6.3 角（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“角”的核心知识点，从角的静态与动态定义切入，系统梳理表示方法、度量单位（度分秒60进制）、分类（锐角至周角）、比较运算（叠合与度量法、角平分线）及互余互补、方位角等内容，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例设计“随学随练”，通过60进制探究培养抽象能力与推理意识，题型分类含解题贴士，助力学生形成逻辑思维。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升几何直观与应用意识。

第六章 几何图形初步 6.3 角 课标要点 1. 结合生活实物、图形直观感知角，知道角由一个顶点和两条直直的边组成；能区分生活中的角与数学意义上的角，会正确指认顶点和边。 2. 理解角的大小只和两条边张开程度有关，与边的长短无关；能用重叠法直观比较两个角的大小，能判断角的开合变化。 3. 直观认识直角、锐角、钝角，会用三角板上的直角作参照，辨别三类角；能在平面图形中找出不同类型的角。 4. 掌握画角基本方法，会借助直尺、三角板画指定的角；通过折角、拼角、摆小棒等活动建立空间直观，发展几何直观素养。 5. 能在长方形、正方形、三角形等常见平面图形中数出角的数量，结合角的特征简单描述图形特点，初步建立图形与角的关联意识。 学习重难点 重点： 掌握角的组成，明确一个角有 1 个顶点、两条直边，能准确识别、标注角的各部分名称。 分清直角、锐角、钝角，会用三角板直角比对判断三类角。 理解角的大小只与两边张开幅度有关，能正确比较角的大小，规范画角。 难点： 容易混淆角的大小与边的长短，误认为边长角就大。 灵活区分接近直角的锐角、钝角，判断模糊图形中的角。 数组合图形、重叠图形中隐藏的角，不漏数、不重复数。 知识点 角的基本概念 1. 角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边。 2. 角的表示方法 表示方法 适用情况 注意事项 用三个大写字母表示 任何情况都适用 顶点字母必须写在中间，两边上的点写在两侧 用一个大写字母表示 顶点处只有一个角的时候 顶点处多个角时不能使用，避免混淆 用数字表示 角比较多时 在角内部靠近顶点处画弧线，标注数字 用希腊字母表示 角比较多时 在角内部靠近顶点处画弧线，标注希腊字母 特别提醒 当一个顶点引出多条射线时，不能只用顶点的大写字母表示所有角，必须用三个大写字母区分 随学随练 1．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 2．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 3．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 5．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 知识点 角的度量 1. 度量单位 角的度量单位是度、分、秒，是60进制： 1周角=360°，1平角=180°； 1°=60'，1'=60''，即1°=3600''。 2. 度量工具与方法 度量角的工具是量角器，量角步骤可以总结为： 1. 点对齐：量角器的中心和角的顶点对齐； 2. 边对齐：量角器的0刻度线和角的一条边对齐； 3. 读度数：看角的另一条边对准量角器的哪一个刻度，就是角的度数。 特别提醒：读数时要注意区分是看内圈刻度还是外圈刻度：0刻度线用内圈的读内圈，0刻度线用外圈的读外圈。 三、角的分类 角的类型 度数范围 特点 锐角 0°<α<90° 小于直角 直角 α=90° 平角的一半，符号为Rt∠ 钝角 90°<α<180° 大于直角小于平角 平角 α=180° 一条射线绕端点旋转半周形成，不是一条直线 周角 α=360° 一条射线绕端点旋转一周形成，不是一条射线 特别提醒 不能说“大于90°的角就是钝角”，钝角必须同时满足小于180°；平角和周角是角，不是直线或射线，它们有顶点和两条边，只是两条边位置重合了。 随学随练 1．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 2．下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【详解】解：∵1平角，1周角， ∴周角，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角，因此选项B不符合题意； 平角，因此选项C不符合题意； 平角，因此选项D符合题意； 故选：D． 3．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 4．一个角是，则可化为多少分（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角度单位中， ∴． 5．下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换算进率，，计算各选项结果，找出换算错误的选项． 【详解】解：度分秒的换算进率为，，可得 ， A． ，换算正确； B． ，换算错误； C．，换算正确； D．，换算正确． 知识点 角的比较与运算 1. 角的比较方法 1. 度量法：用量角器量出角的度数，度数大的角大，度数小的角小； 2. 叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同一侧，根据另一条边的位置比较大小。 2. 角的和与差 若一个角的度数等于另外两个角的度数和，则称这个角是另外两个角的和：∠AOC=∠AOB+∠BOC； 若一个角的度数等于另外两个角的度数差，则称这个角是另外两个角的差：∠AOB=∠AOC-∠BOC。 特别提醒：角的和差还是一个角，不是单纯度数的加减，要注意图形中角的位置关系。 3. 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。 如果OC是∠AOB的角平分线，则：∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 特别提醒 叠合比较时，必须保证顶点重合、一条边重合、另一边在同侧，三个条件缺一不可。 角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，它从顶点出发，在角的内部。 随学随练 1．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 3．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 4．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个、、三角板和一个、、三角板，可用角度为、、与、进行拼接重叠．拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度． 【详解】解：一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：，，，，，． 减法：，（结果为正且有效）． A．可由得到，符合； B．无法由、、、中任意两个角度的和或差得到，因此不符合． C．可由得到，符合； D．可由得到，符合． 5．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 知识点 互余与互补 1. 定义 互余：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中每一个角是另一个角的余角； 互补：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中每一个角是另一个角的补角。 2. 性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等。 特别提醒 互余、互补只和两个角的度数和有关，和两个角的位置没有关系，只要度数满足条件就互余/互补；一个角的余角可以有无数个，补角也可以有无数个。 这里的同角指同一个角，等角指度数相等的角，应用性质时不要漏掉前提条件。 随学随练 1．已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴这个角的度数为． 2．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余两角的和为计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 互余的两个角的和为，， ∴ 的余角为 . 3．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的余角的3倍少列一元一次方程求解即可，准确理解余角补角的概念是解题关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为， ∵补角比这个角的余角的倍少， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴这个角为． 4．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 5．若，则的补角的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为补角，列式计算即可． 【详解】解：的补角的大小是． 知识点 方位角 1. 方位角是表示方向的角，一般以观测者位置为顶点，以正北或正南方向为始边，旋转到目标方向线所成的锐角； 2. 通常表示为北偏东（西）多少度、南偏东（西）多少度，北偏东45°也称为东北方向，南偏西45°也称为西南方向，以此类推。 特别提醒 方位角的始边是正北/正南，不能以正东正西为始边表述，不能写成“东偏北多少度”的表述（规范表述为北偏东）。 随学随练 1．如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 【答案】C 【详解】解：A、舰艇在舰艇的正东方向处，则此项错误； B、舰艇在舰艇的正西方向处，则此项错误； C、舰艇在舰艇的北偏东方向处，则此项正确； D、舰艇在舰艇的南偏西方向处，则此项错误． 2．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 3．如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 4．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 又， ， ， 射线所在的方位是北偏西． 5．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 拓展 单位制度与度量逻辑 角的度量核心是角度制的60进位制，很多学习者只会机械记忆换算规则，但很少思考“为什么角要用60进位，而不是和十进制通用”，这个问题，可以从两个维度深化量化思维： 第1， 度量单位的合理性探究。60进制的起源可以追溯到古巴比伦的天文观测，60拥有2、3、4、5、6、10等多个因数，方便进行二等分、三等分、四等分、五等分等常用等分操作，不需要产生小数分数，在古代手工观测和计算的场景下，60进制比10进制更便捷。这个探究过程可以让学习者理解：度量单位不是天然存在的，是人类根据实际需求人为约定的，这种认知可以打破学习者对“数学规则是天生真理”的误区，理解所有量化规则的实用性本质。进一步拓展，除了角度制，我们还会接触到弧度制，弧度制用弧长和半径的比值定义角的大小，把角的单位从人为约定的60进制转化为和长度统一的十进制，这就为微积分中三角函数求导等运算扫清了单位障碍——不同单位制度适用于不同的研究场景，这种“根据需求选择合适工具”的思维，是量化素养的核心。 第二，换算与估算中的数感培养。角度换算中的度分秒转化，本质上是不同进位制之间的换算训练，比如把35.125°转化为度分秒形式，就是把小数部分按60进制逐层分解，反过来把27°15′30″转化为度数，就是把小单位按60进制逐层累加，这个过程可以训练学习者对不同进位制的转换思维，提升运算的灵活性。此外，生活中很多场景不需要精确度量，只需要估算角的大小，比如估算桌面墙角是90°，张开的剪刀大概30°，打开的书本大概120°，这种估算训练可以帮助学习者建立角的大小的直观感知，把抽象的度数和具象的生活场景对应起来，提升几何直观素养。 活学活用 1．如图，甲从点出发向北偏东方向走向点，乙从点出发向南偏西方向走向点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，由所给方向角可得到，再利用角的和差可得． 【详解】解：如图， 由题意，得，，， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．12点12分钟的时针与分针组成的角是______度． 【答案】66 【分析】根据时钟时针与分针的转动规律，分别计算12分钟内时针和分针相对于12点位置的转动角度，作差即可得到二者组成的角的度数． 【详解】解：钟表一圈为，分针分钟转一圈， 因此分针每分钟转动角度为，分钟分针转动的总角度为， 时针小时转一圈，因此时针每小时转动角度为，可得时针每分钟转动角度为，分钟时针从12点位置转动的总角度为， 因此12点12分时针与分针组成的角为． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． 拓展 位置关系与计数规律 在数角的个数基础练习中，我们可以提炼出通用的计数模型，这个拓展过程可以训练学习者从零散的枚举到系统的规律归纳，培养逻辑推理和模型化思维： 当一个角的内部，从顶点出发引出n条射线时，加上原来角的两条边，总共有(n+2)条射线，任意两条射线都可以组成一个角，因此角的总个数就是从(n+2)个元素中选2个的组合数，公式为。这个推导过程不是机械记公式，而是经历“枚举小数量→猜想规律→验证一般情况→推导公式→应用公式”的完整探究过程：比如当引出1条射线时，总共有3条射线，角的个数是3，代入公式得到3，符合；引出2条射线时，总共有4条射线，角的个数是6，代入公式得到6，符合——这个探究过程就是归纳推理和演绎推理结合的训练，帮助学习者掌握“找规律、猜公式、验结论”的科学探究方法。 此外，这种计数模型还可以迁移到其他几何问题中，比如数直线上的线段个数、数平面上的交点个数、数多边形的对角线条数，本质上都是相同的组合计数模型，这个拓展可以帮助学习者理解不同几何问题背后的共同逻辑，建立模型迁移的素养，明白掌握一个核心模型就可以解决一类问题，而不是靠死记硬背不同题目的解法。 除了计数，角的位置关系中也可以拓展规律探究：比如两条直线相交形成的对顶角相等、邻补角互补，这个性质背后其实是等量代换的逻辑，推导过程“对顶角的两个角都和同一个邻补角互补，所以两个角相等”，就是严谨的三段论推理训练，可以帮助学习者建立“从已知公理推导未知结论”的演绎推理素养，理解几何证明的基本逻辑。 活学活用 1．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 2．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 3．小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【答案】(1)或． (2)或 (3)和 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，一元一次方程的应用．掌握三等分线的定义是解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可． （2）设，利用角平分线的定义和角的和差关系得出，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． （3）由角平分线的定义得出，设运动时间为t秒，则，，，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三等分线， ∴， 或， 此时． 故答案为：或． （2）解：设，则， ∵射线平分， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵是的三等分线，分两种情况∶ 当靠近，则， ∴． 当靠近，则， 则． 故答案为∶或． （3）解：∵，平分， ∴， 设运动时间为t秒，则，，， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当靠近，， 则， 代入， 如图：当时，， 即， 解得（不符合题意舍去） 如图：当时，， 则， 解得（不符合题意舍去） 当靠近，则， 则， 代入， 如图：当时，则， 即， 解得． 如图：当时，， 则， 解得． 综上： 满足条件的所有t的值为和． 题型 角的概念辨析与表示 解题贴士 1. 角有两种定义，需同时掌握：一是有公共端点的两条射线组成的图形，核心要素是「公共端点」和「两条射线」，缺少任意一个都不是角；二是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转过程中起始位置叫始边，终止位置叫终边。 2. 角的四种表示方法要记清适用规则： · 用三个大写字母表示：顶点字母必须放中间，适合所有情况，当顶点处有多个角时只能用这种方法，不能省略顶点字母； · 用一个大写字母表示：只有当顶点处只有一个角时才能用，否则会混淆； · 用阿拉伯数字表示：需要在图中顶点处加弧线标注数字； · 用希腊字母（α、β、γ等）表示：和数字表示类似，需要加弧线标注。 3. 常见陷阱：直线不是平角，射线不是周角——平角和周角是角，有顶点，满足角的定义，直线没有顶点，射线只有一条边，因此都不是角。 ▌例1 用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 【详解】解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． ▌例2．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-1如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可判断． 【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意； B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意； C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意； D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意． ▌对点练1-2．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； C、不存在，和表示不同的角，故不符合题意； D、、和表示同一个角，故符合题意； 故选：D． ▌对点练1-3．如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念和表示方法，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 也可以用来表示，说法正确，故不符合题意； B. 与是同一个角，说法正确，故不符合题意； C. 以为顶点的角有，，，故该选项说法不正确，故符合题意； D. 以为顶点的角不止一个，所以不能用表示，故该选项说法正确，故不符合题意． 故选：C． 题型 判断钟表上的角度 解题贴士 1. 先记基础参数：钟表一圈是360°，一共12个大格，所以每个大格的角度是360÷12=30°；分针一小时转一圈，所以分针每分钟转360÷60=6°；时针12小时转一圈，所以时针每小时转30°，每分钟转30÷60=0.5°。 2. 计算夹角分三步走： 第一步：算时针从12点位置转过的总角度：总度数=小时数×30°+分钟数×0.5°； 第二步：算分针从12点位置转过的总角度：总度数=分钟数×6°； 第三步：求两个角度差的绝对值，若差大于180°，就用360°减去差，得到的就是夹角（夹角一般取不大于180°的角）。 3. 结论速记：12点整夹角0°，3点整、9点整夹角90°，6点整夹角180°，这类结论题可以直接用。 ▌例1．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． ▌例2．小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表上时针和分针的转动规律，计算出6点55分时时针与分针分别相对于12点位置的转动角度，再计算二者的度数差得到夹角，即可解题． 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． ▌对点练1-1．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． ▌对点练1-2．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． ▌对点练1-3．在12点15分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的最小夹角是( )． 【答案】 【分析】钟表盘面一周为，被平均分为12个大格，可得每个大格的度数为，时针每分钟转动，分针每分钟转动；12点整时，时针与分针重合，夹角为，分别计算15分钟内时针和分针各自转动的度数，用分针转动的度数减去时针转动的度数，即可得到两者的最小夹角． 【详解】解：分针15分钟转动的度数为：， 时针15分钟转动的度数为：， 12点15分时针与分针的最小夹角为：． 题型 单位换算与角度计算 解题贴士 1. 换算规则：1°=60'，1'=60''，是六十进制，不是十进制！大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率。 2. 换算步骤：把度数的小数部分乘60化成分，再把分数的小数部分乘60化成秒；反过来，把秒除以60化成分，分加上原来的分再除以60化成度。 例子：12.34°换算：0.34×60=20.4'，0.4×60=24''，所以12.34°=12°20'24''；反过来，15°12'30''换算：30''=0.5'，12.5'=12.5÷60≈0.21°，所以15°12'30''≈15.21°。 3. 角度和差计算：度和度算、分和分算、秒和秒算，哪一位相加满60就向前一位进1；做减法的时候，哪一位不够减，就从前一位借1当60。 例子：计算90°-12°24'，90°可以写成89°60'，89°60'-12°24'=77°36'。 4. 角度乘除运算：乘法先分别乘度分秒，满60进1；除法从度开始，除不尽的余数化成分，再除，除不尽的余数化成秒再除。 ▌例1下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． ▌例2计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． ▌对点练1-1计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，先将括号内的被减数化为含度分秒的形式，计算括号内的减法，再将结果除以2，即可得到用度分秒表示的结果. 【详解】解： ▌对点练1-2小红测得一个角的度数为，小敏测得一个角的度数为，小红想知道他们测得的两个角的度数之和是________． 【答案】 【详解】解：． ▌对点练1-3如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 题型 数角的个数 解题贴士 1. 基础公式：从同一个顶点出发引出n条射线，一共可以组成的角的个数是 。原理就是每两条射线组合成一个角，相当于n条里选2条的组合数。 例子：引出4条射线，总个数就是4×3÷2=6个，数出来的结果也符合。 2. 复杂图形数角：如果有多个顶点，就拆分每个顶点分别数，注意不要漏掉平角、周角，题目没说“小于平角的角”就要全部算进去。 3. 有序数数法：没有记住公式的时候，就按顺序数：从第一条射线开始，依次和后面的射线组合，再从第二条射线开始，依次和后面组合，最后加起来就是总数，避免重复漏数。 ▌例1如图，图中的角共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键在于数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按顺时针数，以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角；以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选C． ▌例2在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；…条射线构成个角． 【详解】解：根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角． 故选B． ▌对点练1-1如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． ▌对点练1-2如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有________个角；画2条射线，图中共有________个角；画3条射线，图中共有________个角． 【答案】 3 6 10 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． ▌对点练1-3如图，在已知角内画射线，画一条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；求画n条射线所得的角的个数___________． 【答案】 【分析】根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画条射线，图中共有个角． 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，； 画2条射线，图中共有6个角，； 画3条射线，图中共有10个角，； …， ∴画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型 角的比较 解题贴士 角比较大小两种方法： 度量法（量度数比大小）和叠合法（顶点重合，一边重合，看另一边位置判断）。 ▌例1如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． ▌例2如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则能说明的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的比较，三角板中角度计算问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据图形得出的取值范围，再结合四个选项作出选择． 【详解】解：根据图形可知， 故选：A． ▌对点练1-1在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． ▌对点练1-2小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． ▌对点练1-3若，，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小，与角的换算，解题的关键在于度与分的换算关系． 将两个角的单位统一为度分形式，再依据角的大小比较规则进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 则. 又因为，， 所以． 故答案为：>． 题型 余角和补角的概念与计算 解题贴士 1. 概念记清： · 互余：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余； · 互补：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补； 核心注意：互余互补只和角度和有关，和位置没有关系，不管两个角在哪里，只要加起来是90°就是互余，加起来180°就是互补。 2. 计算公式：若一个角是，那么它的余角是 ，补角是 ，直接套公式就能求。一个角的补角比它的余角大90°，这个结论可以直接用。 3. 核心性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，这个性质是证明角相等的常用依据，遇到直角、平角的条件，优先考虑用这个性质推角相等。 解 ▌例1一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵若两个角互补，则两角的度数和为， 已知该角的度数为， ∴它的补角度数为． ▌例2一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． ▌对点练1-1如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 【答案】3 【分析】相加等于90度的两个角互余． 【详解】， ， ， 平分， ， ， ， ， 与互余的角有、、共3个． ▌对点练1-2一个角的补角是它本身的两倍，则这个角等于_________度． 【答案】 【分析】设这个角为，则这个角的补角为，根据两倍关系列出方程运算即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， 根据题意得：， 解得：， ∴这个角等于． ▌对点练1-3已知与互为补角，且比的一半大，求的余角． 【答案】 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． 根据补角的概念和题意，可得，解方程求出∠α的值，根据余角的概念计算即可． 【详解】解：由题意得， ，， ∴ 解得， ， 的余角 答：的余角为． 题型 方位角的应用 解题贴士 1. 方位角规则：一般以正北、正南方向为基准，描述为北偏东多少度、北偏西多少度、南偏东多少度、南偏西多少度。“北偏东30°”就是从正北方向向东转30°，不要搞反方向，不要写成东偏北30°（除非题目明确给，一般基准都是南北）。特殊的：北偏东45°就是东北方向，南偏西45°就是西南方向，以此类推。 2. 方位相对性：A在B的北偏东x°，那么B就在A的南偏西x°，度数不变，方向相反，这个规律直接用可以节省计算时间。 3. 计算夹角：两个点相对于观测点的方位角，求它们的夹角，就根据基准方向的位置加减度数即可，比如一个北偏东20°，一个北偏西30°，夹角就是20°+30°=50°。 解 ▌例1如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【答案】C 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． ▌例2如图，B在C的北偏西方向，，则B在A的（    ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】C 【分析】本题考查方位角，熟练掌握方位的逆推是解题的关键． 根据题意推得，A在B的南偏西方向，据此即可求解． 【详解】解：∵B在C的北偏西， ∴C在B的南偏东， ∵， ∴A在B的南偏西方向， ∴B在A的北偏东方向． ▌对点练1-1开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． ▌对点练1-2如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【答案】/度 【详解】解：∵是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线， ∴． ▌对点练1-3如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 【答案】的方向是北偏东 【分析】先求出，得到，求出，则的方向是北偏东，即可解答． 【详解】解：如图 ∵的方向是北偏东，的方向是西偏北， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东． 题型 角平分线的有关计算 解题贴士 1. 角平分线分角为两个相等小角，遇平分线立刻写出∠1=∠2，作为基础关系式。 2. 出现倍数、和差关系时，设最小角为x，其余角用含x式子表示，列方程求解。 3. 多个角叠放时，分清整体角与部分角，大角=两角相加、小角=两角相减，找准等量代换。 4. 看到直角标90°、平角标180°，把定值代入方程，快速消元算出未知角度。 解 ▌例1如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． ▌例2如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． ▌对点练1-1如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． ▌对点练1-2若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． ▌对点练1-3如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 基础通关 1．白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：根据题意得： 若点为观测点，则在点的北偏东方向上，不符合题意； 若点为观测点，则在点的正北方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述． 因此，小宛的位置可能是点处． 2．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 3．如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 【答案】D 【详解】解：由角的表示方法知，选项A、B、C中表示角的方法正确，选项D表示角的方法错误． 【点睛】用大写字母表示角时，特别注意的是：当共顶点的角不止一个时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，应该用三个大写字母表示，且表示角的顶点的字母写中间． 4．下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示，否则需用三个大写字母或数字表示． 【详解】解：当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示， ∴各个选项中能用表示角度的只有D选项， D选项中用，两种方法表示同一个角 5．已知的余角是，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义直接计算即可． 【详解】解：∵ 互余的两个角的度数和为，的余角是， ∴． 6．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 【答案】B 【分析】假设出这个角，根据余角的定义表示出余角，根据数量关系列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互余的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为， 根据题意列方程得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴ 这个角是． 7．______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．如图，，，，则__________ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 10．已知，则的补角等于______． 【答案】145 【详解】解：∵， ∴的补角． 11．早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 【答案】/75度 【分析】本题根据钟表刻度的角度特征，确定8点30分时针与分针的位置，再计算两者的夹角即可． 【详解】钟表一周为，被平均分为个大格，因此每个大格的度数为， 8点30分时，分针指向数字，时针指向数字与的正中间，此时时针与分针间隔个大格， 因此夹角为． 12．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 13．如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 【答案】10个；，，，，，，，，， 【分析】分别写出以，，，为角的一条边的角，即可求解． 【详解】解：以为顶点的角有10个： 以为角的其中一条边：，，，， 以为角的其中一条边：，，， 以为角的其中一条边：，， 以为角的其中一条边：． 14．尺规作图：如图，已知，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】本题考查基本尺规作图，利用作一个角等于已知角的方法即可作出符合要求的． 【详解】解：即为所求． 15．如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据角的倍数关系与和差关系，求出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 素养提升 1．从地图上可以知道南京在小明家北偏东的方向，那么小明家在南京（     ）的方向． A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】根据位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等；南相反就是北，西相反就是东，进行解答即可． 【详解】解：以小明家为观测点时，南京在北偏东方向；当观测点换为南京时，北的相反方向是南，东的相反方向是西，角度保持不变，因此小明家在南京南偏西的方向上． 2．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据光能利用率最高时，集热板与太阳光线垂直，可知，根据的度数求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 光能利用率最高， 集热板与太阳光线垂直， ， ， ， ． 3．如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上， ∴， ∴． 4．时钟9点35分时，分针和时针之间形成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】钟面上每一大格对应，时针每分钟转动，分针每分钟转动，据此解答即可； 【详解】解：9点整时，时针对应的角度为， 经过35分钟后，时针转动的角度为，此时时针对应的总角度为（从12点位置开始计算）， 35分钟时，分针对应的角度为（从12点位置开始计算）， 因此分针与时针的夹角为． 5．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图所示，当在的外部时， 则， 为的平分线， ； 如图所示，当在的内部时， 则， 为的平分线， ， 综上所述，的度数为或． 6．如图所示，已知． （1）若，则__________． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则__________． 【答案】 /22度 或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与余角有关的计算，准确的得到角的和差关系是解题的关键： （1）根据角的数量关系，进行求解即可； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵的余角比小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在的内部时，； 当在的外部时，； 故答案为：或． 7．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 【答案】(1)南偏西， (2)见解析 【分析】（1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 本题考查了用方位角和距离表示位置，理解方位角是解题关键． 【详解】（1）由题可知，飞机在北偏东方向20千米处， 则每相邻两个圆之间的距离相等为10千米， 则飞机在机场的南偏西方向上，距离是千米． 故答案为：南偏西，30 （2）如图，点即为所求： 8．已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 【答案】(1)解：∵，平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2)结论成立． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据平角的定义求出，根据计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：结论成立．理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 9．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 10．如图，直线，交于点，，平分，若，求． 【答案】 【分析】由，可以求解出，又有，则，而平分，可求解出，最后由与互补，即可得到答案． 【详解】解：∵直线，交于点，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 迁移创新 1．一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． (1)求当边与边所在直线重合时的时间； (2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； (3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒或秒或秒或秒， (3)当时，的最小值为 【分析】（1）设边与边重合的时间为，由于边与边重合，即，列方程求解即可； （2）设运动时间为，根据题意可知，一条边平分另一个三角形的内角需要分类讨论，将两个三角形的位置进行依次重合会有五种情况出现，画出示意图，依次列方程解答即可； （3）设边与边重合的时间为，列方程求出边与边重合的时间，结合边与边重合的时间，分段进行求值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设边与边重合的时间为， 由边与边重合可得， ，解得； （2）解：设当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒： ①当所在直线平分时，如图1所示： 则，解得； ②当所在直线平分时，如图2所示： 则，解得； ③当所在直线平分时，如图3所示： 则，解得； ④当所在直线平分时，如图4所示： 则，解得； ⑤当所在直线平分时，如图5所示： 则，解得； 综上所述，当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒或秒或秒或秒或秒； （3）解：由（1）知边与边重合的时间为秒， 设边与边重合的时间为，则 ，得， ①当时，，， 则； ②当时，，， 则； ③当，且未停止转动时，，， 则； 综上所述，当时，的最小值为． 2．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.3 角 课标要点 1. 结合生活实物、图形直观感知角，知道角由一个顶点和两条直直的边组成；能区分生活中的角与数学意义上的角，会正确指认顶点和边。 2. 理解角的大小只和两条边张开程度有关，与边的长短无关；能用重叠法直观比较两个角的大小，能判断角的开合变化。 3. 直观认识直角、锐角、钝角，会用三角板上的直角作参照，辨别三类角；能在平面图形中找出不同类型的角。 4. 掌握画角基本方法，会借助直尺、三角板画指定的角；通过折角、拼角、摆小棒等活动建立空间直观，发展几何直观素养。 5. 能在长方形、正方形、三角形等常见平面图形中数出角的数量，结合角的特征简单描述图形特点，初步建立图形与角的关联意识。 学习重难点 重点： 掌握角的组成，明确一个角有 1 个顶点、两条直边，能准确识别、标注角的各部分名称。 分清直角、锐角、钝角，会用三角板直角比对判断三类角。 理解角的大小只与两边张开幅度有关，能正确比较角的大小，规范画角。 难点： 容易混淆角的大小与边的长短，误认为边长角就大。 灵活区分接近直角的锐角、钝角，判断模糊图形中的角。 数组合图形、重叠图形中隐藏的角，不漏数、不重复数。 知识点 角的基本概念 1. 角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边。 2. 角的表示方法 表示方法 适用情况 注意事项 用三个大写字母表示 任何情况都适用 顶点字母必须写在中间，两边上的点写在两侧 用一个大写字母表示 顶点处只有一个角的时候 顶点处多个角时不能使用，避免混淆 用数字表示 角比较多时 在角内部靠近顶点处画弧线，标注数字 用希腊字母表示 角比较多时 在角内部靠近顶点处画弧线，标注希腊字母 特别提醒 当一个顶点引出多条射线时，不能只用顶点的大写字母表示所有角，必须用三个大写字母区分 随学随练 1．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 3．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 5．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 知识点 角的度量 1. 度量单位 角的度量单位是度、分、秒，是60进制： 1周角=360°，1平角=180°； 1°=60'，1'=60''，即1°=3600''。 2. 度量工具与方法 度量角的工具是量角器，量角步骤可以总结为： 1. 点对齐：量角器的中心和角的顶点对齐； 2. 边对齐：量角器的0刻度线和角的一条边对齐； 3. 读度数：看角的另一条边对准量角器的哪一个刻度，就是角的度数。 特别提醒：读数时要注意区分是看内圈刻度还是外圈刻度：0刻度线用内圈的读内圈，0刻度线用外圈的读外圈。 三、角的分类 角的类型 度数范围 特点 锐角 0°<α<90° 小于直角 直角 α=90° 平角的一半，符号为Rt∠ 钝角 90°<α<180° 大于直角小于平角 平角 α=180° 一条射线绕端点旋转半周形成，不是一条直线 周角 α=360° 一条射线绕端点旋转一周形成，不是一条射线 特别提醒 不能说“大于90°的角就是钝角”，钝角必须同时满足小于180°；平角和周角是角，不是直线或射线，它们有顶点和两条边，只是两条边位置重合了。 随学随练 1．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 2．下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 3．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一个角是，则可化为多少分（     ） A． B． C． D． 5．下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点 角的比较与运算 1. 角的比较方法 1. 度量法：用量角器量出角的度数，度数大的角大，度数小的角小； 2. 叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同一侧，根据另一条边的位置比较大小。 2. 角的和与差 若一个角的度数等于另外两个角的度数和，则称这个角是另外两个角的和：∠AOC=∠AOB+∠BOC； 若一个角的度数等于另外两个角的度数差，则称这个角是另外两个角的差：∠AOB=∠AOC-∠BOC。 特别提醒：角的和差还是一个角，不是单纯度数的加减，要注意图形中角的位置关系。 3. 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。 如果OC是∠AOB的角平分线，则：∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 特别提醒 叠合比较时，必须保证顶点重合、一条边重合、另一边在同侧，三个条件缺一不可。 角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，它从顶点出发，在角的内部。 随学随练 1．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 5．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 知识点 互余与互补 1. 定义 互余：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中每一个角是另一个角的余角； 互补：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中每一个角是另一个角的补角。 2. 性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等。 特别提醒 互余、互补只和两个角的度数和有关，和两个角的位置没有关系，只要度数满足条件就互余/互补；一个角的余角可以有无数个，补角也可以有无数个。 这里的同角指同一个角，等角指度数相等的角，应用性质时不要漏掉前提条件。 随学随练 1．已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 3．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 4．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．若，则的补角的大小是（     ） A． B． C． D． 知识点 方位角 1. 方位角是表示方向的角，一般以观测者位置为顶点，以正北或正南方向为始边，旋转到目标方向线所成的锐角； 2. 通常表示为北偏东（西）多少度、南偏东（西）多少度，北偏东45°也称为东北方向，南偏西45°也称为西南方向，以此类推。 特别提醒 方位角的始边是正北/正南，不能以正东正西为始边表述，不能写成“东偏北多少度”的表述（规范表述为北偏东）。 随学随练 1．如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 2．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 3．如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 4．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 5．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 拓展 单位制度与度量逻辑 角的度量核心是角度制的60进位制，很多学习者只会机械记忆换算规则，但很少思考“为什么角要用60进位，而不是和十进制通用”，这个问题，可以从两个维度深化量化思维： 第1， 度量单位的合理性探究。60进制的起源可以追溯到古巴比伦的天文观测，60拥有2、3、4、5、6、10等多个因数，方便进行二等分、三等分、四等分、五等分等常用等分操作，不需要产生小数分数，在古代手工观测和计算的场景下，60进制比10进制更便捷。这个探究过程可以让学习者理解：度量单位不是天然存在的，是人类根据实际需求人为约定的，这种认知可以打破学习者对“数学规则是天生真理”的误区，理解所有量化规则的实用性本质。进一步拓展，除了角度制，我们还会接触到弧度制，弧度制用弧长和半径的比值定义角的大小，把角的单位从人为约定的60进制转化为和长度统一的十进制，这就为微积分中三角函数求导等运算扫清了单位障碍——不同单位制度适用于不同的研究场景，这种“根据需求选择合适工具”的思维，是量化素养的核心。 第二，换算与估算中的数感培养。角度换算中的度分秒转化，本质上是不同进位制之间的换算训练，比如把35.125°转化为度分秒形式，就是把小数部分按60进制逐层分解，反过来把27°15′30″转化为度数，就是把小单位按60进制逐层累加，这个过程可以训练学习者对不同进位制的转换思维，提升运算的灵活性。此外，生活中很多场景不需要精确度量，只需要估算角的大小，比如估算桌面墙角是90°，张开的剪刀大概30°，打开的书本大概120°，这种估算训练可以帮助学习者建立角的大小的直观感知，把抽象的度数和具象的生活场景对应起来，提升几何直观素养。 活学活用 1．如图，甲从点出发向北偏东方向走向点，乙从点出发向南偏西方向走向点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．12点12分钟的时针与分针组成的角是______度． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 拓展 位置关系与计数规律 在数角的个数基础练习中，我们可以提炼出通用的计数模型，这个拓展过程可以训练学习者从零散的枚举到系统的规律归纳，培养逻辑推理和模型化思维： 当一个角的内部，从顶点出发引出n条射线时，加上原来角的两条边，总共有(n+2)条射线，任意两条射线都可以组成一个角，因此角的总个数就是从(n+2)个元素中选2个的组合数，公式为。这个推导过程不是机械记公式，而是经历“枚举小数量→猜想规律→验证一般情况→推导公式→应用公式”的完整探究过程：比如当引出1条射线时，总共有3条射线，角的个数是3，代入公式得到3，符合；引出2条射线时，总共有4条射线，角的个数是6，代入公式得到6，符合——这个探究过程就是归纳推理和演绎推理结合的训练，帮助学习者掌握“找规律、猜公式、验结论”的科学探究方法。 此外，这种计数模型还可以迁移到其他几何问题中，比如数直线上的线段个数、数平面上的交点个数、数多边形的对角线条数，本质上都是相同的组合计数模型，这个拓展可以帮助学习者理解不同几何问题背后的共同逻辑，建立模型迁移的素养，明白掌握一个核心模型就可以解决一类问题，而不是靠死记硬背不同题目的解法。 除了计数，角的位置关系中也可以拓展规律探究：比如两条直线相交形成的对顶角相等、邻补角互补，这个性质背后其实是等量代换的逻辑，推导过程“对顶角的两个角都和同一个邻补角互补，所以两个角相等”，就是严谨的三段论推理训练，可以帮助学习者建立“从已知公理推导未知结论”的演绎推理素养，理解几何证明的基本逻辑。 活学活用 1．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 2．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 3．小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 题型 角的概念辨析与表示 解题贴士 1. 角有两种定义，需同时掌握：一是有公共端点的两条射线组成的图形，核心要素是「公共端点」和「两条射线」，缺少任意一个都不是角；二是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转过程中起始位置叫始边，终止位置叫终边。 2. 角的四种表示方法要记清适用规则： · 用三个大写字母表示：顶点字母必须放中间，适合所有情况，当顶点处有多个角时只能用这种方法，不能省略顶点字母； · 用一个大写字母表示：只有当顶点处只有一个角时才能用，否则会混淆； · 用阿拉伯数字表示：需要在图中顶点处加弧线标注数字； · 用希腊字母（α、β、γ等）表示：和数字表示类似，需要加弧线标注。 3. 常见陷阱：直线不是平角，射线不是周角——平角和周角是角，有顶点，满足角的定义，直线没有顶点，射线只有一条边，因此都不是角。 ▌例1 用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． ▌例2．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 ▌对点练1-1如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， ▌对点练1-2．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 题型 判断钟表上的角度 解题贴士 1. 先记基础参数：钟表一圈是360°，一共12个大格，所以每个大格的角度是360÷12=30°；分针一小时转一圈，所以分针每分钟转360÷60=6°；时针12小时转一圈，所以时针每小时转30°，每分钟转30÷60=0.5°。 2. 计算夹角分三步走： 第一步：算时针从12点位置转过的总角度：总度数=小时数×30°+分钟数×0.5°； 第二步：算分针从12点位置转过的总角度：总度数=分钟数×6°； 第三步：求两个角度差的绝对值，若差大于180°，就用360°减去差，得到的就是夹角（夹角一般取不大于180°的角）。 3. 结论速记：12点整夹角0°，3点整、9点整夹角90°，6点整夹角180°，这类结论题可以直接用。 ▌例1．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． ▌例2．小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． ▌对点练1-3．在12点15分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的最小夹角是( )． 题型 单位换算与角度计算 解题贴士 1. 换算规则：1°=60'，1'=60''，是六十进制，不是十进制！大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率。 2. 换算步骤：把度数的小数部分乘60化成分，再把分数的小数部分乘60化成秒；反过来，把秒除以60化成分，分加上原来的分再除以60化成度。 例子：12.34°换算：0.34×60=20.4'，0.4×60=24''，所以12.34°=12°20'24''；反过来，15°12'30''换算：30''=0.5'，12.5'=12.5÷60≈0.21°，所以15°12'30''≈15.21°。 3. 角度和差计算：度和度算、分和分算、秒和秒算，哪一位相加满60就向前一位进1；做减法的时候，哪一位不够减，就从前一位借1当60。 例子：计算90°-12°24'，90°可以写成89°60'，89°60'-12°24'=77°36'。 4. 角度乘除运算：乘法先分别乘度分秒，满60进1；除法从度开始，除不尽的余数化成分，再除，除不尽的余数化成秒再除。 ▌例1下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2计算：_____________． ▌对点练1-1计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） ▌对点练1-2小红测得一个角的度数为，小敏测得一个角的度数为，小红想知道他们测得的两个角的度数之和是________． ▌对点练1-3如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 题型 数角的个数 解题贴士 1. 基础公式：从同一个顶点出发引出n条射线，一共可以组成的角的个数是 。原理就是每两条射线组合成一个角，相当于n条里选2条的组合数。 例子：引出4条射线，总个数就是4×3÷2=6个，数出来的结果也符合。 2. 复杂图形数角：如果有多个顶点，就拆分每个顶点分别数，注意不要漏掉平角、周角，题目没说“小于平角的角”就要全部算进去。 3. 有序数数法：没有记住公式的时候，就按顺序数：从第一条射线开始，依次和后面的射线组合，再从第二条射线开始，依次和后面组合，最后加起来就是总数，避免重复漏数。 ▌例1如图，图中的角共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 ▌例2在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 ▌对点练1-1如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 ▌对点练1-2如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有________个角；画2条射线，图中共有________个角；画3条射线，图中共有________个角． ▌对点练1-3如图，在已知角内画射线，画一条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；求画n条射线所得的角的个数___________． 题型 角的比较 解题贴士 角比较大小两种方法： 度量法（量度数比大小）和叠合法（顶点重合，一边重合，看另一边位置判断）。 ▌例1如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 ▌例2如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则能说明的度数不可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 ▌对点练1-2小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． ▌对点练1-3若，，则________．（填“”或“”或“”） 题型 余角和补角的概念与计算 解题贴士 1. 概念记清： · 互余：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余； · 互补：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补； 核心注意：互余互补只和角度和有关，和位置没有关系，不管两个角在哪里，只要加起来是90°就是互余，加起来180°就是互补。 2. 计算公式：若一个角是，那么它的余角是 ，补角是 ，直接套公式就能求。一个角的补角比它的余角大90°，这个结论可以直接用。 3. 核心性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，这个性质是证明角相等的常用依据，遇到直角、平角的条件，优先考虑用这个性质推角相等。 解 ▌例1一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． ▌例2一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． ▌对点练1-2一个角的补角是它本身的两倍，则这个角等于_________度． ▌对点练1-3已知与互为补角，且比的一半大，求的余角． 题型 方位角的应用 解题贴士 1. 方位角规则：一般以正北、正南方向为基准，描述为北偏东多少度、北偏西多少度、南偏东多少度、南偏西多少度。“北偏东30°”就是从正北方向向东转30°，不要搞反方向，不要写成东偏北30°（除非题目明确给，一般基准都是南北）。特殊的：北偏东45°就是东北方向，南偏西45°就是西南方向，以此类推。 2. 方位相对性：A在B的北偏东x°，那么B就在A的南偏西x°，度数不变，方向相反，这个规律直接用可以节省计算时间。 3. 计算夹角：两个点相对于观测点的方位角，求它们的夹角，就根据基准方向的位置加减度数即可，比如一个北偏东20°，一个北偏西30°，夹角就是20°+30°=50°。 解 ▌例1如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 ▌例2如图，B在C的北偏西方向，，则B在A的（    ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 ▌对点练1-1开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． ． ▌对点练1-2如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． ▌对点练1-3如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 题型 角平分线的有关计算 解题贴士 1. 角平分线分角为两个相等小角，遇平分线立刻写出∠1=∠2，作为基础关系式。 2. 出现倍数、和差关系时，设最小角为x，其余角用含x式子表示，列方程求解。 3. 多个角叠放时，分清整体角与部分角，大角=两角相加、小角=两角相减，找准等量代换。 4. 看到直角标90°、平角标180°，把定值代入方程，快速消元算出未知角度。 解 ▌例1如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． ▌例2如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． ▌对点练1-2若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． ▌对点练1-3如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 基础通关 1．白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 2．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 3．如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 4．下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 5．已知的余角是，则等于（     ） A． B． C． D． 6．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 7．______． 8．如图，，，，则__________ 9．如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 10．已知，则的补角等于______． 11．早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 12．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 13．如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 14．尺规作图：如图，已知，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 素养提升 1．从地图上可以知道南京在小明家北偏东的方向，那么小明家在南京（     ）的方向． A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 2．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．时钟9点35分时，分针和时针之间形成的角的大小为__________． 5．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 6．如图所示，已知． （1）若，则__________． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则__________． 7．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 8．已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 9．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 10．如图，直线，交于点，，平分，若，求． 迁移创新 1．一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． (1)求当边与边所在直线重合时的时间； (2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； (3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 2．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $