1.5二次函数的应用 第1课时 课件 2026-2027学年北浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决面积问题，通过“铝合金制窗框求最大透光面积”情景导入，衔接二次函数性质与实际应用，搭建从理论到实践的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点是结合栅栏钢条、矩形花圃等现实问题，通过建立坐标系、列函数表达式培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。小结明确“建立函数关系式”关键，学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

1.5二次函数的应用 第1章 二次函数 第1课时　利用二次函数解决面积问题 浙教版九年级上册 用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少? 情景导入 以生活的例子作为引入，提出问题，产生悬念，实为本节课开篇出彩点.一方面使学生对本节课的内容有一个大致了解，另一方面使学生对本节课兴趣学习的兴趣. 2 例题讲解 例1 某居民区围墙下半部分是砖墙，上半部分是不锈钢栅栏,在两根柱子之间，栅栏底部的形状是抛物线，顶部是水平直线。已知两根柱子的间距是2m, 栅栏竖直钢条的间距，以及与柱子的间距都是10 cm。 如果最长钢条的长度为50 cm, 那么最短钢条的长是多少厘米? 解：如图,以柱子与栅栏的连接点为原点，柱子所在直线为y 轴建 立直角坐标系，则栅栏底部抛物线与x 轴的交点为(0,0),(2,0)。由于栅栏竖直钢条的间距为10cm, 所以两柱子间共有19根竖直钢条，其中最长钢条为第10根，位于两柱子中间，故抛物线顶点的坐标为(1,-0.5)。 设函数表达式为y=ax²+bx, 将(2,0),(1,-0.5)的坐标代入，可求得 a=0.5,b=-1, 所以y=0.5x²-x。 最短钢条为第1根和第19根。 当x=0.1 时，y=—0.095。 答：最短钢条的长为9.5 cm。 例1 如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大（结果精确到0.01米）？ 解：如图，设半圆的半径为x（m），窗框矩形部分的另一边长为y（m）， 根据题意，有 答：当窗户半圆的半径约为0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m2. 1.求出函数表达式和自变量的取值范围; 运用二次函数求实际问题中的最值: 2.通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值. 注意： 由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内;否则借助图象. Administrator (A) - 解后及时小结，培养学生良好的解题习惯. 几何或者生产实践中的最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 实际问题 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 9 图1-5-1 1.（教材例1变式）如图1-5-1， 热爱生活的兰兰想对自家阳台 上的栏杆进行装饰，把每根柱 子下段涂色.测量发现栏杆 长 为，栏杆 被12根柱子等 课堂练习 10 分成13份，使每根柱子上涂有颜色部分的顶端及点， 所在曲 线呈抛物线形（柱子宽度忽略不计），且左起第4根柱子涂色部 分的高度 .求左起第1根柱子涂色部分的高度. 解：建立如图所示的平面直角 坐标系. 设抛物线的函数表达式为 . 由题意，得 . 因为栏杆 被12根柱子等分成13份， 所以，所以 . 12 将点，的坐标代入 ， 得 解得 所以抛物线的函数表达式为 . 当时， ， 故左起第1根柱子涂色部分的高度为 . 2.（教材作业题T1变式）已知二次函数 ，且 ，则函数的最小值为___，最大值为____. 2 10 15 3.已知的周长为， ， . （1）的面积与 之间的函数表达式为_____ ___________，自变量 的取值范围为__________； （2）当___时， 的值最大，最大值为___. 2 2 16 图1-5-2 4.[2025温岭期末改编] 如图1-5-2，有两面互 相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩 形花圃 ，矩形两边由墙围成，另两边 和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米， 隔离带， 均与接触的墙垂直.求能围成 的矩形花圃 的最大面积. 17 解：设矩形花圃的面积为平方米， 米， 则 米. 由题意，得 . 因为 所以，所以当时， 有最大值，为36. 故能围成的矩形花圃 的最大面积为36平方米. 18 图1-5-3 5.[2024杭州滨江区期末] 如图1-5-3，某房间的窗 户边框上部分由2个全等的正方形组成，下部分 是矩形.已知制作一个这样的窗户边框，所需要的 材料的总长度为10米，设小正方形的边长为 米， 该窗户的透光面积为 平方米（计算透光面积时 边框的粗细忽略不计）. 19 （1）求关于 的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； 解：由题意,得 ， 所以关于的函数表达式为 . 20 （2）当 取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 解： . 由题意，得所以 . 因为，所以当时，有最大值，最大值为 ， 所以当时，透光面积最大，最大透光面积是 平方米. 21 图1-5-4 6.工匠师傅准备从六边形的铁皮 中裁 出一块矩形铁皮制作工件，如图1-5-4所示.经 测量，，与 之间的距离为2米， 米， 米， ， . ， ，是工匠师傅画出的裁剪虚线.当 的 22 长度为_ ____时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是 _ _________. 米 平方米 图1-5-5 7.（教材作业题T5变式）如图1-5-5，某 居民小区要在空地上修建一个矩形花园 ，花园的一边靠墙（墙长15米）， 另三边用总长40米的栅栏围成.设花园 边的长为米，花园的面积为 平方米. 24 （1）求关于的函数表达式，并写出自变量 的取值范围. 解：因为 米， 所以 米. 因为矩形的面积 ， 所以 . 自变量的取值范围为 . 25 （2）花园的面积能否为150平方米？若能，请求出 的值；若不 能，请说明理由. 解：能. 在中，令，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 故当 的值为10时，花园的面积为150平方米. 26 （3）当 取何值时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 解： . 因为，所以当时，随 的增大而增大. 因为 ， 所以当时， 取得最大值，最大值是 . 答：当 时，矩形花园的面积最大，最大面积是187.5平方米. 27 图1-5-6 8.今年夏天，桨板这一水上运动成为 “夏日新宠”，这项小众的运动从竞 技场走向了大众视野，丰富了人们 的生活.如图1-5-6①，人们可以坐、 跪或者站在桨板上，通过划桨实现 前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏 宁波这座城市的夜景.若在这个划行的河道上有一座桥，其示意 28 图如图②，正常水位时水面宽为，此时桥拱最高点 到 水面的高度为 ，桥拱可以看成抛物线.#1 （1）若以所在直线为轴，的垂直平分线为 轴建立平面 直角坐标系，求此时桥拱所在抛物线的函数表达式； 解：以所在直线为轴， 的垂直平分 线为 轴建立平面直角坐标系如图②. 由题意,得，点 的 坐标为 ， 30 所以点的坐标为 . 设桥拱所在抛物线的函数表达式为 . 把点的坐标代入，得，解得 ， 所以桥拱所在抛物线的函数表达式为 . （2）已知小兰的身高是，桨板厚度为 ，在正常水 位时，若小兰要笔直地站在桨板上通过这座桥，则其在河道中 可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥 拱至少 ） 32 解： . 在中，当时， ， 解得， ， 所以其在河道中可通行的安全范围是 . 33 $