第2章 4.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大九年级数学上册第二章“一元二次方程的应用（1）”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”三阶分层设计，覆盖增长率、利润等五类实际问题，构建“概念理解-模型应用-综合拓展”的知识巩固路径，培养数学建模与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点直接应用|以选择、填空考查“审设列解验答”步骤（如超市降价利润题），强化方程建模规范| |能力提升|跨知识点情境问题|结合生活场景（如文创销售、观鸟热潮）设计中档题，需提取等量关系（如增长率公式应用）| |综合应用|复杂实际问题解决|通过解答题（如车棚面积计算、利润调整方案）整合多知识点，检验解的实际意义（如墙长限制）|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） ▌课时目标 1. 掌握列一元二次方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”六步流程，能准确提取实际情境中的已知量、未知量及等量关系，规范完成方程建模。 2. 能独立解决增长率、利润、面积、数字、传播与握手五类基础实际问题，正确求解方程并结合实际意义检验解的合理性。 3. 体会将实际问题抽象为数学模型的建模思想，感受一元二次方程在解决生活、生产问题中的实用价值，提升应用意识。 ▌课时目录 知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点02：增长率问题 知识点03：利润最大化问题 知识点04：面积问题 知识点05：数字问题 知识点06：传播问题与握手问题 ▌知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审：认真读题，明确题意，找出题目中的已知条件和所求问题，挖掘隐含的等量关系； 2. 设：根据题意选择直接设元或间接设元，注明未知数的单位； 3. 列：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，代入等量关系列出方程； 4. 解：选用合适的方法解一元二次方程； 5. 验：检验求得的解是否满足方程，同时检验是否符合实际意义（如长度非负、人数为正整数、不超过墙长等）； 6. 答：写出符合题意的完整答案。 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． ▌知识点02：增长率问题 增长率问题的核心公式为：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为b，则；若为平均降低率，则公式为。 注意事项： 1. x为增长（降低）的百分比，通常写成小数形式； 2. n为增长的次数，而非年份差（如2024年到2026年为2次增长）； 3. 初始量a为增长前的基准值，不要误用增长后的量作为基数。 例：某厂2024年产值为100万元，平均每年增长10%，则2026年产值为100×(1＋10%)2＝121万元。 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ ▌知识点03：利润最大化问题 利润问题的等量关系为：总利润＝单件利润×销售量。其中单件利润＝售价－进价，销售量常随售价变化呈线性变化，如“售价为x元时，每天可售出(200－10x)件”。 注意事项： 1. 单件利润不能为负，即售价需高于进价； 2. 销售量不能为负，求解后需检验取值是否在合理范围内； 3. 本节仅讨论“已知目标总利润，求售价或进货量”的问题，不涉及利润最大值。 例：某商品进价为20元，售价为30元时每天可卖50件，每涨价1元销量减少2件，若要日利润为600元，设涨价x元，则方程为(30＋x－20)(50－2x)＝600。 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 10．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 11．（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 12．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． ▌知识点04：面积问题 常见类型包括矩形场地围建（一边靠墙）、道路修建、花坛设计等。解题关键： 1. 将不规则图形通过平移转化为规则矩形，如矩形内部修十字形道路，可将道路平移至大矩形边缘，用“大矩形面积－小矩形面积”表示剩余面积； 2. 靠墙问题中，需根据墙的长度检验解是否合理，若平行于墙的边长超过墙长，则该解舍去。等量关系通常为各类图形的面积公式，如矩形面积＝长×宽。 例：用20m篱笆围一个矩形鸡舍，一边靠墙（墙长8m），设垂直于墙的边长为xm，则方程为x(20－2x)＝48，解得x＝6或x＝4，当x＝6时，平行于墙的边长为20－12＝8m，符合墙长要求；x＝4时，平行于墙的边长为20－8＝12m，超过墙长，舍去。 13．（25-26八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 16．（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． ▌知识点05：数字问题 解题前提是正确表示多位数：两位数＝10×十位数字＋个位数字，三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字。 注意事项： 1. 各数位上的数字均为0~9的整数，且最高位不能为0； 2. 列方程求出数字后，需检验是否符合数位范围，若数字超出0~9则需舍去。 例：一个两位数，十位数字比个位数字大2，且两数交换位置后所得新数比原数小18，设个位数字为x，则原数为10(x＋2)＋x，新数为10x＋(x＋2)，列方程得[10(x＋2)＋x]－[10x＋(x＋2)]＝18，解得x＝4，原数为64。 17．（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 18．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 19．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 20．（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） ▌知识点06：传播问题与握手问题 1. 传播问题：设每轮每人平均传染x人，初始有1个传染源，则第1轮后有1＋x人患病，第2轮后这1＋x人每人传染x人，总患病人数为(1＋x)＋x(1＋x)＝(1＋x)2，n轮后总患病人数为(1＋x)n。注意区分“总患病人数”和“本轮新增患病人数”。 2. 握手问题：n个人中每两人握一次手，总握手次数为，推导依据为第1人握n－1次、第2人握n－2次……最后1人握0次，求和可得。注意与双循环赛制区分（双循环总场次为n(n－1)）。例：某流感初期有1名患者，每轮每人传染2人，则3轮后总患病人数为(1＋2)3＝27人；5人两两握手，总握手次数为次。 21．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 22．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 24．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆·期末）固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1．21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 8．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·重庆·期末）在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 10．（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） ▌课时目标 1. 掌握列一元二次方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”六步流程，能准确提取实际情境中的已知量、未知量及等量关系，规范完成方程建模。 2. 能独立解决增长率、利润、面积、数字、传播与握手五类基础实际问题，正确求解方程并结合实际意义检验解的合理性。 3. 体会将实际问题抽象为数学模型的建模思想，感受一元二次方程在解决生活、生产问题中的实用价值，提升应用意识。 ▌课时目录 知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点02：增长率问题 知识点03：利润最大化问题 知识点04：面积问题 知识点05：数字问题 知识点06：传播问题与握手问题 ▌知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审：认真读题，明确题意，找出题目中的已知条件和所求问题，挖掘隐含的等量关系； 2. 设：根据题意选择直接设元或间接设元，注明未知数的单位； 3. 列：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，代入等量关系列出方程； 4. 解：选用合适的方法解一元二次方程； 5. 验：检验求得的解是否满足方程，同时检验是否符合实际意义（如长度非负、人数为正整数、不超过墙长等）； 6. 答：写出符合题意的完整答案。 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据利润公式：利润（售价进价）销量，结合降价后售价为元和销量千克，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵售价每千克降低x元， ∴实际售价为元，每千克利润为元，每天销量为千克， 依题意，， 即， 故选：A． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 【答案】 【分析】设平均每年增长百分率为 ，根据题意，得． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年增长百分率为 ，依题意，得 ． 故答案为 ：． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． ▌知识点02：增长率问题 增长率问题的核心公式为：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为b，则；若为平均降低率，则公式为。 注意事项： 1. x为增长（降低）的百分比，通常写成小数形式； 2. n为增长的次数，而非年份差（如2024年到2026年为2次增长）； 3. 初始量a为增长前的基准值，不要误用增长后的量作为基数。 例：某厂2024年产值为100万元，平均每年增长10%，则2026年产值为100×(1＋10%)2＝121万元。 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔每个售价应上涨10元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． ▌知识点03：利润最大化问题 利润问题的等量关系为：总利润＝单件利润×销售量。其中单件利润＝售价－进价，销售量常随售价变化呈线性变化，如“售价为x元时，每天可售出(200－10x)件”。 注意事项： 1. 单件利润不能为负，即售价需高于进价； 2. 销售量不能为负，求解后需检验取值是否在合理范围内； 3. 本节仅讨论“已知目标总利润，求售价或进货量”的问题，不涉及利润最大值。 例：某商品进价为20元，售价为30元时每天可卖50件，每涨价1元销量减少2件，若要日利润为600元，设涨价x元，则方程为(30＋x－20)(50－2x)＝600。 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 10．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【答案】每件童装降价元 【分析】本题利用总盈利=每件盈利×平均每天销售量的数量关系列一元二次方程求解，根据题目扩大销售量的要求，选取符合题意的解即可． 【详解】解：设每件童装降价元．由题意可知，每降价元，平均每天可多售出件， 因此降价元后，每件盈利为元，平均每天销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得： 整理方程得 因式分解得 解得， ∵要求扩大销售量，降价越多销售量越大， ∴ 答：每件童装降价元． 11．（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 12．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【答案】(1)甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． (2)的值为． 【分析】(1) 设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同，列出分式方程，解方程即可． (2)由题意得新的成本为，甲款小车单件耗材成本为元，数量为台，乙款小车单件耗材成本为元，数量为台，全部耗材总费用为13500元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． ▌知识点04：面积问题 常见类型包括矩形场地围建（一边靠墙）、道路修建、花坛设计等。解题关键： 1. 将不规则图形通过平移转化为规则矩形，如矩形内部修十字形道路，可将道路平移至大矩形边缘，用“大矩形面积－小矩形面积”表示剩余面积； 2. 靠墙问题中，需根据墙的长度检验解是否合理，若平行于墙的边长超过墙长，则该解舍去。等量关系通常为各类图形的面积公式，如矩形面积＝长×宽。 例：用20m篱笆围一个矩形鸡舍，一边靠墙（墙长8m），设垂直于墙的边长为xm，则方程为x(20－2x)＝48，解得x＝6或x＝4，当x＝6时，平行于墙的边长为20－12＝8m，符合墙长要求；x＝4时，平行于墙的边长为20－8＝12m，超过墙长，舍去。 13．（25-26八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 14．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 16．（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】(1)， (2) (3)个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； （2）解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； （3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． ▌知识点05：数字问题 解题前提是正确表示多位数：两位数＝10×十位数字＋个位数字，三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字。 注意事项： 1. 各数位上的数字均为0~9的整数，且最高位不能为0； 2. 列方程求出数字后，需检验是否符合数位范围，若数字超出0~9则需舍去。 例：一个两位数，十位数字比个位数字大2，且两数交换位置后所得新数比原数小18，设个位数字为x，则原数为10(x＋2)＋x，新数为10x＋(x＋2)，列方程得[10(x＋2)＋x]－[10x＋(x＋2)]＝18，解得x＝4，原数为64。 17．（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 18．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 19．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 20．（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． ▌知识点06：传播问题与握手问题 1. 传播问题：设每轮每人平均传染x人，初始有1个传染源，则第1轮后有1＋x人患病，第2轮后这1＋x人每人传染x人，总患病人数为(1＋x)＋x(1＋x)＝(1＋x)2，n轮后总患病人数为(1＋x)n。注意区分“总患病人数”和“本轮新增患病人数”。 2. 握手问题：n个人中每两人握一次手，总握手次数为，推导依据为第1人握n－1次、第2人握n－2次……最后1人握0次，求和可得。注意与双循环赛制区分（双循环总场次为n(n－1)）。例：某流感初期有1名患者，每轮每人传染2人，则3轮后总患病人数为(1＋2)3＝27人；5人两两握手，总握手次数为次。 21．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 22．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据转发规则，从小昆开始，第一轮他邀请x人，第二轮第一轮被邀请的x人每人再邀请x人，故两轮后总人数为小昆自己、第一轮被邀请者和第二轮被邀请者之和，即，据此列方程． 【详解】解：设每人转发x人， ∵第一轮后人数为（小昆及第一轮被邀请者）， ∵第二轮新增人数为（第一轮被邀请者每人邀请x人）， ∴两轮后总人数为， ∴方程为． 故选：B． 23．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 24．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆·期末）固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键． 根据题意，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，即， 解得：， 或， ， ， ∵a为正数， ． 故选：A． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 二、填空题 5．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1．21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 8．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 6789 2178 【分析】根据“登高数”的定义可直接求得最大的四位“登高数”，再根据数位表示法表示出和，化简后根据为整数得到的值，再结合和列举所有符合条件的，即可求出最大值与最小值的差. 【详解】解：根据“登高数”定义，要得到最大的四位“登高数”，需满足，且， 当千位数，则，，，不存在符合条件的， 因此最大为，此时，取，，满足，且， 因此最大的四位“登高数”是； 设“登高数”，则， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴或或， 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，不存在符合条件的； ∴满足条件的中，最小值为，最大值为，差值为. 三、解答题 9．（25-26八年级下·重庆·期末）在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 【答案】(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【详解】（1）解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得 解得 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， （2）解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去）， 即， 得 ． 10．（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. / 学科网（北京）股份有限公司 $