第二十一课时-任意角和弧度制-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

### 基本信息 聚焦任意角和弧度制核心考点，通过选择、填空、解答三级题型实现从概念理解到综合应用的分层巩固，适配新授课知识内化需求。 ### 分层设计 |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|终边相同角判断、角度弧度互化、象限角识别、弧长公式直接应用|以选择/填空题为主，如“330°终边相同角”“5π/6化为角度”，直接考查核心概念，夯实数学抽象与运算基础| |技能应用层|角度弧度互化综合计算|解答题分小题递进，如“150°、7π/6、-315°互化”，覆盖正角、负角、特殊角场景，提升运算准确性| |综合拓展层|扇形周长与面积公式联动、象限判断及终边相同角集合|情境化问题设计，如“扇形周长为8求半径与面积”“1200°化弧度并判断象限”，融合多知识点，培养逻辑推理与模型意识|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第二十一课时 任意角和弧度制 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 任意角的概念 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。象限角的集合表示：第一象限角 {α | k·360° ＜ α ＜ k·360° ＋ 90°, k ∈ Z}，第二象限角 {α | k·360° ＋ 90° ＜ α ＜ k·360° ＋ 180°, k ∈ Z}，第三象限角 {α | k·360° ＋ 180° ＜ α ＜ k·360° ＋ 270°, k ∈ Z}，第四象限角 {α | k·360° ＋ 270° ＜ α ＜ k·360° ＋ 360°, k ∈ Z}。 考点二 终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S ＝ {β | β ＝ α ＋ k·360°, k ∈ Z}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和。终边相同的角相差 360° 的整数倍，但终边相同的角不一定相等。判断两个角是否终边相同，只需看它们的差是否为 360° 的整数倍。需要注意：①终边相同的角有无数多个，它们相差 360° 的整数倍；②相等角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等；③终边在坐标轴上的角有特殊表示，如终边在 x 轴上的角为 {α | α ＝ k·180°, k ∈ Z}，终边在 y 轴上的角为 {α | α ＝ k·180° ＋ 90°, k ∈ Z}。 考点三 弧度制 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0。如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧度数的绝对值是 |α| ＝ l/r。用弧度制来度量角，使得角的度量与长度单位无关，体现了弧度制的优越性。角度制与弧度制的换算关系：360° ＝ 2π rad，180° ＝ π rad，1° ＝ π/180 rad ≈ 0.01745 rad，1 rad ＝ (180/π)° ≈ 57.30°。常用特殊角的角度与弧度换算：30° ＝ π/6，45° ＝ π/4，60° ＝ π/3，90° ＝ π/2，120° ＝ 2π/3，135° ＝ 3π/4，150° ＝ 5π/6，180° ＝ π，270° ＝ 3π/2，360° ＝ 2π。 考点四 弧长公式与扇形面积公式 在弧度制下，弧长公式为 l ＝ |α|·r，其中 l 是弧长，α 是圆心角的弧度数，r 是半径。扇形面积公式为 S ＝ (1/2)·l·r ＝ (1/2)·|α|·r²，其中 S 是扇形面积，l 是弧长，α 是圆心角的弧度数，r 是半径。需要注意：①这两个公式中的角 α 必须用弧度制，如果已知角度，需要先换算为弧度；②弧长公式 l ＝ |α|·r 类似于"弧长 ＝ 圆心角 × 半径"，便于记忆；③扇形面积公式 S ＝ (1/2)·l·r 类似于三角形面积公式"面积 ＝ (1/2)·底×高"，其中弧长相当于底，半径相当于高。解题时，已知两个量可以求第三个量。 考点五 弧度制的应用 弧度制在数学中有广泛的应用：①简化公式，弧度制下弧长和扇形面积公式形式简洁；②三角函数的定义，三角函数的自变量通常用弧度制表示；③微积分中，三角函数的导数和积分公式只有在弧度制下才成立。在实际解题中，需要熟练掌握角度与弧度的换算，以及弧长和扇形面积公式的应用。常见题型包括：角度与弧度互化、判断角的终边位置、求终边相同角的集合、利用弧长公式和扇形面积公式求值等。 知识结构思维导图 图1 任意角和弧度制知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各角中，与330°终边相同的角是（ ） A．－30° B．30° C．60° D．－60° 2．将－480°化为弧度为（ ） A．－8π/3 B．－4π/3 C．－2π/3 D．－π/3 3．将5π/6化为角度为（ ） A．120° B．135° C．150° D．180° 4．下列各角中，属于第二象限角的是（ ） A．－100° B．100° C．200° D．300° 5．若圆心角为π/3，半径为6，则弧长为（ ） A．π B．2π C．3π D．6π 6．若扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形面积为（ ） A．π B．2π C．3π D．6π 7．与－π/4终边相同的角的集合为（ ） A．{α | α ＝ －π/4 ＋ 2kπ, k ∈ Z} B．{α | α ＝ π/4 ＋ 2kπ, k ∈ Z} C．{α | α ＝ －π/4 ＋ kπ, k ∈ Z} D．{α | α ＝ π/4 ＋ kπ, k ∈ Z} 8．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则半径为（ ） A．2π B．4π C．2 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．与2025°终边相同的最小正角是 ____________。 10．将72°化为弧度为 ____________。 11．若扇形的圆心角为2 rad，半径为5，则扇形的面积为 ____________。 12．终边在y轴上的角的集合为 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）将下列角度与弧度互化： （1）将150°化为弧度； （2）将7π/6化为角度； （3）将－315°化为弧度。 14．（14分）已知扇形的周长为8，圆心角为2 rad。 （1）求扇形的半径； （2）求扇形的面积。 15．（14分）已知角α ＝ 1200°。 （1）将α化为弧度； （2）判断α是第几象限角； （3）写出与α终边相同的角的集合，并求出其中在[0, 2π)内的角。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． A 2． A 3． C 4． B 5． B 6． C 7． A 8． C 9． 225° 10． 2π/5 11． 25 12． {α | α ＝ π/2 ＋ kπ, k ∈ Z} ■ 详细解析 1．【答案】A 【解析】与330°终边相同的角满足α ＝ 330° ＋ k·360°（k ∈ Z）。当k ＝ －1时，α ＝ 330° － 360° ＝ －30°，故－30°与330°终边相同，选A。本题关键：终边相同的角相差360°的整数倍。 2．【答案】A 【解析】－480° ＝ －480 × (π/180) rad ＝ －480π/180 ＝ －8π/3 rad，选A。本题关键：1° ＝ π/180 rad，角度乘以π/180即得弧度。 3．【答案】C 【解析】5π/6 ＝ (5π/6) × (180/π)° ＝ 5 × 30° ＝ 150°，选C。本题关键：1 rad ＝ (180/π)°，弧度乘以180/π即得角度。 4．【答案】B 【解析】第二象限角满足90° ＜ α ＜ 180°。选项A：－100°的终边在第三象限（－100° ＋ 360° ＝ 260°，在第三象限）；选项B：100°在90°到180°之间，是第二象限角，正确；选项C：200°在第三象限；选项D：300°在第四象限。故选B。 5．【答案】B 【解析】弧长l ＝ |α|·r ＝ (π/3) × 6 ＝ 2π，选B。本题关键：弧长公式l ＝ |α|·r，α用弧度制。 6．【答案】C 【解析】扇形面积S ＝ (1/2)·l·r ＝ (1/2) × 2π × 3 ＝ 3π，选C。本题关键：扇形面积公式S ＝ (1/2)·l·r。 7．【答案】A 【解析】与－π/4终边相同的角的集合为{α | α ＝ －π/4 ＋ 2kπ, k ∈ Z}，选A。本题关键：终边相同的角相差2π的整数倍。 8．【答案】C 【解析】由l ＝ |α|·r，即4 ＝ 2 × r，故r ＝ 4 ÷ 2 ＝ 2，选C。本题关键：弧长公式l ＝ |α|·r，已知弧长和圆心角求半径。 ■ 填空题解析 9．【答案】225° 【解析】2025° ÷ 360° ＝ 5余225°，故与2025°终边相同的最小正角为225°。本题关键：用2025°除以360°取余数。 10．【答案】2π/5 【解析】72° ＝ 72 × (π/180) ＝ 72π/180 ＝ 2π/5 rad。本题关键：1° ＝ π/180 rad。 11．【答案】25 【解析】扇形面积S ＝ (1/2)·|α|·r² ＝ (1/2) × 2 × 5² ＝ (1/2) × 2 × 25 ＝ 25。本题关键：扇形面积公式S ＝ (1/2)·α·r²。 12．【答案】{α | α ＝ π/2 ＋ kπ, k ∈ Z} 【解析】终边在y轴上的角包括y轴正半轴（π/2）和y轴负半轴（3π/2或－π/2），它们相差π的整数倍。故集合为{α | α ＝ π/2 ＋ kπ, k ∈ Z}。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）5π/6；（2）210°；（3）－7π/4 【解析】（1）150° ＝ 150 × (π/180) ＝ 150π/180 ＝ 5π/6 rad。 （2）7π/6 ＝ (7π/6) × (180/π)° ＝ 7 × 30° ＝ 210°。 （3）－315° ＝ －315 × (π/180) ＝ －315π/180 ＝ －7π/4 rad。 本题关键：角度与弧度互化，1° ＝ π/180 rad，1 rad ＝ (180/π)°。 14．【答案】（1）r ＝ 2；（2）S ＝ 4 【解析】已知扇形周长为8，圆心角α ＝ 2 rad。 （1）扇形周长 ＝ 弧长 ＋ 2 × 半径，即l ＋ 2r ＝ 8。 又l ＝ |α|·r ＝ 2r，故2r ＋ 2r ＝ 8，4r ＝ 8，r ＝ 2。 故扇形的半径为2。 （2）弧长l ＝ 2r ＝ 2 × 2 ＝ 4。 扇形面积S ＝ (1/2)·l·r ＝ (1/2) × 4 × 2 ＝ 4。 故扇形的面积为4。 本题关键：扇形周长 ＝ 弧长 ＋ 2 × 半径，结合弧长公式l ＝ |α|·r求解。 15．【答案】（1）20π/3；（2）第二象限角；（3）{α | α ＝ 20π/3 ＋ 2kπ, k ∈ Z}，2π/3 【解析】已知角α ＝ 1200°。 （1）α ＝ 1200° ＝ 1200 × (π/180) ＝ 1200π/180 ＝ 20π/3 rad。 （2）1200° ＝ 3 × 360° ＋ 120°，故1200°与120°终边相同。 120°在90°到180°之间，是第二象限角，故α是第二象限角。 （3）与α终边相同的角的集合为{α | α ＝ 20π/3 ＋ 2kπ, k ∈ Z}。 在[0, 2π)内的角：20π/3 ＝ 6π ＋ 2π/3 ＝ 3 × 2π ＋ 2π/3。 故20π/3与2π/3终边相同，在[0, 2π)内的角为2π/3。 本题关键：将角度化为弧度，利用终边相同的角的关系判断象限和求集合。 高一数学必修一 · 第二十一课时 任意角和弧度制 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $