15.2 画轴对称的图形 题型专练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级上册 15.2 画轴对称的图形 题型专练 【题型1】画轴对称图形 【典例】作已知点关于某直线的对称点的第一步是(　　) A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 【举一反三1】如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【举一反三2】如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是 A. B. C. D. 【举一反三3】如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有　　　　种画法.  【举一反三4】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，已有两个小正方形被涂黑，按下列要求画图． (1)在图①中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； (2)在图②中，涂黑两个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； (3)在图③中，涂黑三个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形． 【举一反三5】如图，以直线l为对称轴画出图形的另一半． 【题型2】画成轴对称的两个图形 【典例】如图中，点A关于直线l的对称点B的画法正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，正六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形A'B'C'D'E'F'．下列判断错误的是（　　） A.AB＝A'B' B.BC∥B'C' C.直线l⊥BB' D.∠A＝∠A' 【举一反三2】请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形        ． 【举一反三3】在如图的网格中按要求画图： （1）把△ABC向右平移5格，再向下平移2格，画出所得△A1B1C1； （2）画△D1E1F1，使得它与△DEF关于直线MN对称； （3）画出△A1B1C1与△D1E1F1的对称轴直线l. 【题型3】关于坐标轴对称的点的坐标 【典例】若点与点关于y轴对称，则等于（   ） A.4 B.1 C.8 D.20 【举一反三1】点P(2，-3)关于y轴的对称点的坐标是 A.(2，3) B.(-2，-3) C.(-2，3) D.(-3，2) 【举一反三2】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(﹣3，a+b)，则点A关于y轴对称点的坐标是(　　) A.(3，a+b) B.(﹣3，﹣a﹣b) C.(3，﹣a﹣b) D.(﹣3，a+b) 【举一反三3】直角坐标系中，直线l是经过且平行于x轴的直线，那么点关于直线l的对称点的坐标是      ． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，点A(5﹣a，a﹣3)，点B(2b﹣1，﹣1)． (1)若点A在第一象限的角平分线上，求a的值； (2)若点A与点B关于x轴对称，求ba的值． 【举一反三5】已知点A(2a＋b，2)，B(1，b－a). (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求(2a＋b)2 025的值. 【题型4】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 【典例】点A(，1)关于y轴对称的点的坐标是(　　) A.(，﹣1) B.(，1) C.(，﹣1) D.(，1) 【举一反三1】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（　　） A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5） B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2） C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2） D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5） 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在一个不完整的平面直角坐标系中，上、下两幅“娃娃脸”图案关于x轴对称．若上图中点A的坐标为，则下图中点B的坐标是________________. 【举一反三4】如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为            ． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为． (1)在网格中画出与关于直线对称的； (2)写出点，，的坐标． 【题型5】用轴对称与平移变换作图 【典例】将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将点A（5，﹣2）向左平移6个单位长度得到点B，再向上平移3个单位得到点C，则点C关于x轴对称点C′的坐标为（　　） A.（﹣1，﹣2） B.（﹣1，1） C.（﹣1，﹣1） D.（1，1） 【举一反三2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 　     　． 【举一反三3】△ABC与△A1B1C1关于直线x=1的对称，点A与A1是对称点，如果点A的坐标是（-2，3）那么点A1的坐标是            . 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P．使得的周长最小． 【题型6】镜面中的轴对称 【典例】小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是如图中的(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是            ．    【举一反三3】如图，这是小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间，此刻的实际时间应该是          ． 【题型7】折叠中的轴对称 【典例】如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿折叠，若，则（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的 A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【举一反三3】如图，长方形纸带ABCD，AD∥CB，将ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为 　      　． 【举一反三4】如图，在中，，，，为边上一动点，将沿着直线折叠，使与重合，连接，则的最小值为          ． 【举一反三5】如图所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕．    (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，折痕为，如图所示，求和的度数； (3)在图中，若改变的大小，则的位置也随之改变，试判断的大小会不会改变，并说明理由． 【举一反三6】[综合与实践] 数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系．是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴（如图），进行如下操作探究： (1)操作一：折叠纸带．若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是______；则与表示的点重合的点表示的数是______； (2)操作二：若点，表示的数分别是，，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒， ①在运动过程中，当点与点之间的距离为时，求值； ②若点在点的右侧且在线段上（含线段端点）恰好有个整数点，求时间的最小值． 【题型8】台球桌面上的轴对称 【典例】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 【举一反三1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A.A 筐 B.B 筐 C.C 筐 D.D 筐 【举一反三2】如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A.① B.② C.③ D.④ 【举一反三3】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是     【举一反三4】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是      .    【举一反三5】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【举一反三6】操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 人教版（2024）八年级上册 15.2 画轴对称的图形 题型专练（参考答案） 【题型1】画轴对称图形 【典例】作已知点关于某直线的对称点的第一步是(　　) A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 【答案】B 【举一反三1】如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【举一反三2】如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据轴对称的定义，可知D选项中，图形沿直线l对折后，直线l两旁的部分不能完全重合，故错误. 【举一反三3】如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有　　　　种画法.  【答案】5 【解析】如图所示，共有5种画法. 【举一反三4】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，已有两个小正方形被涂黑，按下列要求画图． (1)在图①中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； (2)在图②中，涂黑两个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； (3)在图③中，涂黑三个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形． 【答案】解：（1）如图所示. （2）如图所示. （3）如图所示. 【举一反三5】如图，以直线l为对称轴画出图形的另一半． 【答案】解：如图，作出点A，B，C，D的对称点，再依次连接对应点，即得到另一半． 【题型2】画成轴对称的两个图形 【典例】如图中，点A关于直线l的对称点B的画法正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【举一反三1】如图，正六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形A'B'C'D'E'F'．下列判断错误的是（　　） A.AB＝A'B' B.BC∥B'C' C.直线l⊥BB' D.∠A＝∠A' 【答案】B 【解析】解：由图形可知： A、点A和B对称点是点A′和B′，所以AB＝A′B′．故A是正确的； B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC∥D′E′，DE∥B′C′．故B是错误的． C、点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C是正确的． D、点A对称点是点A′，则∠A＝∠A'．故D是正确的． 故选：B． 【举一反三2】请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形        ． 【答案】 【举一反三3】在如图的网格中按要求画图： （1）把△ABC向右平移5格，再向下平移2格，画出所得△A1B1C1； （2）画△D1E1F1，使得它与△DEF关于直线MN对称； （3）画出△A1B1C1与△D1E1F1的对称轴直线l. 【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△D1E1F1即为所求． （3）如图，直线l即为所求． 【题型3】关于坐标轴对称的点的坐标 【典例】若点与点关于y轴对称，则等于（   ） A.4 B.1 C.8 D.20 【答案】A 【解析】∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 【举一反三1】点P(2，-3)关于y轴的对称点的坐标是 A.(2，3) B.(-2，-3) C.(-2，3) D.(-3，2) 【答案】B 【举一反三2】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(﹣3，a+b)，则点A关于y轴对称点的坐标是(　　) A.(3，a+b) B.(﹣3，﹣a﹣b) C.(3，﹣a﹣b) D.(﹣3，a+b) 【答案】A 【解析】点A(﹣3，a+b)关于y轴对称点的坐标是(3，a+b)． 【举一反三3】直角坐标系中，直线l是经过且平行于x轴的直线，那么点关于直线l的对称点的坐标是      ． 【答案】 【解析】已知直线经过且平行于轴，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线上的所有点纵坐标都相等，所以直线的方程为， 点到直线的距离为， 那么对称点的纵坐标为，横坐标不变仍为2， 所以点关于直线的对称点的坐标是． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，点A(5﹣a，a﹣3)，点B(2b﹣1，﹣1)． (1)若点A在第一象限的角平分线上，求a的值； (2)若点A与点B关于x轴对称，求ba的值． 【答案】解 (1)∵点A在第一象限的角平分线上， ∴5﹣a＝a﹣3， 解得a＝4. (2)依题意得5﹣a＝2b﹣1，a﹣3+(﹣1)＝0， 解得a＝4，b＝1， ∴ba＝14＝1． 【举一反三5】已知点A(2a＋b，2)，B(1，b－a). (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求(2a＋b)2 025的值. 【答案】解　(1)∵点A，B关于x轴对称，A(2a＋b，2)，B(1，b－a)， ∴ 解得 (2)∵点A，B关于y轴对称，A(2a＋b，2)， B(1，b－a)， ∴ 解得 ∴(2a＋b)2 025＝(－1×2＋1)2 025＝－1. 【题型4】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 【典例】点A(，1)关于y轴对称的点的坐标是(　　) A.(，﹣1) B.(，1) C.(，﹣1) D.(，1) 【答案】B 【解析】A(，1)关于y轴对称的点的坐标是(，1). 【举一反三1】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（　　） A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5） B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2） C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2） D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5） 【答案】A 【解析】解：根据关于y轴对称的点的坐标特点可得： A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5）； 故选：A． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得，点，将先关于x轴对称，再向右平移一个单位长度得到，继续对称平移后得到，，， ∴由点坐标规律可得， ∴的坐标为． 【举一反三3】如图，在一个不完整的平面直角坐标系中，上、下两幅“娃娃脸”图案关于x轴对称．若上图中点A的坐标为，则下图中点B的坐标是________________. 【答案】 【解析】由题意得，点A和点B关于x轴对称， 又点A的坐标为， 点B的坐标是． 【举一反三4】如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为            ． 【答案】（－2012，2） 【解析】解：由正方形ABCD的顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）可得出点M坐标为（2，2），所以把正方形ABCD第1次变换后的点M的对应点的坐标为（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（-1，-2），第4次变换后的点M的对应点的坐标为（-2，2），．．．．．．所以可得第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），所以当n=2014时，点M的对应点坐标变为（－2012，2）． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为． (1)在网格中画出与关于直线对称的； (2)写出点，，的坐标． 【答案】解：（1）如图，即为所求. （2），，． 【题型5】用轴对称与平移变换作图 【典例】将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变， ∴所得小旗的点与原来的小旗的点关于y轴对称， 故选：C． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将点A（5，﹣2）向左平移6个单位长度得到点B，再向上平移3个单位得到点C，则点C关于x轴对称点C′的坐标为（　　） A.（﹣1，﹣2） B.（﹣1，1） C.（﹣1，﹣1） D.（1，1） 【答案】C 【解析】解：由已知可得， 点B的坐标为（5﹣6，﹣2）， 即B（﹣1，﹣2）， 点C的坐标为（﹣1，﹣2+3） 即C（﹣1，1）， 则点C关于x轴对称点C′的坐标为（﹣1，﹣1）． 故选：C． 【举一反三2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 　     　． 【答案】（﹣1，2）． 【解析】解：∵点B（﹣1，2）， ∴向右平移两个单位后，B′（1，2）． ∴点B′（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 【举一反三3】△ABC与△A1B1C1关于直线x=1的对称，点A与A1是对称点，如果点A的坐标是（-2，3）那么点A1的坐标是            . 【答案】（4，3） 【解析】解：点A与A1是对称点，所以它们到对称轴x=1的距离相等，都为3，从而求得点A1的横坐标是1+3=4，而纵坐标不变，故点A1的坐标是（4，3）. 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P．使得的周长最小． 【答案】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，连接，交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点P即为所求． 【题型6】镜面中的轴对称 【典例】小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是如图中的(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间. 【举一反三1】墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图所示，根据题意作对称图． 【举一反三2】如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是            ．    【答案】 【解析】解：根据镜面对称的特征可知， 1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称， 且“+”和“=”的对称图形仍然是本身． 所以真正的火柴算式是． 【举一反三3】如图，这是小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间，此刻的实际时间应该是          ． 【答案】 【解析】解：此刻的实际时间应该是. 【题型7】折叠中的轴对称 【典例】如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿折叠，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵长方形中， ∴， ∵纸带沿折叠后，点C，D分别落在H，G的位置， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 【举一反三1】如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出，， ∴． ， ∴ ． 【举一反三2】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的 A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】观察图形可知，AD依次是△ABC的高、角平分线、中线. 【举一反三3】如图，长方形纸带ABCD，AD∥CB，将ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为 　      　． 【答案】108° 【解析】解：由折叠可知：∠DEF＝∠D'EF， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠DEF， ∵∠1＝2∠2， ∴∠DEF＝∠D'EF＝2∠2， ∴∠2+∠DEF+∠D'EF＝5∠2＝180°， ∴∠2＝36°， ∴∠D'EF＝72°， ∴∠AEF＝∠2+∠D'EF＝108°． 故答案为：108°． 【举一反三4】如图，在中，，，，为边上一动点，将沿着直线折叠，使与重合，连接，则的最小值为          ． 【答案】4 【解析】∵将沿着直线，使与重合， ∴， ∴， ∴当点A，，B三点共线时，的值最小，即的长度， ∴的最小值为4． 【举一反三5】如图所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕．    (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，折痕为，如图所示，求和的度数； (3)在图中，若改变的大小，则的位置也随之改变，试判断的大小会不会改变，并说明理由． 【答案】解：（1）由折叠的性质可得， . （2）由折叠的性质可得， 由（1）知， . （3）不变，理由如下： 由折叠的性质可得平分，平分， ，， ． 【举一反三6】[综合与实践] 数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系．是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴（如图），进行如下操作探究： (1)操作一：折叠纸带．若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是______；则与表示的点重合的点表示的数是______； (2)操作二：若点，表示的数分别是，，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒， ①在运动过程中，当点与点之间的距离为时，求值； ②若点在点的右侧且在线段上（含线段端点）恰好有个整数点，求时间的最小值． 【答案】解：（1）∵折叠纸带后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴离折叠点距离为， ∴表示的点重合的点表示的数是， ∴离折叠点距离为， ∴表示的点重合的点表示的数是. （2）①经过秒，表示的数为，表示的数为， ∴， ∵点与点之间的距离为， ∴， ∴或， ∴或. ②∵点在点的右侧且在线段上（含线段端点）恰好有个整数点， ∴，， ∴， 解得， ∴时间的最小值为秒． 【题型8】台球桌面上的轴对称 【典例】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 【答案】D 【解析】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2020÷6=336…4， ∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹， ∴第2020次碰到矩形的边时的点为图中的点D； 故选：D． 【举一反三1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A.A 筐 B.B 筐 C.C 筐 D.D 筐 【答案】C 【解析】解：由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【举一反三2】如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】A 【解析】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①． 【举一反三3】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是     【答案】673 【解析】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【举一反三4】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是      .    【答案】 【解析】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【举一反三5】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】解：（1）如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【举一反三6】操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】解：（1）如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 学科网（北京）股份有限公司 $