精品解析：河北省部分学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二年级上学期开学考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ） A. 向右平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是3个不同的平面，且，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为，则（ ） A. 平面与平面的夹角的正弦值为 B. 平面与平面的夹角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 若，，，则取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________. 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 14. 某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量与的夹角为． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）若，求的值． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求使成立的x的取值集合． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）已知，，求二面角的正弦值． 18. 如图，在中，点在边上，且． （1）若，求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 19. 如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）． （1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ （2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． （3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期开学考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义直接可得. 【详解】因为角的终边过点，所以，，， 由三角函数定义，即. 故选：A 2. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ） A. 向右平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规律进行判断. 【详解】对于选项A，函数图象向右平移1个单位长度得，A选项错误. 对于选项B，函数图象向左平移1个单位长度得，B选项正确. 对于选项C，函数图象向上平移1个单位长度得，C选项错误. 对于选项D，函数图象向下平移1个单位长度得，D选项错误. 故选：B 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，，由于为的中点，所以， 故选：B 4. 若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量法得线面角的正弦值，进而求正切值. 【详解】设直线l与平面所成的角为，由题意可得， 由于，得，得． 故选：D 5. 已知是3个不同的平面，且，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中平面与平面关系依次判断即可. 【详解】对于AB，若且，则或， 例如：正方体中三个面共顶点时三个面两两互相垂直；上下底面与侧面垂直，而上下底面互相平行，故AB错误； 对于CD，设，在平面内作直线，    因为，根据面面垂直的性质，所以. 过作一个平面与平面相交于直线， 由，得，所以. 又，所以，故C正确，D错误. 故选：C 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理对条件等式进行变形，得出结论 【详解】因为 ， 由正弦边角关系得 ， 将上述等式两边同乘得，①. 由余弦定理得，②. 将①代入②得，. 因为，所以. 不能得到与相等及的大小. 故选：A 7. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，先证明平面，进而得到，然后分析出要使平面，只需.通过计算得到，进而在中求出，即可得解. 【详解】 如图所示，取中点，连接. 是正三棱柱，为线段的中点， ，， 平面，平面，. ,平面， 平面，平面，. 要使平面，只须. 设三棱柱的棱长为， 则，. 在中，，， . 故选：C 8. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中条件设，将正方形的边长等长度求出，在直角三角形中，有，求出，再用向量的数量积公式求解即可. 【详解】 为的中点，设，，，，， ，，， 过作于，过作于，过作于， ，，，，， ，，， ，，，过作于，，，， 又，，. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解． 【详解】因为为第一象限角，， 所以，，，A正确，B，C错误． 因为，所以，解得或． 因为为第一象限角，所以，，，， 所以（舍去），D正确． 故选：AD 10. 如图，正方体的棱长为，则（ ） A. 平面与平面的夹角的正弦值为 B. 平面与平面的夹角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断选项A，B；再根据点到面的距离求解距离，判断C；再根据三棱锥外接球与正方体的外接球一样，即可求解表面积判断D. 【详解】由正方体的棱长为，由正方体的几何特征可知， 平面，所以， 故平面与平面所成角为， 故，故A正确； 由平面平面，则平面与平面所成二面角为，其正弦值为，故B正确； 由平面平面，点B到的距离就是点B到平面的距离， 则点B到平面的距离为，故C错误； 根据题意知，三棱锥外接球与正方体的外接球一样，则外接球的直径等于正方体的对角线，即，外接球的表面积，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 若，，，则取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用偶函数的定义判断；B根据可判断；C先利用复合函数的单调性求证，时的单调性，再根据对称性和周期性即可求出在的单调性，进而求出最值；D将问题转化为，，，分别求出的范围，转化为值域之间的包含关系即可求出. 【详解】对于A：的定义域为， 因为，所以是偶函数，A正确； 对于B：因， 所以的图象关于直线对称，B正确； 对于C：因为， 所以的图象的一个周期为， 当时，，则， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，结合奇偶性可得在上单调递减； 当时，， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以在上单调递减，结合对称性可得在上单调递增； 根据周期性可得在，上单调递减， 在，上单调递增， 因为，，所以，C错误； 对于D：由周期性可知，在、上的值域相同， 则，，， 因， ，， 结合的单调性和周期性可知，时，， 因，结合的单调性可知，当时，， 故，则，即， 结合可得， 所以取最小值时，，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】∵，， ， ∴ ∴ 故答案为：6 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解. 【详解】如图所示，为正四棱台，连接， 由，得， 过作，为垂足；过作，为垂足， 则，， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为4和16， 体积. 故答案为：28 14. 某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量与的夹角为． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 因为，所以 所以，解得． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求使成立的x的取值集合． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据图象得出的周期，进而求出值，代入点坐标求出，进而得出的解析式； （2）根据正弦函数的性质和图象得出单调递减区间，再根据解析式求出的单调区间； （3）根据正弦函数的图象和性质结合解析式，求出成立的x的取值集合. 【小问1详解】 由图可得，，则， 因为，所以，则， 将点的坐标代入解析式可得， 则，，解得，． 因为，所以 则 【小问2详解】 因为的单调递减区间为：，， 令，，解得，. 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 已知，若，则， 所以或，， 解得或，， 所以x的取值集合为或. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）已知，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用线面平行的性质定理，分别证得和，可证； （2）由线面垂直的性质证得，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面，平面，所以． 因为平面平面，平面，平面，所以， 所以； 【小问2详解】 证明：因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面． 【小问3详解】 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ，， 设平面的法向量为 则，即，可取 设平面的法向量为 则，即，可取 所以二面角的正弦值为． 18. 如图，在中，点在边上，且． （1）若，求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出和，利用正弦定理求解即可； （2）设，利用余弦定理求出代入三角形的面积公式求解即可； （3）设，在，，中分别利用余弦定理，解出即可求解. 【小问1详解】 因为在中，， 所以，， 所以由正弦定理可得， 即. 【小问2详解】 设， 在中由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 设，则， 所以，则， 在中由余弦定理可得， 在中由余弦定理可得， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 令，，则，即， 两边平方得，解得或， 当时，舍去， 当时，成立， 所以，， 所以的周长为. 19. 如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）． （1）如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？ （2）若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． （3）已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由几何性质可知垂直于圆台形水桶的底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，通过相似比例求解即可； （2）记，过作，垂足为，在中，由余弦定理得，根据∽，解得，利用比例相等得即可得解； （3）记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，利用线面垂直的判定定理和性质定理得，在中，由余弦定理得，记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，记与水面交于点，点在平面内的投影为，利用三角形相似得，即可求解. 【小问1详解】 当垂直于圆台形水桶的底面，即直线垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，记，，，， 水桶的高，因为∽，所以，即，解得，所以浸入水中部分的长度最小值为. 【小问2详解】 记，过作，垂足为， ，在中，，所以，即， 解得，（负根舍去），由（1）得，∽， 所以，解得， 因为，所以，即，解得， 所以浸入水中部分的长度为. 【小问3详解】 记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，直线与直线一定相交，所以平面， 又平面，所以，在等腰梯形中，，，， 在中，， 所以，即， 解得，（负根舍去）， 记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为， 矩形如图1所示， 因为∽，所以，即，解得， 记与水面交于点，点在平面内的投影为，如图2所示， 因为∽，所以，即，解得， 所以浸入水中部分的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $