21.4 第1课时 利用二次函数解决面积、利润问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（沪科版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决面积、利润问题，通过矩形广告牌设计费情境导入，连接顶点与最值关系，为后续探究养鸡场面积、靠墙生物园地及商品利润问题搭建学习支架。 以生活实际问题为载体，通过合作探究与变式训练，引导学生从情境中抽象函数模型（数学眼光），经推理运算求最值（数学思维），用表达式解决问题（数学语言）。如靠墙矩形园地问题，学生分析栅栏与边长关系建函数求最大面积，培养模型意识与创新意识，助学生体会数学应用价值，教师可直接用实例教学提升效率。

21.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积、利润问题 ◇教学目标◇ 　　1.理解顶点与最值的关系，能正确表示图形面积及利润，并依据题意求出最大值. 　　2.经历探索面积、利润问题的过程，通过变式训练的阶梯螺旋理解，能够感悟用二次函数解决面积、利润问题的实质，体会二次函数是解决最值问题的模型. 　　3.通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值. ◇教学重难点◇ 教学重点 利用二次函数求解面积、利润问题. 教学难点 正确构建数学模型. ◇教学过程◇ 一、情境导入 某广告公司设计一幅周长为8米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S米2.请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 二、合作探究 探究点1　用二次函数解决图形面积问题 典例1　用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y米2. (1)求y关于x的函数表达式. (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60米2？ (3)能否围成面积为70米2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由. ［解析］　(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0<x<16). (2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60米2. (3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24<0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70米2的养鸡场. 方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64米2，所以不能围成70米2的养鸡场. 典例2　某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，回答下列问题： (1)设AB＝x米(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ ［解析］　(1)设AB＝x米，可得BC＝69＋3－2x＝72－2x. (2)小英的说法正确； 矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648， ∵72－2x>0，∴x<36，∴0<x<36，∴当x＝18时，S取最大值，此时x≠72－2x， ∴面积最大的不是正方形，小英的说法正确. 探究点2　用二次函数解决利润问题 典例3　某商店以每个10元的价格购进某种商品，当以17元/个出售时，每天可以卖出50个.店庆期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，调查发现：每降价1元，每天可多卖出10个.这种玩具的售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 请先完成以下填空，再完整解答. 填空设每个商品在售价17元的基础上，降价x元出售，则此时每个玩具的售价为　　　　元，利润是　　　　元；销售量在50个的基础上，增加　　　　个，此时玩具的销售量是　　　　个.设商店每天获得的利润为y元，根据题意列出y与x之间的函数关系式为y＝　　　　　　　　　　(无需化简).  完整解答 ［解析］　填空(17－x)　(7－x)　10x　(50＋10x)　(7－x)(50＋10x) 完整解答设这种玩具每个降价x元，商店每天获得的利润为y元. 根据题意，得y＝(50＋10x)(7－x)＝－10x2＋20x＋350＝－10(x－1)2＋360， ∴当x＝1时，y最大＝360，此时17－1＝16(元). 答：当这种玩具的售价定为16元/个时，商店每天获得的利润最大，最大利润是360元. 三、板书设计 利用二次函数解决面积、利润问题 解决面积、利润问题的一般步骤： (1)列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. ◇教学反思◇ 　　本节课不仅是对前面所学知识的运用与巩固，也是二次函数这一章重点内容之体现，更是以后求函数最值的重要方法和工具，又是将实际问题转化为数学问题，培养学生建模的一次尝试. 1 立足安徽 精准备考 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $