21.4 第2课时 利用二次函数解决桥梁建筑类问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（沪科版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数解决桥梁建筑类问题，通过校门抛物线形建筑情境导入，结合悬索桥、拱形立交桥实例，构建“实际问题—坐标系建立—函数表达式—解决问题”的学习支架，梳理从具体情境到数学建模的知识脉络。 以真实桥梁建筑为教学载体，通过典例解析与变式训练，培养学生几何直观、模型意识和推理能力。如悬索桥问题引导建立坐标系求函数表达式，立交桥问题强化模型应用，提升学生用数学思维解决实际问题的能力，也为教师提供可操作的教学案例和清晰步骤。

第2课时　利用二次函数解决桥梁建筑类问题 ◇教学目标◇ 　　1.通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关桥梁建筑类的实际问题. 　　2.掌握数学建模的思想，体会数学与生活的密切联系. 　　3.培养学生独立思考和合作探究的能力，在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成. ◇教学重难点◇ 教学重点 根据具体情境建立适当的平面直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点. 教学难点 建立适当的平面直角坐标系，并选用简便的方式求出二次函数的表达式. ◇教学过程◇ 一、情境导入 某大学的校门是抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？ 二、合作探究 探究点　拱桥、涵洞问题 典例　如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线的一部分，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离AB为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图2，求这条抛物线对应的函数表达式； (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长. 图1 图2 ［解析］　(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(0，0.5)，对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋0.5. 抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得81.5＝a·4502＋0.5. 解方程，得a＝. 所求抛物线对应的函数表达式为 y＝x2＋0.5(－450≤x≤450). (2)当x＝450－100＝350时，得 y＝×3502＋0.5＝49.5. 当x＝450－50＝400时，得 y＝×4002＋0.5＝64.5. 答：距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m，64.5 m. 技巧点拨在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的表达式，并将点的坐标代入函数表达式，求出函数表达式；(4)利用函数表达式解决实际问题. 变式训练　如图，有一个抛物线的拱形立交桥，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？ ［解析］　由题意知抛物线的顶点坐标为(20，16)， ∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－20)2＋16. ∵点B(40，0)在抛物线上，∴a(40－20)2＋16＝0，∴a＝－，∴y＝－(x－20)2＋16. ∵竖立铁柱脚的点为(15，0)或(25，0)， ∴当x＝15时，y＝－(15－20)2＋16＝15；当x＝25时，y＝－(25－20)2＋16＝15. ∴铁柱应取15 m. 三、板书设计 利用二次函数解决桥梁建筑类问题 二次函数 的应用 ◇教学反思◇ 　　通过本节课的学习，学生做到了以下三个方面：首先，掌握利用二次函数知识解决最值问题；其次，会综合运用二次函数和其他数学知识解决有关距离、建立函数模型等问题；最后，发展应用数学知识解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $