6.3 角 预习讲义-2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义系统梳理角的核心知识点，从静态与动态定义入手，涵盖表示方法、度量单位、比较运算，延伸至角平分线、余角补角，构建从概念到应用的完整学习支架。 通过分层练习与实际情境题（如钟表角度、三角板组合），助力学生用数学眼光观察现实，提升运算能力与推理意识，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

第六章 几何图形初步 03讲 角 目录 【知识点1. 角 2】 【知识点2. 角的表示方法 4】 【知识点3. 角的度量单位 7】 【知识点4. 角的比较 9】 【知识点5. 角的运算 11】 【知识点6. 角的平分线 13】 【知识点7. 余角 20】 【知识点8. 补角 21】 【考点1. 角的概念 24】 【考点2. 角的表示方法 26】 【考点3. 角的分类 28】 【考点4. 角的单位与角度制 30】 【考点5. 角的比较大小 33】 【考点6. 钟表中的角度问题 35】 【考点7. 三角板中的角度问题 37】 【考点8. 几何图形中的角度问题 40】 【考点9. 角度的四则运算 47】 【考点10. 实际问题中的角度问题 51】 【考点11. 角平分线的有关计算 53】 【考点12. 角n等分线的有关计算 58】 【考点13. 余角及其性质 64】 【考点14. 补角及其性质 66】 【考点15. 与余角、补角有关的计算 68】 【课后作业 73】 知识清单：角 1、角 1）角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角. 2）角的动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. ①如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角； ②如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 巩固基础 1．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的概念，角的大小由两边张开的程度决定，与边的长度无关．放大镜仅放大物体的长度，不会改变角的两边张开的程度． 【详解】解：用放大镜观察角时，虽然边的长度被放大，但角的两边张开的程度（即角度）保持不变．因此，原角为30度，放大后仍为30度． 故选：A． 3．角的两条边是（   ） A．斜线 B．线段 C．射线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了角的定义，理解角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形是解答关键． 根据角的定义来逐一进行判定求解． 【详解】解：A．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，不是斜线，故此项不符合题意； B．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，不是线段，故此项不符合题意； C．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，是射线，故此项符合题意； D．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，不是直线，故此项不符合题意． 故选：C． 4．深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握量角器的读数方法是解题的关键． 根据量角器直接读取即可． 【详解】解：观察量角器可得“三折叠”手机的打开角度， 故选：D． 5．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 知识清单：角的表示方法 1、角的表示方法 表示方法 图示说明 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用 用希腊字母表示 ∠α 任何情况都适用 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 巩固基础 1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 2．下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解决问题的关键．结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，还可以用表示，不能用表示，故选A不符合题意； B、图中的，不能用，表示，故选B不符合题意； C、图中的，不能用，表示，故选C不符合题意； D、图中的，还可以用，表示，故选D符合题意； 故选：D． 3．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 4．如图，下列各角的表示方法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法即可求解． 【详解】解：图中的角有、、、， 即表示方法不正确的有， 故选：B． 5．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为_________；（2）可以表示为_________；（3）可以表示为_________． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 知识清单：角的度量单位 1、角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″． 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 巩固基础 1．若，则将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握，是关键． 利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 2．下列角度换算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：，．逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】选项A：，正确． 选项B：中，，应表示为，而非，错误． 选项C：，正确． 选项D：中，，，故总和为，正确． 故选B． 3．下列与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的换算，根据即可计算求解． 【详解】解： 故选：B． 4．计算：__________（化为度）． 【答案】 【分析】根据，转换计算即可． 本题考查了角的度分秒转换计算，熟练掌握进制是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 5．把换算成度分秒是________． 【答案】 【分析】此题主要考查角度的换算，解题的关键是熟知角度的换算方法． 根据将高级单位化为低级单位时，乘以60，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6． ______度______分______秒 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒之间是进制是解题的关键． 根据题意求出，再计算，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 度分秒， 故答案为：． 知识清单：角的比较 1、角的比较 1）方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 . 2）方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较. 角度数大小比较的注意事项： ① 单位要统一； ② 高位大的角度更大，先比较度，再比较分，后比较秒. 巩固基础 1．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查角的大小比较，将化成后，再进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：C． 2．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度单位的换算和大小比较，解题的关键是掌握角度单位的换算方法． 将换算成，再比较角的大小关系． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 3．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解∶图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选∶ A． 4．比较大小：__________．（填或） 【答案】 【分析】本题主要考查角的单位换算及大小比较，熟练掌握角的单位换算及大小比较是解题的关键；将转换为度分形式，再与比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 5．已知，请你比较大小：____________（填“或或”）． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 6．比较大小：______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查角度的大小比较，熟练掌握度分秒的换算是解题的关键．将换算成度分秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：＜ 知识清单：角的运算 1、角的运算 1）角的和：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 2）角的差：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减； 分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60. 巩固基础 1．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算．结合，整理原式，再运算减法，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查角的运算，需要将度与度相加，分与分相加，注意分的进位制，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．先将分相减，再把所得结果转化为度． 【详解】解：， 故答案为：． 4．_______；______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的四则运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据角度的四则运算法则即可得． 【详解】解：；． 故答案为：，． 5．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算．根据度分秒的进率转换计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．计算：______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的四则运算，熟知角度值的进率为60是解题的关键． 根据角度的计算方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的减法运算，根据角度的运算法则即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 知识清单：角的平分线 1、角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图. 巩固基础 1．如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 2．已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 3．如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解： 是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 4．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 5．如图，点O在直线上，作射线、、、．已知，，且平分．若平分，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，用x表示出，再根据角平分的意义得出，从而可得到关于x的方程求解，从而可得出． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴． 6．完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线．求：的度数． 解：因为①________（如图）， ，（已知）， 所以②________． 因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）． 所以⑤________． 所以⑥________． 【答案】；；；角平分线的定义；； 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义；根据图形可得，根据角平分线的定义得出 ，进而根据，即可求解． 【详解】解：因为（如图）， ，（已知）， 所以． 因为为的角平分线（已知）， 所以 （角平分线的定义）． 所以 ． 所以 ． 故答案为：；；；角平分线的定义；；． 7．如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 知识清单：余角 1、余角 1）定义：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余.其中一个角是另一角的余角. 2）性质：同角（等角）的余角相等. 巩固基础 1．若一个角的度数是，则它的余角的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角的度数是， ∴这个角的余角的度数是， 故选：A． 2．一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求余角，根据余角的定义，互为余角的两角之和为，因此用减去已知角即可得出余角． 【详解】解：∵余角，， ∴． 故余角为， 故选D． 3．的余角等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求余角．根据余角的定义，用90度减去已知角即可求出该角的余角． 【详解】解：的余角等于． 故答案为： 4．的余角是______． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义．用即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．若，那么它的余角的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，理解其定义是解题的关键． 根据余角的定义解题即可． 【详解】解：的余角为． 故答案为：． 知识清单：补角 1、补角 1）定义：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补.其中一个角是另一角的补角. 2）性质：同角（等角）的补角相等. 巩固基础 1．已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角的定义． 根据补角的定义，两个角的和为时互为补角，因此的补角等于减去的度数． 【详解】∵，且补角的定义是两角之和为， ∴的补角， 故选：D． 2．已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的定义，根据和为的两个角互为补角，即可解题． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故选：C． 3．若和互为余角，与互补，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角，先根据与互补，求出，再根据和互为余角，即可求出． 【详解】解：因为与互补，， 所以， 因为和互为余角， 所以； 故选：D． 4．已知与互补，，则____ ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的求解，角度制的换算，根据补角的定义求解即可． 【详解】解：与互补，， ， 故答案为：． 5．，它的余角度数是___________，它的补角度数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角和补角，利用余角的定义与补角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是； 的补角的度数是． 故答案为：；． 6．如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 【答案】(1)互余 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和相等，理由如下： 和互为余角， ， 又，， ∴； （3）解：由（2）可知：， 又， ， ∴的补角是． 故答案为：． 直击考点 【考点1：角的概念】 例1. 将量角器按图方式放置，其中角度为的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键． 根据量角器分别得出每个角的度数即可． 【详解】解：由量角器可知，，，，． 故选：A． 变式1. 下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关定义，熟练掌握角的两种定义是解答的关键，注意：角的两边是两条射线，并非直线和线段． 【详解】解： A. 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角，这个说法是错误的， 角是由两条射线（不是线段）组成的，它们有一个公共端点，称为角的顶点； B. 两条射线就组成了角，这个说法也不够准确， 两条射线必须有一个公共端点才能组成角； C. 角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形，这个说法是正确的， 角可以被看作是一条射线（称为始边）绕着它的端点旋转到另一条射线（称为终边）所形成的图形； D. 角的两边越短，角越小，这个说法是错误的， 角的大小与边的长度无关，而是由两条边之间的夹角决定； 因此，正确答案是 C， 故选：C． 变式2. 如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线可以组成角的个数为多少即可． 【详解】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：， 故选：B． 变式3. 如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有________个角；画2条射线，图中共有________个角；画3条射线，图中共有________个角． 【答案】 3 6 10 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 【考点2：角的表示方法】 例1.如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法，结合图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图中、、表示的是同一个角，符合题意； B、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； C、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； D、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； 故选：A． 变式1. 下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 变式2. 下列对于图中画弧线的角的表示方法：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法，①三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，②顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，③阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，④希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，熟练掌握表示方法是解题的关键．根据角的表示的方法，即可得到答案． 【详解】解：图中画有弧线的角的表示方法有：， 故①④⑥正确，正确的个数有3个， 故选：B． 变式3. 如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    【答案】9 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 【考点3：角的分类】 例1. 下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 例2. 下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 变式1. 一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 变式2. 如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 变式3. 如图，小于平角的角共有________个． 【答案】14 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 【考点4：角的单位与角度制】 例1. 可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握度分秒的换算进制； 根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D 例2. 用度分秒表示下列各角：_____；        _____． 【答案】 【分析】本题考查度、分、秒单位之间的换算，熟练掌握它们之间的进率及换算方法是解答关键； （1）用，再用，即可解答； （2）用，即可解答. 【详解】解：（1） ，再用， 故； 故答案为： （2）； 故： 故答案为：. 变式1. 下列角度换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的换算．掌握度、分、秒是60进制的数是解答本题的关键．根据度、分、秒是60进制的数，逐项判断即可． 【详解】解：根据， A、，原式错误，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 变式2. 把化成以度为单位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度制的计算，根据角度制进行转化即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式3. 计算： （1）________＇________； （2）________＇________〞； （3）________； （4）________________＇． 【答案】 105 1.75 45 2700 15.5 25 21 【分析】本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，小的单位化大的单位除以进率． 根据度化成分，乘以进率，秒化成分除以进率，可化成分，根据有理数大小比较，可得答案． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ； （2）∵， ， ∴； （3）； （4）． 故答案为：(1) 105；1.75 (2) 45；2700 (3) 15.5 (4) 25；21． 【考点5：角的比较大小】 例1. 已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角的度数大小比较，以及角的单位换算，熟练掌握角的单位与角度制的换算是解答本题的关键．根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，再比较找出相等的两个角，即可解题． 【详解】解： ，，， ， 故选：B． 例2. 已知是内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线，则（  ） A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】D 【分析】此题主要考查了角的大小比较，关键是掌握等式的性质．根据角的和差关系即可解答． 【详解】解：当时，， 因为不知道与的大小关系， 所以与无法比较大小． 故选：D． 变式1. 已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 变式2. 已知，则的大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算和角的大小比较，先统一单位，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：， 因为， 所以． 故答案为：． 变式3. 比较大小：___________(用“”“”“”填空) 【答案】 【分析】本题主要考查角度的大小比较，根据，再比较大小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 变式4. 比较大小： ____________ (填或或) 【答案】 【分析】本题考查度、分、秒的换算以及角度大小的比较，掌握度、分、秒的换算方法以及单位之间的进率是正确解答的前提． 根据度、分、秒的换算方法将换算成即可． 【详解】解：∵，而 ， ∴ ． 故答案为：． 变式5. 比较图中、的大小：________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查了角的大小比较．根据两角不重合的边的位置，判断得结论． 【详解】解：∵和是公共边，在的内部， ∴． 故答案为：<． 【考点6：钟表中的角度问题】 例1. 如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出钟面上的数字2和数字10之间的夹角（小于平角），再减去时针走10分钟的度数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 例2. 8时30分，钟的时针与分针组成的最小角的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角的计算方法，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：表盘有个大格，共，则每一个大格为， 当点分时，钟表的时针在点与点的中间，分针在点处，共个大格， 此时钟表的时针与分针成的锐角的度数是， 故答案为：． 变式1. 如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：由题意得：钟表上的时间下午时， 此时时针位于与中间，分针指到上，中间夹格， ∴时针与分针之间所成的角是：， 故选：A． 变式2. 下列说法错误的是（   ） A．一个小时钟表的时针转30° B．一个小时钟表的分针转 C．当9点整时，时针与分针成角 D．当6点整时，时针与分针成角 【答案】D 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握角的度数及钟面角解题的关键． 根据钟面角，可知一个小时时针转一大格为，一小时分针转一周，9点整时，时针与分针成角，6点整时，时针与分针成角． 【详解】解;一个小时钟表的时针转，故A正确，不符合题意； 一个小时钟表的分针转一周，故B正确，不符合题意； 当9点整时，时针与分针成角，故C正确，不符合题意； 当6点整时，时针与分针成角，故D错误，符合题意． 故选：D． 变式3. 某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（    ） A．120° B．130.5° C．135° D．137.5° 【答案】D 【分析】本题考查钟面角问题，掌握每刻度代表度数和每根针的转速是解题关键． 夹角是指小于的角，中间夹了一个7-11点之间4个大格，由每个大格30度，时针每分钟转度，两个角度加起来即为所求． 【详解】解：∵每个大格30度，时针每分钟转度， ∴， 故选：D． 变式4. 如图，钟表上显示，此时分针、时针成__________度角． 【答案】75 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：75． 【考点7：三角板中的角度问题】 例1. 如图，将两块三角板的直角与的顶点O重合在一起，两块三角板有部分重叠，当，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，由角的和差得， 可求，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以 ， 所以， ， ； 故选：B． 例2. 一副三角板如图所示摆放，若是的一条三等分线，则的度数为______度．    【答案】或 【分析】本题考查三角尺内角的计算，分或两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意知， ∵是的一条三等分线， ∴当时，； 当时，． 故答案为：或． 变式1. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的角度计算问题． 直接根据平角的定义计算即可． 【详解】， 故选：C． 变式2. 把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角板中的角度计算．根据角的和计算即可． 【详解】解：由题意可得 故选：A． 变式3. 如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角的计算，平角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：，， ， 的度数是的倍， ，解得， ， 故答案为：． 变式4. 如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，先求出的度数，再可求出的度数解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为： 【考点8：几何图形中的角度问题】 例1. 如图所示，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的关系，掌握利用角的和差关系计算未知角的度数是解题的关键． 本题根据角的和差关系定理，得到，从而解决求度数的问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 例2. 如图，与都是直角，且，则等于______度． 【答案】36 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，设，则，根据题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵与都是直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴ 故答案为：36． 变式1. 如图，在的内部，且，，则图中所有角的度数之和为（   ）（注：图中所有角均指小于的角） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和差，能够根据图形计算角的和差是解题的关键． 结合图形，列出所有角的度数之和的算式，再利用角的和差计算即可解答． 【详解】解：由题意得，图中所有角的度数之和为： ． 故选：A． 变式2. 如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键．根据已知，即，由此可得，根据即可得出答案． 【详解】解：，即， ， ， ． 故选：D． 变式3. 已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 变式4. 如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1)100 (2) (3)50或70 【分析】本题考查角度的计算与探究，解决本题的关键是对不同情况进行画图并分类讨论． （1）当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如图1，②当时，如图2，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， 当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2， ∴ ； 故答案为：100； （2）从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且）， ①当时，如（图1）， ∵， ∴， ， ∴ ； ②当时，如（图2）， ∵， ∴， ， ∴ ； 综上所述：的度数为； （3）从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴, ∴； ②当时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 【考点9：角度的四则运算】 例1. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 例2. 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的减法运算，解题的关键是掌握度、分、秒之间的60进制换算规则，以及当被减数的分或秒小于减数时的借位方法（）． 被减数的分（）小于减数的分（），且被减数无秒数，需先从度借化为，再从分借化为，使被减数的分和秒足够减，最后分别计算度、分、秒的差值． 【详解】解： 变式1. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式2. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 变式3. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 变式4. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握是解题是关键． （1）结合，进行加法运算，即可作答． （2）结合，先进行乘法，再进行加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 变式5. 计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点10：实际问题中的角度问题】 例1. 如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， 故答案为：． 变式1. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 变式2. 如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3. “宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 【考点11：角平分线的有关计算】 例1. 如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的度数计算，解题的关键是根据角平分线的性质逐步求出相关角的度数，进而得到的度数．​ 先根据直角的定义确定的度数；再依据平分求出的度数；接着根据平分求出的度数；最后用减去得到的度数，再与选项对比．​ 【详解】解：∵是直角，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∴．​ 故选：D．​ 例2. 如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解： ，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又 ， ，即平分． 变式1. 如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，根据角平分线的定义即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵平分， ∴． 故选：B． 变式2. 如图，，是的平分线，则的度数为（   ）度 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了角的平分线的定义，理解角的和差以及角的平分线的定义是关键． 先求出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 变式3. 如图，，，若平分，则______． 【答案】20 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解： ，， ， 平分， ， 故答案为：20． 变式4. 如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则的度数为________． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，先求解，再进一步利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 变式5. 如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则 度； (2)若的度数为，的度数为β，则是多少度？（用α，β表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求得及的度数，再由角之间的和差关系计算即可； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）根据角平分线的定义表示出及，再由角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴，， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵射线在的内部，，分别是，的平分线， ∴， ∴． 【考点12：角n等分线的有关计算】 例1. 在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 例2. 如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 变式1. 定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 变式2. 已知；和是直角． (1)如图1，当射线在内部时，请探究和之间的关系； (2)如图2，当射线，射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了角之间的关系，解题的关键是理解题意，掌握角之间的关系，分情况讨论，正确计算． （1）根据题意得，得到，，可得，即可得； （2）根据题意计算得，根据，得，即可得． 【详解】（1）解：， 证明：∵和是直角， ∴， 即，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：根据题意得，， ∵，， ∴， ∴． 变式3. 已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 变式4. 如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 【考点13：余角及其性质】 例1. 若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是， 故选：A． 例2. 若与互余，且，则___． 【答案】51 【分析】本题考查余角：根据互余角的定义，两个角的和为，已知的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵与互余， ∴． 已知， 因此． 故答案为：51． 变式1. 已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余的定义，两个角的和为，直接计算即可得出结果． 【详解】解： 与互余， ， ， ， 故选：B． 变式2. 如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握余角的定义，先根据，求出的度数，然后再求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为： ， 故选：B． 变式3. 的余角为___________ 【答案】 【分析】本题考查了余角的求解，角度制的换算，根据余角定义进行求解即可． 【详解】解：， 的余角为， 故答案为：． 变式4. 如图，是直线上一点，且，，则______，的余角是______． 【答案】 【分析】本题考查了余角，角的和差，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为．根据可知和互为余角，已知，根据互余两角之和为即可求解． 【详解】解： ， 和互为余角， ， ， 即的余角是， 故答案为：，． 【考点14：补角及其性质】 例1. 角的补角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查补角的定义及度分秒的计算，解题的关键是熟练掌握角度的有关计算． 根据补角的定义，结合度分秒的计算求解即可， 【详解】解：角的补角为． 故选：C． 例2. 如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ________． 【答案】121 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用平角定义可得：，从而再结合已知易得：，然后利用角的和差关系可得：，再利用补角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的度数， 故答案为：121． 变式1. 如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了补角的性质，一元一次方程的应用，设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据互为补角的两个角的度数相加为列方程求解即可． 【详解】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 根据题意得：， 解得， ∴， ∴这两个角的度数是，． 故选：B． 变式2. 已知一个角的度数是，那么这个角的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利本题考查了互补即两个角的和是；用计算即可． 【详解】一个角的度数等于，那么它的补角等于， 故选：A． 变式3. 一个角的补角是，这个角的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角的定义直接计算即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：这个角的度数为， 故答案为：． 变式4. 如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为______度． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中角度计算问题，求一个角的补角等知识点，根据的两边在量角器上的读数求出其度数是解题的关键． 根据的两边在量角器上的读数求出其度数，然后再求其补角即可． 【详解】解：由题意可得： ， 则的补角为：， 故答案为：． 【考点15：与余角、补角有关的计算】 例1.已知与互为余角，，则的补角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了补角和余角的定义，互为余角的两角之和为，互为补角的两角之和为； 根据余角定义，，可求出；再根据补角定义，的补角为，计算即可． 【详解】解：∵与互为余角，， ∴， ∴的补角， 故选：B． 例2. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 例3. 如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 变式1. 如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．根据等角的余角相等，即可判断∠1=∠3． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 变式2. 如图：，可得．理由是________． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查的是余角和补角，熟知同角的余角相等是解答此题的关键．根据余角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 变式3. 一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为，求这两个角的度数． 【答案】这两个角的度数分别为和． 【分析】先设出小角的度数，再根据两个角的倍数关系表示出大角的度数，然后依据余角和补角的定义列出方程，最后求解方程得到两个角的度数．本题主要考查了余角和补角的定义以及一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补角的定义并根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小角的度数为，则大角的度数为．则小角的余角为，大角的补角为 ∵ 小角的余角与大角的补角之差为 ∴ ∴ 大角的度数为 ∴这两个角的度数分别为和． 变式4. 如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 变式5. 如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 【分析】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）由图直接回答即可； （3）由可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ； （2）解：以C为顶点的所有相等的角有；； （3）解：与互补，理由如下： ∵， ∴与互补； 课后作业 1．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示，否则需用三个大写字母或数字表示． 【详解】解：当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示， ∴各个选项中能用表示角度的只有D选项， D选项中用，两种方法表示同一个角 3．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②；③；④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 4．（2026·山西忻州·一模）2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干图得到立春初昏时分斗柄指向的方向，进而计算即可． 【详解】解：由图可知立春初昏时分斗柄指向的方向为东偏北， ∵谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东）， ∴谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向东偏南， ∴立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①；②；③； ④．其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】结合的位置（内部或外部），逐一分析各条件是否符合角平分线的判定要求即可；本题主要考查了角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，熟练掌握角平分线的定义并分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①∵，即将分成两个相等的角，且在内部， ∴能确定平分； ②如图，当在外部时，也可满足， ∴不能确定平分； ③如图，只要在内部，就有，但与不一定相等， ∴不能确定平分； ④如图，当在外部时，符合，但不是的平分线， ∴不能确定平分； 综上，只有①能确定平分； 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 _______ ． 【答案】45 【分析】由时针一小时走一大格，那个半小时走半个大格，然后根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：． 9．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）若与互补，和互余，若，则的度数为____________． 【答案】 /143度 【分析】根据互余的定义，两个角互余则两角和为，可先求出的度数，再根据互补的定义，两个角互补则两角和为，代入的度数计算即可得到的度数． 【详解】解：∵和互余， ∴， 又∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴． 10．（2026·江西·一模）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是_______． 【答案】/度 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）若一个角的补角的一半比这个角的余角多，则这个角的度数是_____°． 【答案】 20 【分析】设这个角为，分别表示出它的补角和余角，再根据“补角的一半比余角多”列方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为， 则它的补角为，余角为， 由题意得， ， ， ． 故答案为：． 12．（2026·湖南娄底·模拟预测）计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，先将括号内的被减数化为含度分秒的形式，计算括号内的减法，再将结果除以2，即可得到用度分秒表示的结果. 【详解】解： 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：已知直线、相交于点，，射线在内部，有如下结论： ①的补角是；②若，则； ③若平分，则；④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】①根据补角定义进行判断；②利用得到与互余，代入数据计算验证；③结合对顶角相等和角平分线定义，通过等式变形证明两角相等；④利用对顶角相等列方程求出，再结合直角求出． 【详解】解： ， 的补角不是，故①错误； ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ，即， ，即， ，故④正确． 综上，正确的结论为②③④． 14．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 /90度 /10度 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 15．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据题意列方程求出，然后分两种情况：①当射线在内部；②当射线在外部，分别求出的度数即可． 【详解】解：设，则， 依题意得：， 解得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①当射线在内部时， ； ②当射线在外部时， ； 综上所述，的度数为或． 16．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据角的倍数关系与和差关系，求出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 17．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，推出，即可得出结果. 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ， ， . 18．（25-26六年级下·山东东营·期中）如图，直线，，相交于点．，若，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，结合，即可求解． 【详解】解：设，则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 19．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的补角比这个角的余角的倍还多，求这个角的度数． 【答案】 【分析】设这个角的度数为，进而根据余角和补角的定义表示出该角的余角和补角，再根据角的数量关系列方程，解方程即可得解． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为，补角为． 根据题意，得， 解得， 这个角的度数是． 20．（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知与互补，且比的2倍多，求与的度数． 【答案】， 【详解】解：∵比的2倍多， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 解得， ∴． 21．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读材料： 如图，点C为线段上任意一点，，点E、F分别为线段的中点．试求线段的长． 解：∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（依照上题思路解决下列问题） 已知：内有一条射线，，射线分别平分，求的度数． 【答案】 【分析】类比题干解题思路，利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可． 【详解】解：∵射线分别平分， ∴． ∴， ∵， ∴． 22．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)．见解析 【分析】（1）根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）根据题意求出，再根据即可证明结论． 【详解】（1）解：点在直线上，， ． 平分， ． ； （2）解：． 理由：点在直线上，， ， 解得． 由（1），得． ． ． 24．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平角求解即可； （2）利用互余和角平分线的性质求解即可； （3）由（2）得，再由角平分线得出，利用平角求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：由（2）得 又∵平分， ∴． ∴． 25．（25-26六年级下·山东淄博·月考）完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)；． 理由见解析 【分析】（1）欲求，需求，已知，需求，由中点的性质可知，， 已知，从而求解即可，由即可得解； （2）欲求，需求，已知，需求，由角平分线的性质可知，， 即可得解；与同理可证． 【详解】（1）解：∵，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， ； （2）解：射线和射线分别平分和： ，， ， ， ， ． 理由如下： 射线和射线分别平分和， ， ． 26．（25-26六年级下·山东淄博·月考）如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先计算，再计算，最后计算； （2）计算即可以说明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴． 27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)20，160，； (2)成立，见解析 (3)第秒或秒或秒时． 【分析】（1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，； （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则三角板旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则三角板旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图5 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：； 综上，第秒或秒或秒时． 28．（25-26七年级下·江苏南京·月考）已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 29．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 【答案】(1)120 (2)，理由见解析 (3)此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出的度数； （2）根据，判断出与之间满足什么等量关系即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴； （2）解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 1 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 03讲 角 目录 【知识点1. 角 2】 【知识点2. 角的表示方法 3】 【知识点3. 角的度量单位 5】 【知识点4. 角的比较 5】 【知识点5. 角的运算 6】 【知识点6. 角的平分线 7】 【知识点7. 余角 9】 【知识点8. 补角 10】 【考点1. 角的概念 11】 【考点2. 角的表示方法 11】 【考点3. 角的分类 13】 【考点4. 角的单位与角度制 13】 【考点5. 角的比较大小 14】 【考点6. 钟表中的角度问题 15】 【考点7. 三角板中的角度问题 16】 【考点8. 几何图形中的角度问题 17】 【考点9. 角度的四则运算 19】 【考点10. 实际问题中的角度问题 20】 【考点11. 角平分线的有关计算 21】 【考点12. 角n等分线的有关计算 23】 【考点13. 余角及其性质 25】 【考点14. 补角及其性质 26】 【考点15. 与余角、补角有关的计算 27】 【课后作业 29】 知识清单：角 1、角 1）角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角. 2）角的动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. ①如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角； ②如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 巩固基础 1．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 2．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 3．角的两条边是（   ） A．斜线 B．线段 C．射线 D．直线 4．深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 知识清单：角的表示方法 1、角的表示方法 表示方法 图示说明 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用 用希腊字母表示 ∠α 任何情况都适用 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 巩固基础 1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 2．下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列各角的表示方法不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为_________；（2）可以表示为_________；（3）可以表示为_________． 知识清单：角的度量单位 1、角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″． 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 巩固基础 1．若，则将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列角度换算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列与相等的是（   ） A． B． C． D． 4．计算：__________（化为度）． 5．把换算成度分秒是________． 6． ______度______分______秒 知识清单：角的比较 1、角的比较 1）方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 . 2）方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较. 角度数大小比较的注意事项： ① 单位要统一； ② 高位大的角度更大，先比较度，再比较分，后比较秒. 巩固基础 1．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 2．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 4．比较大小：__________．（填或） 5．已知，请你比较大小：____________（填“或或”）． 6．比较大小：______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 知识清单：角的运算 1、角的运算 1）角的和：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 2）角的差：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减； 分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60. 巩固基础 1．计算：________． 2．计算：______． 3．计算：_______． 4．_______；______． 5．计算：______． 6．计算：___________． 7．计算：______． 8．计算：______． 知识清单：角的平分线 1、角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图. 巩固基础 1．如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 3．如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 5．如图，点O在直线上，作射线、、、．已知，，且平分．若平分，求的度数． 6．完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线．求：的度数． 解：因为①________（如图）， ，（已知）， 所以②________． 因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）． 所以⑤________． 所以⑥________． 7．如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 知识清单：余角 1、余角 1）定义：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余.其中一个角是另一角的余角. 2）性质：同角（等角）的余角相等. 巩固基础 1．若一个角的度数是，则它的余角的度数是（ ） A． B． C． D． 2．一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 3．的余角等于______． 4．的余角是______． 5．若，那么它的余角的度数为______． 知识清单：补角 1、补角 1）定义：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补.其中一个角是另一角的补角. 2）性质：同角（等角）的补角相等. 巩固基础 1．已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 3．若和互为余角，与互补，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知与互补，，则____ ． 5．，它的余角度数是___________，它的补角度数是___________． 6．如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 直击考点 【考点1：角的概念】 例1. 将量角器按图方式放置，其中角度为的角是（    ） A． B． C． D． 变式1. 下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 变式2. 如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式3. 如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有________个角；画2条射线，图中共有________个角；画3条射线，图中共有________个角． 【考点2：角的表示方法】 例1.如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 变式1. 下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 变式2. 下列对于图中画弧线的角的表示方法：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3. 如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    【考点3：角的分类】 例1. 下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 例2. 下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 变式1. 一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 变式2. 如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 变式3. 如图，小于平角的角共有________个． 【考点4：角的单位与角度制】 例1. 可化为（   ） A． B． C． D． 例2. 用度分秒表示下列各角：_____；        _____． 变式1. 下列角度换算错误的是（   ） A． B． C． D． 变式2. 把化成以度为单位是（   ） A． B． C． D． 变式3. 计算： （1）________＇________； （2）________＇________〞； （3）________； （4）________________＇． 【考点5：角的比较大小】 例1. 已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 例2. 已知是内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线，则（  ） A． B． C． D．与无法比较大小 变式1. 已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2. 已知，则的大小关系是__________． 变式3. 比较大小：___________(用“”“”“”填空) 变式4. 比较大小： ____________ (填或或) 变式5. 比较图中、的大小：________．（填“>”“<”或“=”） 【考点6：钟表中的角度问题】 例1. 如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 例2. 8时30分，钟的时针与分针组成的最小角的度数为_________． 变式1. 如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 变式2. 下列说法错误的是（   ） A．一个小时钟表的时针转30° B．一个小时钟表的分针转 C．当9点整时，时针与分针成角 D．当6点整时，时针与分针成角 变式3. 某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（    ） A．120° B．130.5° C．135° D．137.5° 变式4. 如图，钟表上显示，此时分针、时针成__________度角． 【考点7：三角板中的角度问题】 例1. 如图，将两块三角板的直角与的顶点O重合在一起，两块三角板有部分重叠，当，的度数为（ ） A． B． C． D． 例2. 一副三角板如图所示摆放，若是的一条三等分线，则的度数为______度．    变式1. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式2. 把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，则（　　） A． B． C． D． 变式3. 如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为______． 变式4. 如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则________． 【考点8：几何图形中的角度问题】 例1. 如图所示，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2. 如图，与都是直角，且，则等于______度． 变式1. 如图，在的内部，且，，则图中所有角的度数之和为（   ）（注：图中所有角均指小于的角） A． B． C． D． 变式2. 如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式3. 已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为_________． 变式4. 如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【考点9：角度的四则运算】 例1. 计算： (1)； (2)． 例2. 计算：． 变式1. 计算： (1)； (2)． 变式2. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 变式3. （1）； （2）． 变式4. 计算 （1） （2）． 变式5. 计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【考点10：实际问题中的角度问题】 例1. 如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是______． 变式1. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式2. 如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 变式3. “宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【考点11：角平分线的有关计算】 例1. 如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2. 如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 变式1. 如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式2. 如图，，是的平分线，则的度数为（   ）度 A．30 B．40 C．50 D．60 变式3. 如图，，，若平分，则______． 变式4. 如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则的度数为________． 变式5. 如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则 度； (2)若的度数为，的度数为β，则是多少度？（用α，β表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【考点12：角n等分线的有关计算】 例1. 在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 例2. 如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 变式1. 定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为_______． 变式2. 已知；和是直角． (1)如图1，当射线在内部时，请探究和之间的关系； (2)如图2，当射线，射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数． 变式3. 已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 变式4. 如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【考点13：余角及其性质】 例1. 若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 例2. 若与互余，且，则___． 变式1. 已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2. 如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 变式3. 的余角为___________ 变式4. 如图，是直线上一点，且，，则______，的余角是______． 【考点14：补角及其性质】 例1. 角的补角等于（    ） A． B． C． D． 例2. 如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ________． 变式1. 如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2. 已知一个角的度数是，那么这个角的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3. 一个角的补角是，这个角的度数为_________． 变式4. 如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为______度． 【考点15：与余角、补角有关的计算】 例1.已知与互为余角，，则的补角是（　　） A． B． C． D． 例2. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 例3. 如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 变式1. 如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 变式2. 如图：，可得．理由是________． 变式3. 一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为，求这两个角的度数． 变式4. 如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 变式5. 如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 课后作业 1．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②；③；④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 4．（2026·山西忻州·一模）2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①；②；③； ④．其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 8．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 _______ ． 9．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）若与互补，和互余，若，则的度数为____________． 10．（2026·江西·一模）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是_______． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）若一个角的补角的一半比这个角的余角多，则这个角的度数是_____°． 12．（2026·湖南娄底·模拟预测）计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：已知直线、相交于点，，射线在内部，有如下结论： ①的补角是；②若，则； ③若平分，则；④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 14．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 15．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 16．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 17．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 18．（25-26六年级下·山东东营·期中）如图，直线，，相交于点．，若，求的度数． 19．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的补角比这个角的余角的倍还多，求这个角的度数． 20．（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知与互补，且比的2倍多，求与的度数． 21．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读材料： 如图，点C为线段上任意一点，，点E、F分别为线段的中点．试求线段的长． 解：∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（依照上题思路解决下列问题） 已知：内有一条射线，，射线分别平分，求的度数． 22．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 23．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 24．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 25．（25-26六年级下·山东淄博·月考）完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 26．（25-26六年级下·山东淄博·月考）如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 28．（25-26七年级下·江苏南京·月考）已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 29．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 1 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $