专题6.3 角 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦角的核心知识，系统梳理角的静态与动态定义、度分秒换算及周角平角直角关系，衔接余角补角与角平分线性质，构建从概念到应用的学习支架。 资料设计20类题型含变式训练，结合钟面角、方向角等现实情境培养几何直观与应用意识。探究式学习如三角尺旋转问题发展推理能力与创新意识，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺，提升教学效果。

简一数理 初中专题讲义 专题6.3 角（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 2 2 3 4 7 10 12 14 16 18 20 22 25 26 29 31 34 37 40 42 44 46 48 53 62 知识点一：角的定义 （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间． ②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个． ③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 【例】 或 知识点二：角的相关换算 ①1度分（），1分秒（）； ②1周角，1平角，1直角； ③1周角平角，1平角直角． 知识点三：余角、补角、角平分线 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是的角平分线，． 【题型1 角的概念理解】 【例1】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 【变式1-1】如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 【变式1-2】如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 【变式1-3】用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变． 【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变， 故选：D． 【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质． 【题型2 角的表示方法】 【例2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【变式2-1】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 【变式2-2】如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段与角的表示方法对各图形分析判断，然后即可进行选择． 【详解】解：第1个图形，线段EF，表示正确； 第2个图形，直线MN，表示正确； 第3个图形，线段BA，表示正确； 第4个图形，应该表示为射线OA，表示错误； 第5个图形，表示为∠O，正确； 第6个图形，应该表示为∠BAC或∠CAB，表示错误． 综上，表示正确的有第1、2、3、5共4个图形． 故选B． 【变式2-3】下列说法中，正确的有（   ） ①射线与射线表示同一条射线； ②； ③两点之间的线段的长度叫作这两点之间的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释； ⑤如图，也可用表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义、度分秒的换算、两点间距离的定义、直线的性质以及角的表示方法，根据相关定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：①射线与射线表示不同的射线，故原说法错误，不符合题意； ②，故原说法错误，不符合题意； ③两点之间的线段的长度叫作这两点之间的距离，故原说法正确，符合题意； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释，故原说法正确，符合题意； ⑤如图，不能用表示，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 【题型3 角的分类】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【答案】D 【分析】本题考查平角、周角、钝角、锐角的定义，需根据各类角的概念逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵平角是由一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，且方向相反时所构成的角，它有顶点和两条边，并非一条直线， ∴A选项错误，不符合题意． ∵周角是一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角，它有顶点和重合的两条边，并非一条射线， ∴B选项错误，不符合题意． ∵小于平角的角包括锐角、直角、钝角，并非只有钝角， ∴C选项错误，不符合题意． ∵锐角的定义是大于而小于的角， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 【变式3-3】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 【题型4 画特殊角】 【例4】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 【变式4-1】用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 【答案】 如图， 【分析】本题主要考查了画角，用量角器以此量出，根据题意连接线段即可． 【详解】略 【变式4-2】已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】 如图，为所求． 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：略． 【变式4-3】如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图 (1)画线段； (2)画角； (3)找一点P，使得点P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查直线、线段、角的概念，熟练掌握直线、线段、角概念是解题关键． （1）连接可得线段； （2）作射线，，可得； （3）作直线与直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图点P即为所求： 【题型5 钟面角】 【例5】在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 【变式5-1】钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 【变式5-2】小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表上时针和分针的转动规律，计算出6点55分时时针与分针分别相对于12点位置的转动角度，再计算二者的度数差得到夹角，即可解题． 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． 【变式5-3】钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角计算，需先明确钟表上每个大格、每分钟时针和分针转动的角度，再分别计算时分时针和分针的位置角度，最后求差值得到夹角． 【详解】解：钟表一圈为，共个大格 每个大格的度数为 分针每分钟转动，时针每分钟转动 时分时，分针指向，与点位置的夹角为 时针在点位置基础上转动分钟，与点位置的夹角为 时针与分针的夹角为 故选：B． 【题型6 方向角的表示】 【例6】从地图上可以知道南京在小明家北偏东的方向，那么小明家在南京（     ）的方向． A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】根据位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等；南相反就是北，西相反就是东，进行解答即可． 【详解】解：以小明家为观测点时，南京在北偏东方向；当观测点换为南京时，北的相反方向是南，东的相反方向是西，角度保持不变，因此小明家在南京南偏西的方向上． 【变式6-1】如图，射线的方向是北偏西，若，则射线的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴射线表示的方向是南偏西， 故选：A． 【变式6-2】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方位角．由方位角可得，进而得到，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 的方向是北偏东， 故选：A． 【变式6-3】如图，，则点在点的（    ）方向 A．西偏南 B．南偏西 C．南偏西 D．西偏南 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 根据方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可知： ，， ∴， ∴点在点的南偏西， 故选：． 【题型7 与方向角有关的计算题】 【例7】如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 【变式7-1】如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 【变式7-2】如图，B在C的北偏西方向，，则B在A的（    ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】C 【分析】本题考查方位角，熟练掌握方位的逆推是解题的关键． 根据题意推得，A在B的南偏西方向，据此即可求解． 【详解】解：∵B在C的北偏西， ∴C在B的南偏东， ∵， ∴A在B的南偏西方向， ∴B在A的北偏东方向． 【变式7-3】新情境  石家庄滹沱河的生态修复工程让母亲河重焕新生．如图是东西流向且两岸a，b互相平行的一段滹沱河道，河岸a上有一建筑S，河岸b上的嘉嘉观测到建筑S在他的北偏西方向上，则嘉嘉可能位于（    ） A．点P处 B．点Q处 C．点M处 D．点N处 【答案】D 【分析】利用方向角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据题意得： 若点、为观测点，则在点、的北偏东方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述， 因此，嘉嘉位于点处． 【题型8 角的单位与角度制】 【例8】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 【变式8-1】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 【变式8-2】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需将三个角统一单位后比较大小，利用角度单位换算：，，把的度数换算成度分秒形式，再与、比较． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即 故选：B． 【变式8-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 【答案】D 【分析】本题考查角度运算，涉及度与分的加减乘除，需注意进位和借位规则（），以及除法中的精确计算． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、（精确到分），故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【题型9 角的度数大小比较】 【例9】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 【变式9-1】已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角的度数大小比较，以及角的单位换算，熟练掌握角的单位与角度制的换算是解答本题的关键．根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，再比较找出相等的两个角，即可解题． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 【变式9-2】若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（    ） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【答案】C 【分析】先把两个角统一化为度、分的形式，再比较即可得答案． 【详解】∵36.5°=36°30′，36°30′＞36°5′， ∴∠1＜∠2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是角的大小比较，解答本题的关键是先统一形式，注意以60为进制． 【变式9-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【答案】D 【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案． 【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25° 0.25°＝0.25×60′＝15′， ∴∠C＝30°15′， ∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″， ∴∠A＞∠B＞∠C 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解． 【题型10 角的比较】 【例10】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 【变式10-1】如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【详解】解：由图1可知：角在内，即， 由图2可知：角在外，即 ∴， ∴， 故选A． 【变式10-2】已知和，以下方法一定能说明比小的是(        ) A．通过观察猜测比小 B．用量角器量得 C．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在内部 D．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在外部 【答案】C 【分析】本题考查了角度的大小比较．根据比较大小的方法，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、通过观察猜测不可靠； B、用量角器量得的度数大于的度数； C、通过叠合法能确定在内部，说明比小． D、通过叠合法能确定在外部，说明比大； 故选：C． 【变式10-3】已知，为该平面内一点，给出下面三个结论： ①若，则射线为的角平分线． ②若，作射线平分，平分，则的度数一定是． ③若，，，则点在外． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差计算及点与角的位置关系判断，通过分类讨论和角的和差关系分析每个结论的正确性．对每个结论逐一分析，通过举反例或计算验证其真假． 【详解】解：①若，当点在的外部时，射线不是的角平分线，因此①错误； ②若，作射线平分，平分，分情况讨论： 如图，当射线，位于直线同一侧时，当点在内部时，； 如图，当射线，位于直线两侧时，，因此的度数不一定是，②错误； ③若，，，则． 因为，说明点不在内部，因此点在外，③正确． 综上，只有结论③正确．故选：D． 【题型11 三角板中角度计算问题】 【例11】一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 【变式11-1】利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确一副三角板的所有角度，能画出的角都是这些角度的和或差，因此可画出的角均为的整数倍，据此判断各选项即可． 【详解】解：一副三角板包含的角度为，能画出的角都是上述角度的和或差， ∴可画出的角一定是的整数倍，对选项逐一判断： A. ，可以画出； B. ，可以画出； C. 不是的整数倍，不能画出； D. ，可以画出． 【变式11-2】只用一副三角尺，不能画出度数是（     ）的角． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一副三角尺的内角度数为、、、，只需通过这些角度的和差运算，判断能否得到选项中的角度即可． 【详解】解：对于选项A ：，可以画出，不符合题意； 对于选项B：无法写成上述角度的和或差，不能画出，符合题意； 对于选项C：，可以画出，不符合题意； 对于选项D：，可以画出，不符合题意． 【变式11-3】利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个、、三角板和一个、、三角板，可用角度为、、与、进行拼接重叠．拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度． 【详解】解：一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：，，，，，． 减法：，（结果为正且有效）． A．可由得到，符合； B．无法由、、、中任意两个角度的和或差得到，因此不符合． C．可由得到，符合； D．可由得到，符合． 【题型12 几何图形中角度计算问题】 【例12】自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， 解得， ∴． 【变式12-1】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据光能利用率最高时，集热板与太阳光线垂直，可知，根据的度数求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 光能利用率最高， 集热板与太阳光线垂直， ， ， ， ． 【变式12-2】如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 【变式12-3】如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型13 角度的四则运算】 【例13】如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 【变式13-1】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向角，可得，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， 由余角的性质，得， 由角的和差，得． 【变式13-2】下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的度分秒的换算与加减运算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键．本题考查角的度分秒的转换与加减运算，解题思路是利用，的换算关系，对每个选项逐一进行计算，判断其正确性，从而找出错误的式子． 【详解】解：∵，， ∴A选项：，，，故A项正确，不符合题意． B选项：，，故B项错误，符合题意． C选项：，故C项正确，不符合题意． D选项：，，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式13-3】如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折变换以及角的计算等知识，由折叠的性质得，，先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型14 实际问题中角度计算问题】 【例14】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 【变式14-1】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 【变式14-2】钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】时针走一分钟是0.5°，分针走一分钟是6°，利用角度之间数量关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 （6-0.5）×20°-90°=110°-90°=20°， 故选：A． 【点睛】本题考查钟面角问题，熟知时针和分针所走的度数，找出角度之间的关系是解决问题的关键． 【变式14-3】如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 【题型15 角平分线的计算问题】 【例15】如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 【变式15-1】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式15-2】将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 【变式15-3】已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 【题型16 角N等分线的有关计算】 【例16】已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 【变式16-1】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【变式16-2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 【变式16-3】如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∴,共3个 故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 【题型17 求一个角的余角】 【例17】一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的余角的3倍少列一元一次方程求解即可，准确理解余角补角的概念是解题关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为， ∵补角比这个角的余角的倍少， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴这个角为． 【变式17-1】将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 【变式17-2】将一副三角板按如图所示的四种位置摆放，其中的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角，三角形板中的角度计算，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，得到答案． 【详解】解：如图， ①图形中，均为的余角，则； ②图形中，，则； ③图形中，； ④图形中，，则． 所以的是①③． 【变式17-3】与互为补角，且，则的余角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角与余角的定义，先根据补角性质得到与的数量关系，再将的余角用、的代数式表示并化简，最后对比选项得出结果． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵的余角为， ∴将代入得： ， ∴的余角为， 故选：D． 【题型18 求一个角的补角】 【例18】已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴． 【变式18-1】若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 【变式18-2】下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念，根据定义逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：① ∵ 两个角互余且相等，∴ 互为余角的两个角可能相等，故①错误； ② ∵角的补角为，∴ 补角不一定小于这个角，故②错误； ③ ∵ 同角的补角相等，∴ ③正确； ④ ∵ 互余的两角之和为，每个角必小于，∴ 都是锐角，故④正确； ⑤ 设锐角为，则余角为，补角为， ∵，∴ 余角比补角小，故⑤正确； 综上，正确的有③④⑤，共3个． 故选：B． 【变式18-3】下列说法：①平角就是一条射线；②同角或等角的补角相等；③线段，，则线段；④两点之间线段最短，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，线段的性质，掌握基本概念与性质是解题的关键．根据平角的定义判断①；根据补角的性质判断②；根据线段的和与差判断③；根据线段的性质判断④ 【详解】解：①平角不是一条射线，错误； ②同角或等角的补角相等，正确； ③若在同一条直线上，线段，，则线段或，错误； ④两点之间线段最短，正确． 共有2个正确； 故选：B． 【题型19 与余角、补角有关的计算】 【例19】已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 【变式19-1】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 【变式19-2】已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设未知数列方程求出这个角的度数，再计算该角的补角即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵互余两角的和为， ∴这个角的余角为， 由题意列方程得：， 展开整理得， 解得， ∵互补两角的和为， ∴这个角的补角为． 【变式19-3】如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 【题型20 同（等）角的余（补）角相等的应用】 【例20】如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，根据“等角或同角的余角相等”以及余角和补角的定义，即可求得答案． 【详解】第一个图形中，，与不一定相等； 第二个图形中，根据“同角的余角相等”， 可知； 第三个图形中，，与不一定相等； 第四个图形中，根据“等角的余角相等”， 可知； 综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有个． 故选：B 【变式20-1】下列说法正确的有（     ） ①一个有理数不是整数就是分数； ②负分数不是有理数； ③同角（或等角）的补角相等； ④若，则点B是线段的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类、补角的性质、线段中点的定义，逐个判断各说法的正误 即可． 【详解】解：① 根据有理数的定义： 整数和分数统称有理数，因此一个有理数不是整数就是分数，①正确； ② 负分数属于分数，所有分数都是有理数，因此负分数是有理数，②错误； ③ 根据补角的基本性质 同角(或等角)的补角相等，③正确； ④ 线段中点的前提是三点共线，若，但三点不在同一直线上时，点不是线段的中点，因此④错误； 综上，正确的说法共有2个． 【变式20-2】已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 【详解】解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 【变式20-3】如图，已知，OC是内任意一条射线，OB、OD分别平分、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，通过角平分线的定义得到相等的角，再结合，对每个结论逐一进行推导验证． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴，，故①②正确； ， ∴，显然，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，①②④正确，共3个， 故选：C． 【探究式学习】 1．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“趣转三角尺”的探究活动． 【问题实践】 （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则 ， ； 【操作探究】 （2）强基小组将图2中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若三角尺以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． 问：当平分时，求的值； 【深度探究】 （3）智旋小组受强基小组的启发继续进行探究：如图3，在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次与直线垂直时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，当时，求的值． 【答案】（1），； （2） （3）或 【分析】（1）借助直角三角形两锐角互余直接算出的度数，再通过角的和差关系，结合已知的和的度数求出的度数； （2）根据旋转的速度和时间表示出的度数，进而推导出和的度数，再利用角平分线的定义得到与的等量关系，列出一元一次方程求解的值； （3）根据两个三角尺不同的旋转方向、速度和时间，分别表示出和的度数，结合的条件列出含绝对值的一元一次方程，求解后再根据首次与直线垂直的旋转停止条件，验证方程解的合理性，确定符合题意的值． 【详解】（1）解：在中，，， ； ，， ； （2）解：由题意得，三角尺绕点逆时针旋转，秒旋转的角度为， ∴， ， ，， 平分， ， 即，解得； （3）解：由题意得，三角尺绕点以每秒逆时针旋转，秒后转过的角度为，三角尺绕点以每秒顺时针旋转，秒后转过的角度为， ，， ， ，即， 当时，，解得， 当时，，解得， 又当首次与直线垂直时停止旋转，此时，解得， 的取值范围为，和均符合条件； 答：的值为或． 2．综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2）， 证明：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）略 （3）略 【课后检测】 1．如图，若，可知B处在O处的（     ） A．南偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】先求出，再根据方向角定义进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴B处在O处的南偏西方向上． 2．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设，根据比例关系表示，利用平角定义及角平分线性质表示，结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ． 3．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 【答案】C 【详解】解：∵在学校的南偏西方向上有一个书店， ∴学校在书店的北偏东． 5．下列说法正确的是（     ） A．若，则点C是线段的中点 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．射线和射线是同一条射线 D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是 【答案】D 【详解】解：A．若，点不一定在线段上，故点不一定是线段的中点，错误； B．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，错误； C．射线的端点为，射线的端点为，不是同一条射线，错误； D．11点10分时，时针所走角度为， 分针与12点方向的夹角为， 时针与分针夹角为，正确． 6．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、如图： ∵，， ∴，和不互余，故本选项不符合题意； B、， ∴和互余，故本选项符合题意； C、∵， ∴和不互余，故本选项不符合题意； D、∵， ∴和互补，而不互余，故本选项不符合题意． 7．如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，太阳光线垂直于集热板， ∴， ∵郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为， ∴． 8．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设这个角的度数为未知数，根据余角定义和题干的数量关系列方程求出这个角，再根据补角定义计算所求补角的度数即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，列方程得， 解得， 即这个角为， ∴这个角的补角为． 10．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 【答案】 /度 【分析】设这个角为未知数，根据补角定义和题目条件列方程求出这个角的度数，再根据余角定义计算余角度数． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互为补角的两个角和为，且该角的补角是这个角的两倍， ∴ 可得方程 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ 互为余角的两个角和为， ∴ 这个角的余角为 ． 11．小明发现钟面上的时间恰为7点12分，再过________分钟分针第一次与时针重合． 【答案】 【分析】将问题转化为追及问题，先确定分针与时针的转动速度，计算7点12分时针与分针的角度差，再根据追及公式求解时间。 【详解】解：钟面一圈为， 分针每分钟转动的角度为 ， 时针每分钟转动的角度为 ， 7点12分时，时针的总角度为 ， 分针的总角度为 ， 此时时针领先分针的角度为 ， 设再过分钟分针第一次与时针重合， 根据追及关系得 ， 解得 。 12．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 13．“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 【答案】(1) (2)①经过分钟后，射线与射线第一次重合；②经过分钟，与第一次重合 【分析】（1）根据分针转一圈为，分钟以及时针转一圈为小时求解即可； （2）①设经过分钟后，射线与射线第一次重合，根据（1）的结果将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解；②根据题意将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解． 【详解】（1）解：分针转一圈为，分钟， ∴分针的旋转速度为每分钟转； 时针转一圈为小时， ∴时针的旋转速度为每小时转， 则时针的旋转速度为每分钟转． （2）解：①在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟后，射线与射线第一次重合， 由题意列式为：， 解得， ∴经过分钟后，射线与射线第一次重合 ②在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟，与第一次重合， ∵，每分钟旋转，每分钟转， ∴当与第一次重合时， 旋转度，旋转度， 此时， ∵平分始终成立， ∴， 在时，， ∴以点的位置为起始位置，运动的角度为， ∵与重合， ∴，解得， ∴在后、经过分钟，与第一次重合． 14．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 15．综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【复盘笔记】 第 2 页 共 62 页 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题6.3 角（举一反三讲义） （新教材人教版） 目录 2 3 3 3 4 5 5 6 6 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 16 17 18 19 21 24 知识点一：角的定义 （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间． ②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个． ③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 【例】 或 知识点二：角的相关换算 ①1度分（），1分秒（）； ②1周角，1平角，1直角； ③1周角平角，1平角直角． 知识点三：余角、补角、角平分线 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是的角平分线，． 【题型1 角的概念理解】 【例1】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【变式1-1】如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【变式1-2】如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【变式1-3】用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 角的表示方法】 【例2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-3】下列说法中，正确的有（   ） ①射线与射线表示同一条射线； ②； ③两点之间的线段的长度叫作这两点之间的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释； ⑤如图，也可用表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 角的分类】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【变式3-1】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【变式3-2】一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【变式3-3】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【题型4 画特殊角】 【例4】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【变式4-1】用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 【变式4-2】已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【变式4-3】如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图 (1)画线段； (2)画角； (3)找一点P，使得点P既在直线上，又在直线上． 【题型5 钟面角】 【例5】在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型6 方向角的表示】 【例6】从地图上可以知道南京在小明家北偏东的方向，那么小明家在南京（     ）的方向． A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【变式6-1】如图，射线的方向是北偏西，若，则射线的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏西 【变式6-2】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【变式6-3】如图，，则点在点的（    ）方向 A．西偏南 B．南偏西 C．南偏西 D．西偏南 【题型7 与方向角有关的计算题】 【例7】如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，B在C的北偏西方向，，则B在A的（    ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【变式7-3】新情境  石家庄滹沱河的生态修复工程让母亲河重焕新生．如图是东西流向且两岸a，b互相平行的一段滹沱河道，河岸a上有一建筑S，河岸b上的嘉嘉观测到建筑S在他的北偏西方向上，则嘉嘉可能位于（    ） A．点P处 B．点Q处 C．点M处 D．点N处 【题型8 角的单位与角度制】 【例8】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 【题型9 角的度数大小比较】 【例9】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式9-1】已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式9-2】若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（    ） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【变式9-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【题型10 角的比较】 【例10】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式10-1】如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【变式10-2】已知和，以下方法一定能说明比小的是(        ) A．通过观察猜测比小 B．用量角器量得 C．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在内部 D．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在外部 【变式10-3】已知，为该平面内一点，给出下面三个结论： ①若，则射线为的角平分线． ②若，作射线平分，平分，则的度数一定是． ③若，，，则点在外． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．② D．③ 【题型11 三角板中角度计算问题】 【例11】一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】只用一副三角尺，不能画出度数是（     ）的角． A． B． C． D． 【变式11-3】利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【题型12 几何图形中角度计算问题】 【例12】自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【变式12-3】如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【题型13 角度的四则运算】 【例13】如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型14 实际问题中角度计算问题】 【例14】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【变式14-1】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型15 角平分线的计算问题】 【例15】如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【题型16 角N等分线的有关计算】 【例16】已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【变式16-1】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式16-2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【变式16-3】如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型17 求一个角的余角】 【例17】一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【变式17-1】将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【变式17-2】将一副三角板按如图所示的四种位置摆放，其中的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式17-3】与互为补角，且，则的余角可以为（    ） A． B． C． D． 【题型18 求一个角的补角】 【例18】已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式18-3】下列说法：①平角就是一条射线；②同角或等角的补角相等；③线段，，则线段；④两点之间线段最短，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型19 与余角、补角有关的计算】 【例19】已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【变式19-1】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【变式19-2】已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【题型20 同（等）角的余（补）角相等的应用】 【例20】如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式20-1】下列说法正确的有（     ） ①一个有理数不是整数就是分数； ②负分数不是有理数； ③同角（或等角）的补角相等； ④若，则点B是线段的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式20-2】已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【变式20-3】如图，已知，OC是内任意一条射线，OB、OD分别平分、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【探究式学习】 1．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“趣转三角尺”的探究活动． 【问题实践】 （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则 ， ； 【操作探究】 （2）强基小组将图2中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若三角尺以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． 问：当平分时，求的值； 【深度探究】 （3）智旋小组受强基小组的启发继续进行探究：如图3，在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次与直线垂直时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，当时，求的值． 2．综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【课后检测】 1．如图，若，可知B处在O处的（     ） A．南偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 2．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 4．如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 5．下列说法正确的是（     ） A．若，则点C是线段的中点 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．射线和射线是同一条射线 D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是 6．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 7．如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 10．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 11．小明发现钟面上的时间恰为7点12分，再过________分钟分针第一次与时针重合． 12．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 13．“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 14．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 15．综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【复盘笔记】 第 2 页 共 62 页 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $