21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质这一核心知识点，通过回顾一次函数、二次函数的图象与性质，对比引出反比例函数的探究，以已有函数知识为学习支架，构建前后知识脉络。 这份资料的特色在于采用类比探究法，通过描点作图分别研究k>0和k<0时的图象特点，结合几何直观总结性质，还设计k的几何意义探究（如矩形面积与k的关系），培养学生推理意识与模型意识。具体实例如例2利用矩形面积求k值，帮助学生深化理解，既提升学生观察和应用能力，也为教师提供清晰的教学流程与实践案例。

21.5 反比例函数 第2课时 反比例函数的图象和性质 课题 反比例函数的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第48-52页的内容 教学目标 1.进一步熟悉作函数图象的步骤，会用描点法作反比例函数的图象. 2.理解并掌握反比例函数的性质，会应用反比例函数的性质解决问题. 3.理解反比例函数k的几何意义，并会应用其解决问题. 教学重难点 教学重点：反比例函数的图象和性质，比例系数k的几何意义. 教学难点：应用反比例函数的性质解决问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】回忆一下，我们都学过哪些函数？它们的图象是怎样的呢？并说一说它们都具有什么样的性质. 我们知道一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，那么反比例函数的图象是怎样的？它有哪些性质呢接下来我们一起探究一下吧！ 2.类比探究，学习新知 【操作1】画出反比例函数的图象. 解：函数y=的自变量x取值范围为x≠0. 列表： 注意：取点的时候注意自变量x的取值范围是x≠0，而且要对称取点. 描点、连线如下： 注意：连线的时候用平滑的曲线. 【追问】观察图象，说一说有什么特点吗？ 【师生活动】教师引导学生观察图象，共同总结出以下特点： (1)因为自变量x≠0，所以y轴把函数的图象分隔成两个分支，它们分别在第一、三象限内； (2)在每个象限内，图象自左向右下降，y随x的增大而减小，图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交； (3)如果点P(x0，y0)在函数 的图象上，那么点P(–x0，–y0)也应在它的图象上，图象是中心对称图形. 【追问2】这是k＞0的情况，那k＜0又会怎样呢？ 【师生活动】教师鼓励学生独立完成操作1，并及时指正，引导学生类比上述操作，思考k<0的情况. 【操作2】画出反比例函数的图象. 列表： 描点、连线如下： 【追问】观察图象，说一说有什么特点吗？ 【师生活动】教师引导学生观察图象，共同总结出以下特点： (1)因为自变量x≠0，所以y轴把函数的图象分隔成两个分支，它们分别在第二、四象限； (2)在每个象限内，图象自左向右上升，函数y随x的增大而增大，图象的两个分支都可以无限延伸，并且无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交； (3)如果点P(x0，y0)在函数 的图象上，那么点P(–x0，–y0)也应在它的图象上，图象是中心对称图形. 【思考】观察函数 与 的图象，并思考：对于 k＞0和k＜0两种情况，反比例函数 (k为常数，且k≠0)有哪些性质？ 【归纳】反比例函数y=(k为常数，且k≠0）的图象叫作双曲线. y＝ k>0 k<0 图象 每一象限内，图象自左向右下降 每一象限内，图象自左向右上升 性质 函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小 函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 【探究】反比例函数中k的几何意义 如图，过双曲线y＝ 上任意一点P(x，y)分别作轴、轴的垂线PM，PN，连接 OP. S矩形OMPN＝PM·PN＝|x|·|y|＝|x·y|. ∵ y＝，∴ x·y＝k， ∴S矩形OMPN＝|k|，S△OPN＝S△OPM＝ . 【归纳总结】过反比例函数 (k≠0)图象上一点作坐标轴的垂线，则该点、垂足与坐标轴上任意一点构成的三角形面积等于 基本图形： 3.学以致用，应用新知 【例1】已知反比例函数. (1)如果这个函数图象经过点(–3，5)，求k的值； (2)如果当x>0或x<0时,y随x的增大而减小，求k的取值范围. 解：(1)因为函数图象经过点(–3，5)，代入函数的表达式，得解方程，得k= –7. (2)根据题意，有2k–1＞0. 解不等式，得 【例2】如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函数的表达式是（ ） A.y＝　　　　B.y＝　　　　C.y＝　　　　D.y＝ 解析：过点P作PD⊥OB（图略）. 由反比例函数的几何意义可知， S△OPD＝ ，即 ，解得k＝±1. 又因为反比例函数图象在第一象限，所以k>0，所以k＝1,故选C. 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图所示的图象对应的函数表达式为( ) A. B. C. D. 答案：D （2）若双曲线 的一支位于第三象限，则m的取值范围是( ) A.m<1 B.m>1 C.0<m<1 D.m>1 答案：B （3）填空： ①对于函数，自变量x的取值范围是____，x＞0时，y____0；当x＜0时，y____0； ②对于函数，当x＞0时，函数y随x的增大而____；当x＜0时，函数y随x的增大而____； ③反比例函数的图象与直线y=2x交于两点，这两点的坐标分别是( ， )和( ， ). 答案：①x≠ 0 ＜ ＞ ②增大 增大 ③1 2 –1 –2 （4）已知 , 两点都在反比例函数 的图象上，且 ，则y1________y2(填“>”或“<”). 答案： 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课你学到了什么？ （2）反比例函数的图象和性质分别是什么？ 6.布置作业 教科书P51练习第1，2题，P56习题21.5第4，5题. 通过回忆学过的函数一次函数和二次函数的图象和性质及相关知识，对比引出本节内容的学习——反比例函数的图象和性质. 通过经历用列表、描点、连线画图的方法画出反比例函数的图象，从而结合图象继续探究反比例函数的特征、性质，充分发挥了数形结合的思想. 通过例题巩固学生对反比例函数的图象和性质的认识和理解，并整理、总结对应的解题方法. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 2.反比例函数的性质 3.比例系数k的几何意义 S矩形OMPN＝|k|，S△OPM＝S△OPN＝ . 框架图式总结更容易形成知识网络. 教后反思 ①授课流程反思 通过现场操作作图，观察图象总结性质，让学生体会看图，学会分析图象. ②讲授效果反思 通过看图、思考、讨论、归纳、总结，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下良好的基础. ③师生互动反思 从课堂氛围和课堂效果分析，学生能够积极投入到新知学习中，能够集中精力完成学习任务. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $