² = ， 开方得：1+x = ±， 解得 x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = -2.2（舍去）。 检验：x=20%>0，符合实际意义。 答：这两年投入教育经费的年平均增长率为20%。 9．（2024秋·河南郑州·月考）某种商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元。若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。 【答案】每次降价10% 【分析】100(1-x)²=81。 【详解】解：设每次降价的百分率为x。 根据题意得：100(1-x)² = 81， 两边除以100得：(1-x)² = 0.81， 开方得：1-x = ±9/10， 解得 x₁ = = 10%，x₂ = 1.9（舍去）。 检验：x=10%在0到1之间，符合实际意义。 答：每次降价的百分率为10%。 题型04 传播问题 10．（2024秋·河北石家庄·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少个小分支。 【答案】每个支干长出9个小分支 【分析】设每个支干长出x个小分支，则总数为1+x+x²=91。 【详解】解：设每个支干长出x个小分支。 主干有1个，支干有x个，小分支有x²个。 根据题意得：1 + x + x² = 91， 整理得：x² + x - 90 = 0， 因式分解得：(x+10)(x-9) = 0， 解得 x₁ = 9，x₂ = -10（舍去）。 检验：x=9>0，符合实际意义。 答：每个支干长出9个小分支。 11．（2024秋·陕西西安·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感。求每轮传染中平均一个人传染了几个人。 【答案】每轮平均一个人传染10个人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，两轮后有(1+x)²人患流感。 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 第一轮传染后，共有(1+x)人患流感； 第二轮传染后，共有(1+x)²人患流感。 根据题意得：(1+x)² = 121， 开方得：1+x = ±11， 解得 x₁ = 10，x₂ = -12（舍去）。 检验：x=10>0，符合实际意义。 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中） 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。求每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑。 【答案】每轮平均一台电脑感染8台 【分析】设每轮感染中平均一台电脑感染x台，(1+x)²=81。 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑。 根据题意得：(1+x)² = 81， 开方得：1+x = ±9， 解得 x₁ = 8，x₂ = -10（舍去）。 检验：x=8>0，符合实际意义。 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。 题型05 利润问题（涨价/降价） 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）某商店购进一批商品，每件进价为30元。当售价为每件50元时，每天可售出100件。经市场调查，售价每降低1元，每天可多售出10件。若商店想每天获得2240元的利润，每件商品应降价多少元？ 【答案】每件商品应降价4元或6元 【分析】设降价x元，单件利润(20-x)元，销售量(100+10x)件。 【详解】解：设每件商品应降价x元。 则单件利润为(50-x-30)=(20-x)元，每天销售量为(100+10x)件。 根据题意得：(20-x)(100+10x) = 2240， 整理得：x² - 10x + 24 = 0， 因式分解得：(x-4)(x-6) = 0， 解得 x₁ = 4，x₂ = 6。 检验：x=4时，20-x=16>0；x=6时，20-x=14>0，均符合题意。 答：每件商品应降价4元或6元。 14．（2024秋·天津南开·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价10元或20元 【分析】设降价x元，单件利润(40-x)元，销售量(20+2x)件。 【详解】解：设每件衬衫应降价x元。 则单件利润为(40-x)元，每天销售量为(20+2x)件。 根据题意得：(40-x)(20+2x) = 1200， 整理得：x² - 30x + 200 = 0， 因式分解得：(x-10)(x-20) = 0， 解得 x₁ = 10，x₂ = 20。 检验：x=10时，40-x=30>0；x=20时，40-x=20>0，均符合题意。 答：每件衬衫应降价10元或20元。 15．（2024秋·四川成都·月考）某水果批发商经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】每千克应涨价5元 【分析】设涨价x元，单件利润(10+x)元，销售量(500-20x)千克，要使顾客实惠取较小值。 【详解】解：设每千克应涨价x元。 则每千克盈利(10+x)元，每天销售量为(500-20x)千克。 根据题意得：(10+x)(500-20x) = 6000， 整理得：x² - 15x + 50 = 0， 因式分解得：(x-5)(x-10) = 0， 解得 x₁ = 5，x₂ = 10。 检验：两组解均使销售量为正，符合题意。 ∵ 要使顾客得到实惠，∴ 应取较小的涨价幅度，即x=5。 答：每千克应涨价5元。 题型06 数字问题 16．（2024秋·安徽合肥·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个两位数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736。求原来的两位数。 【答案】原来的两位数为23或32 【分析】设十位数字为x，则个位数字为(5-x)，原数=9x+5，新数=50-9x。 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5-x)。 原两位数为 10x + (5-x) = 9x + 5， 对调后的新两位数为 10(5-x) + x = 50 - 9x。 根据题意得：(9x+5)(50-9x) = 736， 整理得：x² - 5x + 6 = 0， 因式分解得：(x-2)(x-3) = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 3。 当x=2时，原数=23；当x=3时，原数=32，均符合题意。 答：原来的两位数为23或32。 17．（2024秋·福建福州·月考）两个连续偶数的积为168，求这两个数。 【答案】这两个数为12和14，或-14和-12 【分析】设较小的偶数为x，则较大的为(x+2)，x(x+2)=168。 【详解】解：设较小的偶数为x，则较大的偶数为(x+2)。 根据题意得：x(x+2) = 168， 整理得：x² + 2x - 168 = 0， 因式分解得：(x+14)(x-12) = 0， 解得 x₁ = 12，x₂ = -14。 当x=12时，x+2=14；当x=-14时，x+2=-12。 检验：两组均为连续偶数，符合题意。 答：这两个数为12和14，或-14和-12。 18．（2024秋·江西南昌·期中）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数。 【答案】这个两位数为25或36 【分析】设十位数字为x，则个位数字为(x+3)，两位数=11x+3，由题意11x+3=(x+3)²。 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为(x+3)。 这个两位数为 10x + (x+3) = 11x + 3。 根据题意得：11x + 3 = (x+3)²， 整理得：x² - 5x + 6 = 0， 因式分解得：(x-2)(x-3) = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 3。 当x=2时，个位=5，两位数=25=5²，符合； 当x=3时，个位=6，两位数=36=6²，符合。 答：这个两位数为25或36。 题型07 动点问题 19．（2024秋·广西南宁·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。点P从点A出发沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向C以2cm/s的速度移动。设P、Q同时出发，运动时间为t s。当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？ 【答案】t=4s或t=8s 【分析】PB=6-t，BQ=2t，S△PBQ=(6-t)×2t=8。 【详解】解：设运动时间为t s。 则 PB = (6 - t) cm，BQ = 2t cm。 S△PBQ = × PB × BQ = (6-t)×2t。 根据题意得：(6-t)×2t = 8， 整理得：t² - 6t + 8 = 0， 因式分解得：(t-2)(t-4) = 0， 解得 t₁ = 2，t₂ = 4。 检验：t=2时，PB=6>0，BQ=4≤12；t=4时，PB=2>0，BQ=8≤12，均符合题意。 答：当t为2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm²。 20．（2024秋·云南昆明·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC向C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB向B以2cm/s的速度移动。若P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒后△PCQ的面积等于8cm²？ 【答案】经过2秒或4秒后△PCQ的面积等于8cm² 【分析】PC=6-t，CQ=2t，S△PCQ=(6-t)×2t=t(6-t)=8。 【详解】解：设经过t秒后△PCQ的面积等于8cm²。 则 PC = (6 - t) cm，CQ = 2t cm。 S△PCQ = × PC × CQ = (6-t)×2t = t(6-t)。 根据题意得：t(6-t) = 8， 整理得：t² - 6t + 8 = 0， 因式分解得：(t-2)(t-4) = 0， 解得 t₁ = 2，t₂ = 4。 检验：t=2时，PC=4>0，CQ=4≤8；t=4时，PC=2>0，CQ=8≤8，均符合题意。 答：经过2秒或4秒后，△PCQ的面积等于8cm²。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为128元。若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．200(1-x)²=128 B．200(1-2x)=128 C．200(1-x²)=128 D．128(1+x)²=200 【答案】A 【分析】连续两次降价，每次降价百分率为x，第二次降价后为200(1-x)²。 【详解】解：第一次降价后售价为200(1-x)元， 第二次降价后售价为200(1-x)²元。 根据题意得：200(1-x)² = 128。 故选：A。 2．（2024秋·上海闵行·月考）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm²的矩形。设矩形的一边长为x cm，则可列方程为（　　） A．x(20-x)=64 B．x(40-x)=64 C．x(40-2x)=64 D．x(20-2x)=64 【答案】A 【分析】矩形周长为40，一边长为x，则另一边长为20-x，面积=x(20-x)。 【详解】解：矩形周长为40cm，一边长为x cm， 则另一边长为(20-x)cm。 面积 = x(20-x)。 根据题意得：x(20-x) = 64。 故选：A。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际经济形势影响，5月份的产值下降到81万元。设4、5月份平均每月产值下降的百分率为x，则x满足的方程为（　　） A．100(1-x)²=81 B．100(1+x)²=81 C．81(1-x)²=100 D．100(1-2x)=81 【答案】A 【分析】3月到5月经过2个月，每月下降百分率为x，100(1-x)²=81。 【详解】解：3月份产值为100万元，4月份产值为100(1-x)万元， 5月份产值为100(1-x)²万元。 根据题意得：100(1-x)² = 81。 故选：A。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm²。设较短的直角边为x cm，则下列方程正确的是（　　） A．x(x+3)=9 B．x(x-3)=9 C．x(x+3)=9 D．x(x-3)=9 【答案】A 【分析】较短直角边为x，较长直角边为x+3，面积=x(x+3)=9。 【详解】解：设较短的直角边为x cm，则较长的直角边为(x+3)cm。 直角三角形面积 = x(x+3)。 根据题意得：x(x+3) = 9。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线。设这个航空公司共有x个飞机场，则可列方程为（　　） A．x(x-1)=15 B．x(x-1)=15 C．x(x+1)=15 D．x(x+1)=15 【答案】A 【分析】每两个机场之间一条航线，是组合问题，航线数=C(x,2)=x(x-1)。 【详解】解：共有x个飞机场，每两个机场之间开辟一条航线， 即从x个机场中任选2个的组合数。 航线总数 = C(x,2) = 。 根据题意得：x(x-1) = 15。 故选：A。 6．（2024秋·山东青岛·期中）某超市将进价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个。已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。为了赚8000元利润，售价应定为多少元？设售价为x元，则可列方程为（　　） A．(x-40)[500-10(x-50)]=8000 B．(x-40)(500-10x)=8000 C．(50-x)[500-10(x-50)]=8000 D．(x-40)(500-10x)=8000 【答案】A 【分析】单件利润=x-40，销售量=500-10(x-50)，总利润=(x-40)[500-10(x-50)]。 【详解】解：设售价为x元，则单件利润为(x-40)元。 售价从50元涨到x元，涨了(x-50)元， 销售量减少10(x-50)个，所以销售量为[500-10(x-50)]个。 总利润 = (x-40)[500-10(x-50)]。 根据题意得：(x-40)[500-10(x-50)] = 8000。 故选：A。 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）若两个连续整数的积为56，则这两个数为___7和8，或-8和-7___。 【答案】7和8，或-8和-7 【分析】设较小数为x，则x(x+1)=56。 【详解】解：设较小的整数为x，则较大的整数为(x+1)。 根据题意得：x(x+1) = 56， 整理得：x² + x - 56 = 0， 因式分解得：(x+8)(x-7) = 0， 解得 x₁ = 7，x₂ = -8。 当x=7时，x+1=8；当x=-8时，x+1=-7。 ∴ 这两个数为7和8，或-8和-7。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）某小区2022年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2024年屋顶绿化面积达到2880平方米。设每年屋顶绿化面积的增长率相同，则这个增长率为___20%___。 【答案】20% 【分析】2000(1+x)²=2880。 【详解】解：设每年屋顶绿化面积的增长率为x。 根据题意得：2000(1+x)² = 2880， 两边除以2000得：(1+x)² = 1.44， 开方得：1+x = ±1.2， 解得 x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = -2.2（舍去）。 ∴ 这个增长率为20%。 9．（2024秋·河南郑州·月考）一个两位数，十位数字比个位数字大2，且这个两位数与个位数字的乘积等于144。设个位数字为x，则可列方程为__(11x+20)x=144____。 【答案】(11x+20)x=144 【分析】个位数字为x，十位数字为x+2，两位数=10(x+2)+x=11x+20。 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为(x+2)。 这个两位数为 10(x+2) + x = 11x + 20。 根据题意得：(11x+20)x = 144。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条同样宽的道路，剩余部分进行绿化。若绿化面积为7644m²，则道路的宽为___2___m。 【答案】2 【分析】设道路宽为x m，(100-x)(80-x)=7644。 【详解】解：设道路的宽为x m。 将绿化部分平移合并为一个长(100-x)m、宽(80-x)m的矩形。 根据题意得：(100-x)(80-x) = 7644， 整理得：x² - 180x + 356 = 0， 因式分解得：(x-2)(x-178) = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 178（舍去）。 检验：x=2<80，符合题意。 ∴ 道路的宽为2m。 11．（2024秋·陕西西安·月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出__3____个小分支。 【答案】3 【分析】设每个支干长出x个小分支，1+x+x²=13。 【详解】解：设每个支干长出x个小分支。 根据题意得：1 + x + x² = 13， 整理得：x² + x - 12 = 0， 因式分解得：(x+4)(x-3) = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = -4（舍去）。 ∴ 每个支干长出3个小分支。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）若商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1）y=-10x²+1400x-40000；（2）销售单价应定为80元 【分析】（1）单件利润=x-40，销售量=1000-10x；（2）令y=8000解方程，再检验成本。 【详解】解：（1）当销售单价为每千克x元时， 单件利润为(x-40)元，销售量为[500-10(x-50)]=(1000-10x)千克。 y = (x-40)(1000-10x) = -10x² + 1400x - 40000。 （2）令 y = 8000，即 -10x² + 1400x - 40000 = 8000， 整理得：x² - 140x + 4800 = 0， 因式分解得：(x-60)(x-80) = 0， 解得 x₁ = 60，x₂ = 80。 当x=60时，销售量=400千克，成本=40×400=16000>10000，不合题意，舍去； 当x=80时，销售量=200千克，成本=40×200=8000≤10000，符合题意。 答：（1）y与x的函数关系式为y=-10x²+1400x-40000；（2）销售单价应定为每千克80元。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，一架长为5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，梯子底端B到墙的距离为3m。 （1）求梯子顶端A到地面的距离； （2）若梯子的顶端A下滑了1m，求梯子的底端B向右滑动了多少米。 【答案】（1）4m；（2）1m 【分析】（1）勾股定理求OA；（2）下滑后OA'=3，求OB'=4，滑动距离=4-3=1m。 【详解】解：（1）在Rt△AOB中，AB=5m，OB=3m， 由勾股定理得：OA = = = 4(m)。 （2）顶端A下滑1m后，OA' = 4-1 = 3(m)。 在Rt△A'OB'中，A'B'=5m，OA'=3m， OB' = = = 4(m)。 ∴ 梯子底端向右滑动的距离为 BB' = OB'-OB = 4-3 = 1(m)。 答：（1）梯子顶端A到地面的距离为4m；（2）梯子底端B向右滑动了1m。 14．（2024秋·天津和平·期中）某商场销售一批小家电，进价为每个20元。当售价为每个30元时，每天可售出200个。经市场调查，售价每上涨1元，每天就少售出10个。 （1）设每个小家电的售价上涨x元，每天的销售利润为y元，求y与x的函数关系式； （2）若商场要获得2240元的日利润，且让顾客得到实惠，每个小家电的售价应定为多少元？ 【答案】（1）y=-10x²+100x+2000；（2）售价应定为34元 【分析】（1）单件利润=10+x，销售量=200-10x；（2）令y=2240解方程，取较小x。 【详解】解：（1）售价上涨x元后，单件利润为(30+x-20)=(10+x)元， 每天销售量为(200-10x)个。 y = (10+x)(200-10x) = -10x² + 100x + 2000。 （2）令 y = 2240，即 -10x² + 100x + 2000 = 2240， 整理得：x² - 10x + 24 = 0， 因式分解得：(x-4)(x-6) = 0， 解得 x₁ = 4，x₂ = 6。 ∵ 要让顾客得到实惠，∴ 应取较小的涨价幅度，即x=4。 售价 = 30+4 = 34(元)。 检验：x=4时，销售量=160>0，符合题意。 答：（1）y与x的函数关系式为y=-10x²+100x+2000；（2）每个小家电的售价应定为34元。 15．（2024秋·四川绵阳·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向C以2cm/s的速度移动。P、Q同时出发，设运动时间为t s。 （1）当t为何值时，△PBQ是等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？ 【答案】（1）t=2s；（2）t=2s或t=4s 【分析】（1）等腰直角三角形需PB=BQ，即6-t=2t；（2）S=t(6-t)=8。 【详解】解：（1）PB = (6-t) cm，BQ = 2t cm。 若△PBQ是等腰直角三角形，且∠B=90°，则需PB=BQ。 即 6-t = 2t，解得 t = 2。 检验：t=2时，PB=4>0，BQ=4≤8，符合题意。 （2）S△PBQ = × PB × BQ = (6-t)×2t = t(6-t)。 令 t(6-t) = 8，整理得 t² - 6t + 8 = 0， 因式分解得：(t-2)(t-4) = 0， 解得 t₁ = 2，t₂ = 4。 检验：t=2时，PB=4>0，BQ=4≤8；t=4时，PB=2>0，BQ=8≤8，均符合题意。 答：（1）当t=2s时，△PBQ是等腰直角三角形；（2）当t=2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm²。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）为迎接"五一"小长假，某商店购进单价为40元的商品。根据市场预测，当售价为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，每天的销售量就减少5件。设每件商品的售价为x元，每天的利润为y元。则y与x的函数关系式为（　　） A．y=(x-40)[100-5(x-50)] B．y=(x-40)(100-5x) C．y=(50-x)[100-5(x-50)] D．y=(x-40)[100+5(x-50)] 【答案】A 【分析】单件利润=x-40，销售量=100-5(x-50)。 【详解】解：设每件商品的售价为x元，则单件利润为(x-40)元。 售价从50元提高到x元，提高了(x-50)元， 销售量减少5(x-50)件，所以销售量为[100-5(x-50)]件。 y = (x-40)[100-5(x-50)]。 故选：A。 2．（2024·江苏苏州中考）某园林队计划在一块长为16m、宽为12m的矩形空地上修建一个矩形花园，并在花园四周修建等宽的道路。若道路的面积为花园面积的一半，设道路的宽为x m，则可列方程为（　　） A．(16-2x)(12-2x)=×16×12 B．(16-2x)(12-2x)=×16×12 C．16×12-(16-2x)(12-2x)=×16×12 D．(16-x)(12-x)=×16×12 【答案】B 【分析】道路面积=总面积-花园面积，道路面积=½花园面积，所以花园面积=⅔总面积。 【详解】解：设道路的宽为x m，则花园的长为(16-2x)m，宽为(12-2x)m。 花园面积 = (16-2x)(12-2x)。 由题意，道路面积 = × 花园面积， 即 16×12 - (16-2x)(12-2x) = (16-2x)(12-2x)， ∴ 16×12 = (16-2x)(12-2x)， 即 (16-2x)(12-2x) = ×16×12。 故选：B。 3．（2024·浙江杭州中考）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元。设2、3月每个月生产成本的下降率都为x，则下列方程正确的是（　　） A．400(1-x)²=361 B．361(1-x)²=400 C．400(1+x)²=361 D．400(1-2x)=361 【答案】A 【分析】1月到3月经过2个月，每月下降率为x，400(1-x)²=361。 【详解】解：1月份生产成本为400万元，2月份为400(1-x)万元， 3月份为400(1-x)²万元。 根据题意得：400(1-x)² = 361。 故选：A。 4．（2024·山东济南中考）为落实"垃圾分类"，某街道办计划购买A、B两种型号的垃圾分类箱共100个。已知A型垃圾箱每个250元，B型垃圾箱每个150元。设购买A型垃圾箱x个，购买总费用为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）若购买A型垃圾箱的数量不少于B型垃圾箱数量的3倍，且购买总费用不超过26000元，求购买A型垃圾箱的数量范围。 【答案】（1）y=100x+15000；（2）75≤x≤100（x为整数） 【分析】（1）A型x个，B型(100-x)个，y=250x+150(100-x)；（2）x≥3(100-x)且y≤26000。 【详解】解：（1）购买A型垃圾箱x个，则购买B型垃圾箱(100-x)个。 y = 250x + 150(100-x) = 100x + 15000。 （2）由题意得： ① x ≥ 3(100-x)，即 4x ≥ 300，x ≥ 75； ② 100x + 15000 ≤ 26000，即 100x ≤ 11000，x ≤ 110。 又 ∵ x ≤ 100，∴ 75 ≤ x ≤ 100。 答：（1）y与x的函数关系式为y=100x+15000；（2）购买A型垃圾箱的数量范围是75≤x≤100（x为整数）。 5．（2024·湖北武汉中考）某商店销售一种商品，每件进价为30元。当售价为每件40元时，平均每天可售出200件。经市场调查，售价每上涨1元，平均每天就少售出10件。 （1）设每件商品的售价上涨x元，每天的销售利润为y元，求y与x的函数关系式； （2）若每件商品的售价上涨多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-10x²+100x+2000；（2）上涨5元时最大利润2250元 【分析】（1）单件利润=10+x，销售量=200-10x；（2）配方求顶点。 【详解】解：（1）售价上涨x元后，单件利润为(40+x-30)=(10+x)元， 每天销售量为(200-10x)件。 y = (10+x)(200-10x) = -10x² + 100x + 2000。 （2）y = -10x² + 100x + 2000 = -10(x-5)² + 2250。 ∵ a = -10 < 0，∴ 当x=5时，y最大 = 2250。 检验：x=5时，销售量=150>0，符合题意。 答：（1）y与x的函数关系式为y=-10x²+100x+2000；（2）每件商品的售价上涨5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。 6．（2024·广东中考）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm。点P从点A出发沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向C以1cm/s的速度移动。P、Q同时出发，设运动时间为t s。 （1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？ （2）是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积等于矩形ABCD面积的¼？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 【答案】（1）t=2s或t=4s；（2）不存在 【分析】（1）PB=12-2t，BQ=t，S=(6-t)t=8；（2）令S=18，判别式<0。 【详解】解：（1）PB = (12-2t) cm，BQ = t cm。 S△PBQ = × PB × BQ = (12-2t)t = (6-t)t。 令 (6-t)t = 8，整理得 t² - 6t + 8 = 0， 因式分解得：(t-2)(t-4) = 0， 解得 t₁ = 2，t₂ = 4。 检验：t=2时，PB=8>0，BQ=2≤6；t=4时，PB=4>0，BQ=4≤6，均符合题意。 （2）矩形ABCD面积 = 12×6 = 72(cm²)，面积 = 18(cm²)。 令 (6-t)t = 18，整理得 t² - 6t + 18 = 0。 判别式 Δ = (-6)² - 4×1×18 = 36 - 72 = -36 < 0， ∴ 此方程无实数根。 答：（1）当t为2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm²；（2）不存在使△PBQ的面积等于矩形ABCD面积¼的时刻t。 7．（2024·陕西中考）某果园有100棵橙子树，每棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）设多种x棵橙子树，总产量为y个，求y与x的函数关系式； （2）多种多少棵橙子树时，总产量最大？最大总产量是多少？ 【答案】（1）y=-5x²+100x+60000；（2）多种10棵时最大总产量60500个 【分析】（1）共有(100+x)棵树，每棵结(600-5x)个橙子；（2）配方求顶点。 【详解】解：（1）多种x棵橙子树后，共有(100+x)棵树， 每棵树平均结(600-5x)个橙子。 y = (100+x)(600-5x) = -5x² + 100x + 60000。 （2）y = -5x² + 100x + 60000 = -5(x-10)² + 60500。 ∵ a = -5 < 0，∴ 当x=10时，y最大 = 60500。 检验：x=10时，每棵树结550>0个橙子，符合题意。 答：（1）y与x的函数关系式为y=-5x²+100x+60000；（2）多种10棵橙子树时，总产量最大，最大总产量是60500个。 8．（2024·重庆中考）某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8个百分点。求原来经销这种商品的利润率。 【答案】原来的利润率为17% 【分析】设原进货价为a元，原利润率为x，则原售价为a(1+x)，新进价为0.936a，新利润率为x+8%。 【详解】解：设原进货价为a元，原来经销这种商品的利润率为x。 则原售价为 a(1+x) 元。 新进价为 a(1-6.4%) = 0.936a 元，新利润率为 (x+8%)。 由于售价不变，a(1+x) = 0.936a(1+x+0.08)， 两边除以a得：1+x = 0.936(1.08+x)， 展开得：1+x = 1.01088 + 0.936x， 移项得：0.064x = 0.01088， 解得 x = 0.17 = 17%。 检验：x=17%在合理范围内，符合题意。 答：原来经销这种商品的利润率为17%。 9．（2024·河南中考）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元。在销售过程中发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本。 （1）写出每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该文具店每天销售这批纪念册获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=-10x+500；（2）销售单价为35元时最大利润2250元 【分析】（1）y=250-10(x-25)；（2）利润W=(x-20)y，配方求最大值。 【详解】解：（1）由题意，销售单价为x元时，比25元上涨了(x-25)元， 销售量减少10(x-25)本。 y = 250 - 10(x-25) = -10x + 500。 （2）设每天的利润为W元。 W = (x-20)y = (x-20)(-10x+500) = -10x² + 700x - 10000 = -10(x-35)² + 2250。 ∵ a = -10 < 0，∴ 当x=35时，W最大 = 2250。 检验：x=35时，y=150>0，符合题意。 答：（1）y与x的函数关系式为y=-10x+500；（2）当销售单价为35元时，每天获得的利润最大，最大利润是2250元。 10．（2024·河北中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm。动点P从点A出发沿AC向C以2cm/s的速度移动，动点Q从点C出发沿CB向B以3cm/s的速度移动。P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t s。 （1）当t为何值时，△PCQ的面积等于24cm²？ （2）是否存在某一时刻t，使PQ的长度等于8cm？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 【答案】（1）t=2s或t=4s；（2）不存在 【分析】（1）PC=12-2t，CQ=3t，S=3t(6-t)=24；（2）PQ²=(12-2t)²+(3t)²=64，判别式<0。 【详解】解：（1）PC = (12-2t) cm，CQ = 3t cm。 S△PCQ = × PC × CQ = (12-2t)×3t = 3t(6-t)。 令 3t(6-t) = 24，整理得 t² - 6t + 8 = 0， 因式分解得：(t-2)(t-4) = 0， 解得 t₁ = 2，t₂ = 4。 检验：t=2时，PC=8>0，CQ=6≤16；t=4时，PC=4>0，CQ=12≤16，均符合题意。 （2）在Rt△PCQ中，由勾股定理得： PQ² = PC² + CQ² = (12-2t)² + (3t)²。 令 PQ = 8，则 (12-2t)² + (3t)² = 64， 整理得：13t² - 48t + 80 = 0。 判别式 Δ = (-48)² - 4×13×80 = 2304 - 4160 = -1856 < 0， ∴ 此方程无实数根，不存在这样的时刻t。 答：（1）当t为2s或4s时，△PCQ的面积等于24cm²；（2）不存在使PQ长度等于8cm的时刻t。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.4一元二次方程的应用 本节知识点总结 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 2．几何面积问题：利用面积公式建立方程，注意道路宽度、边长为正等实际限制。 3．勾股定理应用问题：梯子滑动、航行问题、九章算术等，利用a²+b²=c²建立方程。 4．增长率问题：原量×(1+增长率)ⁿ=现量，连续两次增长用(1+x)²。 5．传播问题：每轮每人传染x人，两轮后总感染人数为(1+x)²。 6．利润问题：单件利润×销售量=总利润，注意涨价/降价对销售量的影响。 7．数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字，连续整数设为x、x+1等。 8．动点问题：用时间t表示各线段长度，利用面积或勾股定理建立方程。 9．检验：解出方程的根后，必须检验是否符合实际意义，不合题意的根要舍去。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 几何面积问题 1．（2024秋·北京海淀·期中）用一块长为30cm、宽为20cm的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为264cm²，求x的值。 2．（2024秋·上海浦东·月考）如图，在一块长20m、宽12m的矩形花园中，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分栽种花草。若栽种花草的面积为171m²，求道路的宽。 3．（2024秋·广东深圳·单元测）一个直角三角形的两条直角边的和为14cm，面积为24cm²，求这两条直角边的长。 题型02 勾股定理应用问题 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，一架长10m的梯子AB斜靠在竖直的墙上，梯子底端B到墙的距离为6m。若梯子的顶端A下滑1m到A'，求梯子底端B向外滑动的距离。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）《九章算术》中有一道"引葭赴岸"问题：有一个边长为1丈（10尺）的正方形水池，水池中央长有一根芦苇，露出水面1尺。把芦苇拉到岸边，芦苇顶端恰好碰到岸边水面。求水池的深度和芦苇的长度。 6．（2024秋·山东济南·期中）甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲船以16海里/时的速度向东南方向航行，乙船以12海里/时的速度向西南方向航行。几小时后两船相距40海里？ 题型03 增长率问题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）某商店4月份的利润为25万元，6月份的利润为36万元。设平均每月利润的增长率为x，求平均每月的增长率。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）某县2022年投入教育经费2500万元，预计2024年投入3600万元。求这两年投入教育经费的年平均增长率。 9．（2024秋·河南郑州·月考）某种商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元。若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。 题型04 传播问题 10．（2024秋·河北石家庄·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少个小分支。 11．（2024秋·陕西西安·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感。求每轮传染中平均一个人传染了几个人。 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中） 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。求每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑。 题型05 利润问题（涨价/降价） 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）某商店购进一批商品，每件进价为30元。当售价为每件50元时，每天可售出100件。经市场调查，售价每降低1元，每天可多售出10件。若商店想每天获得2240元的利润，每件商品应降价多少元？ 14．（2024秋·天津南开·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 15．（2024秋·四川成都·月考）某水果批发商经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 题型06 数字问题 16．（2024秋·安徽合肥·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个两位数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736。求原来的两位数。 17．（2024秋·福建福州·月考）两个连续偶数的积为168，求这两个数。 18．（2024秋·江西南昌·期中）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数。 题型07 动点问题 19．（2024秋·广西南宁·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。点P从点A出发沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向C以2cm/s的速度移动。设P、Q同时出发，运动时间为t s。当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？ 20．（2024秋·云南昆明·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC向C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB向B以2cm/s的速度移动。若P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒后△PCQ的面积等于8cm²？ 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为128元。若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．200(1-x)²=128 B．200(1-2x)=128 C．200(1-x²)=128 D．128(1+x)²=200 2．（2024秋·上海闵行·月考）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm²的矩形。设矩形的一边长为x cm，则可列方程为（　　） A．x(20-x)=64 B．x(40-x)=64 C．x(40-2x)=64 D．x(20-2x)=64 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际经济形势影响，5月份的产值下降到81万元。设4、5月份平均每月产值下降的百分率为x，则x满足的方程为（　　） A．100(1-x)²=81 B．100(1+x)²=81 C．81(1-x)²=100 D．100(1-2x)=81 4．（2024秋·江苏苏州·期中）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm²。设较短的直角边为x cm，则下列方程正确的是（　　） A．x(x+3)=9 B．x(x-3)=9 C．x(x+3)=9 D．x(x-3)=9 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线。设这个航空公司共有x个飞机场，则可列方程为（　　） A．x(x-1)=15 B．x(x-1)=15 C．x(x+1)=15 D．x(x+1)=15 6．（2024秋·山东青岛·期中）某超市将进价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个。已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。为了赚8000元利润，售价应定为多少元？设售价为x元，则可列方程为（　　） A．(x-40)[500-10(x-50)]=8000 B．(x-40)(500-10x)=8000 C．(50-x)[500-10(x-50)]=8000 D．(x-40)(500-10x)=8000 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）若两个连续整数的积为56，则这两个数为______。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）某小区2022年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2024年屋顶绿化面积达到2880平方米。设每年屋顶绿化面积的增长率相同，则这个增长率为______。 9．（2024秋·河南郑州·月考）一个两位数，十位数字比个位数字大2，且这个两位数与个位数字的乘积等于144。设个位数字为x，则可列方程为______。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条同样宽的道路，剩余部分进行绿化。若绿化面积为7644m²，则道路的宽为______m。 11．（2024秋·陕西西安·月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出______个小分支。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）若商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，一架长为5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，梯子底端B到墙的距离为3m。 （1）求梯子顶端A到地面的距离； （2）若梯子的顶端A下滑了1m，求梯子的底端B向右滑动了多少米。 14．（2024秋·天津和平·期中）某商场销售一批小家电，进价为每个20元。当售价为每个30元时，每天可售出200个。经市场调查，售价每上涨1元，每天就少售出10个。 （1）设每个小家电的售价上涨x元，每天的销售利润为y元，求y与x的函数关系式； （2）若商场要获得2240元的日利润，且让顾客得到实惠，每个小家电的售价应定为多少元？ 15．（2024秋·四川绵阳·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向C以2cm/s的速度移动。P、Q同时出发，设运动时间为t s。 （1）当t为何值时，△PBQ是等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？ 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）为迎接"五一"小长假，某商店购进单价为40元的商品。根据市场预测，当售价为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，每天的销售量就减少5件。设每件商品的售价为x元，每天的利润为y元。则y与x的函数关系式为（　　） A．y=(x-40)[100-5(x-50)] B．y=(x-40)(100-5x) C．y=(50-x)[100-5(x-50)] D．y=(x-40)[100+5(x-50)] 2．（2024·江苏苏州中考）某园林队计划在一块长为16m、宽为12m的矩形空地上修建一个矩形花园，并在花园四周修建等宽的道路。若道路的面积为花园面积的一半，设道路的宽为x m，则可列方程为（　　） A．(16-2x)(12-2x)=×16×12 B．(16-2x)(12-2x)=×16×12 C．16×12-(16-2x)(12-2x)=×16×12 D．(16-x)(12-x)=×16×12 3．（2024·浙江杭州中考）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元。设2、3月每个月生产成本的下降率都为x，则下列方程正确的是（　　） A．400(1-x)²=361 B．361(1-x)²=400 C．400(1+x)²=361 D．400(1-2x)=361 4．（2024·山东济南中考）为落实"垃圾分类"，某街道办计划购买A、B两种型号的垃圾分类箱共100个。已知A型垃圾箱每个250元，B型垃圾箱每个150元。设购买A型垃圾箱x个，购买总费用为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）若购买A型垃圾箱的数量不少于B型垃圾箱数量的3倍，且购买总费用不超过26000元，求购买A型垃圾箱的数量范围。 5．（2024·湖北武汉中考）某商店销售一种商品，每件进价为30元。当售价为每件40元时，平均每天可售出200件。经市场调查，售价每上涨1元，平均每天就少售出10件。 （1）设每件商品的售价上涨x元，每天的销售利润为y元，求y与x的函数关系式； （2）若每件商品的售价上涨多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 6．（2024·广东中考）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm。点P从点A出发沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向C以1cm/s的速度移动。P、Q同时出发，设运动时间为t s。 （1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？ （2）是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积等于矩形ABCD面积的¼？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 7．（2024·陕西中考）某果园有100棵橙子树，每棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）设多种x棵橙子树，总产量为y个，求y与x的函数关系式； （2）多种多少棵橙子树时，总产量最大？最大总产量是多少？ 8．（2024·重庆中考）某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8个百分点。求原来经销这种商品的利润率。 9．（2024·河南中考）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元。在销售过程中发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本。 （1）写出每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该文具店每天销售这批纪念册获得的利润最大？最大利润是多少元？ 10．（2024·河北中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm。动点P从点A出发沿AC向C以2cm/s的速度移动，动点Q从点C出发沿CB向B以3cm/s的速度移动。P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t s。 （1）当t为何值时，△PCQ的面积等于24cm²？ （2）是否存在某一时刻t，使PQ的长度等于8cm？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $