5.1 任意角和弧度制 导学案 -2026-2027高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-图形应用-实际建模”为主线，通过例题变式与分层练习结合，实现从基础理解到综合应用的梯度提升，培养数学抽象、几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|角的分类、象限角等单一概念|单选题辨析易混概念（如锐角与第一象限角）| |能力提升|终边相同角、分角倍角等交叉应用|多选题与填空题深化图形认知（终边位置判断）| |综合应用|弧度制与扇形公式的实际应用|解答题结合实际情境建模（如扇形环面积最值）|

5.1 任意角和弧度制 【知识点归纳】 1、 角是分类 2、象限角和轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、 终边相同的角 与角终边相同的角的集合为 注意易混 区间角 锐角 钝角 任意角 4、 分角和倍角 已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域． 二、弧度制 1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度． 2、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是． 3、弧度制与角度制的换算公式：，，． 4、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，． 【典型例题】 例1．（单选题） 已知第一象限角锐角小于的角，则关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）与405°角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． B． 例2（单选题）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（    ） A．B．C．D． 【变式2-1】（单选题） 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（填空题）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 例3 （1）已知是第三象限角，则终边是第几象限角？ （2）已知角的终边在第四象限，则的终边是第几象限角？ 【变式3-1】（单选题）已知是钝角三角形中最大的角，则是（    ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【变式3-2】（单选题）已知是锐角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 例4．（单选题）（1）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． （2）将化为弧度为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（单选题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 例5．（单选题）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（    ） A． B． C． D．2 【变式5】（单选题）若一个扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【练 习】（1-7单选题） 1. 下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2． 2026°是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 3．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5.从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（    ） A． B． C． D． 7.已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（    ） A． B． C． D． 8.（多选题）下列命题正确的是 （      ）  A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角，则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 9.（多选题）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 10．（填空题）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 . 11．（填空题）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ． 12．（解答题）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上；(2)终边落在直线上；(3)终边落在阴影区域（含边界）． 13．（解答题）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度. (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 任意角和弧度制 【知识点归纳】 1、 角是分类 2、象限角和轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、 终边相同的角 与角终边相同的角的集合为 注意易混 区间角 锐角 钝角 任意角 4、 分角和倍角 已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域． 二、弧度制 1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度． 2、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是． 3、弧度制与角度制的换算公式：，，． 4、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，． 【典型例题】 例1．（单选题） 已知第一象限角锐角小于的角，则关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误； 对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确； 对于C选项，锐角是第一象限角，故，C选项错误； 对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：B 【变式1-1】（多选题）与405°角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由于， 故与405°终边相同的角应为或．故选：BC 【变式1-2】（多选题）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为角与角的终边相同，所以， 同理得，所以，故选：AD． 例2（单选题）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】当，时，，. 此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域；当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域.故选：C 【变式2-1】（单选题） 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】阴影部分表示的集合是.故选：C 【变式2-2】已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【解析】终边在角的终边所在直线上的角的集合，终边在角的终边所在直线上的角的集合，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为 总结： 角的终边关于原点对称时根据图形写出角的范围，先找一组边界角，再加180°n. 例3 （1）已知是第三象限角，则终边是第几象限角？ 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【解析】确定n分角或n倍角的象限. 由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. （2）已知角的终边在第四象限，则的终边是第几象限角？ 【解析】 确定n分角所在象限，可用画图法 由为第四象限角，得， 得，令，时，，，得的终边在第四象限；令，时，，，得的终边在第二象限，令，时，，，得的终边在第二象限或第三象限或第四象限. 【变式3-1】已知是钝角三角形中最大的角，则是（    ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【答案】A 【解析】因为是钝角三角形中最大的角，所以， 则，故是第一象限角．故选：A 【变式3-2】已知是锐角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【解析】因为，所以，满足小于的正角，故选C. 例4．（单选题）（1）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考察角度制和弧度制概念辨析， 因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿，所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为.故选：B （2）将化为弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 【变式4】（单选题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【解析】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. 例5．（单选题）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】考察扇形弧长.设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式可得故选：B. 【变式5】（单选题）若一个扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设这个扇形的弧长、半径、圆心角分别为， 由，得，解得．故选：C. 【练 习】（1-7单选题） 1. 下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与终边相同的角为，即， 对于选项A：，不合题意，故A错误；对于选项B：，不合题意，故B错误；对于选项C：，不合题意，故C错误；对于选项D：，符合题意，故D正确 2． 2026°是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】因为2026°=360°×5+226°，所以2026°与226°终边相同， 因为226°是第三象限角，所以2026°是第三象限角.故选：C. 3．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限.故选：B 4．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而，所以是第四象限角．故选：D. 5.从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，可得，，故，解得．故选：C． 6．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 因为，所以，即， 所以图形的面积与扇形的面积的比值.故选：D. 7.已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】手表分针转动的弧度数为：，又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：.故选：B 8.（多选题）下列命题正确的是 （      ）  A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角，则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 【答案】BC 【解析】A选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A错误. B选项，因为<5<2π，所以5弧度的角是第四象限角.B正确. C选项，因为α是第一象限角，即2kπ<α<2kπ+，k∈Z，所以-2kπ-<-α<-2kπ，k∈Z，-2kπ<-α<-2kπ+，k∈Z.所以-α也是第一象限角.C正确. D选项，因为-1弧度角是负角，所以不是锐角.D错误. 9.（多选题）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 【答案】BC 【分析】根据题意有解出即可判断AB，根据扇形的面积公式计算即可判断CD. 【详解】设该扇形的圆心角、弧长、半径分别为，l，r， 所以，解得故A错误，B正确； 扇形的面积，故C正确，D错误． 故选：BC． 10．（填空题）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 . 【答案】 【解析】一个周角是，因此分针拨慢20分钟，也即逆时针旋转． 11．（填空题）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ． 【答案】2 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则周长为， 所以扇形面积， 当且仅当时取等号，此时，所以圆心角， 12．（解答题）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上；(2)终边落在直线上；(3)终边落在阴影区域（含边界）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）终边落在射线上的一个角为即，则终边落在射线上的角的集合为 （2） 终边落在射线上的一个角为即，则终边落在直线上的角的集合为 （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 13．（解答题）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度. (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【答案】(1)；(2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【解析】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以，于是米. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $