3.1.1 椭圆及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆标准方程及定义应用，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课基础夯实与思维训练需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆标准方程、焦点位置判断、定义直接应用|选择题1-4题，通过具体方程与焦点距离问题，夯实概念理解，培养数学抽象能力| |概念应用|焦点三角形、轨迹判断、参数范围|选择5-8题、多选题及填空题，结合焦点三角形角度计算、动圆轨迹分析，训练推理运算能力| |综合拓展|方程求解、轨迹方程推导|解答题15-16题，通过求椭圆标准方程及中点轨迹，培养模型意识与综合应用能力|

3.1.1 椭圆及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A(，)，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】B 【解析】由题意知2c＝2，即c＝， 将点A(，)代入，得＋＝1， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝6或a2＝1(舍去)， ∴b2＝4，椭圆的标准方程为＋＝1. 2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知椭圆方程，焦点在轴上时， 则，移项可得. 则，移项得到. 则，移项得，解得. 综合以上三个条件，取交集得. 故选B. 3.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 【答案】B 【解析】设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R， 动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切， ∴|MM1|＋|MM2|＝1＋R＋5－R＝6， ∵|MM1|＋|MM2|＞|M1M2|＝2， ∴该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1， 解得a＝3，根据b2＝a2－c2的关系求得b2＝8， ∴椭圆的方程为＋＝1. 4.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在椭圆中，已知，则. 已知为椭圆上一点，所以. 因为，则. 答案为D. 5.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】由椭圆方程可知a＝4，b＝3，c＝， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，在△PF1F2中，由余弦定理可得， cos ∠F1PF2＝ ＝ ＝＝ 又因为0°≤∠F1PF2＜180°， 所以∠F1PF2＝60°. 6.（2025-2026·江苏扬州高二上期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知椭圆，椭圆标准方程为，已知，则. 根据椭圆的定义，则. 已知，，所以. 故选D. 7.（2025-2026·江苏扬州高二上期中）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知方程表示椭圆，需满足： ，解得；，解得； ，移项可得，即. 综合得. 故选D. 8.（2025-2026·宁夏石嘴山高二上期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由焦点在轴上的椭圆标准方程， 解得. 二、多选题（共3小题） 9.设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 【答案】BC 10.已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 【答案】AC 【解析】当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误． 11.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 【答案】BC 【解析】∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6. ∵a>0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立. 当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|， 此时点P的轨迹是线段F1F2； 当a＋>6时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆.故选BC. 三、填空题（共3小题） 12.已知是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是                   . 【答案】 【解析】已知椭圆， 根据椭圆标准方程，可得，. 则，由，可得. 根据椭圆定义，所以. 的周长， 而两焦点间距离. 所以. 13.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则∠F1PF2＝                  . 【答案】90° 【解析】因为|PF1|∶|PF2|＝4∶3， 所以可设|PF1|＝4k，|PF2|＝3k. 由椭圆定义可知3k＋4k＝2a＝14， 所以k＝2， 所以|PF1|＝8，|PF2|＝6. 因为|F1F2|＝2c＝10，|PF1|2＋|PF2|2＝102＝|F1F2|2， 所以∠F1PF2＝90°. 14.若关于x,y的方程+=1表示椭圆,则m满足的条件是                  . 【答案】 【解析】由关于x,y的方程+=1表示椭圆, 知解得m>,且m≠1. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 【答案】解　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 点F(2，0)为其右焦点， 则不妨令其左焦点为F′(－2，0)， 从而有解得 又a2＝b2＋c2， ∴b2＝12， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)， ∵Q为PF的中点， ∴∴ 又P是＋＝1上的动点， ∴＋＝1， 即Q点的轨迹方程是＋＝1. 16.已知椭圆＋＝1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2. (1)求x0的值； (2)求过点M且与椭圆＋＝1共焦点的椭圆的方程． 【答案】解　(1)由题意知点M(x0，2)在椭圆＋＝1上， 则＋＝1， 解得＝9. 又x0<0，∴x0＝－3. (2)易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)．由(1)可知点M的坐标为(－3,2)，将其代入所设方程，得＋＝1(a2>5)， 解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A(，)，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（） A. B. C. D. 3.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 4.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（） A. B. C. D. 5.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.（2025-2026·江苏扬州高二上期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（） A. B. C. D. 7.（2025-2026·江苏扬州高二上期中）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.（2025-2026·宁夏石嘴山高二上期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 10.已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 11.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 三、填空题（共3小题） 12.已知是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是                   . 13.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则∠F1PF2＝                  . 14.若关于x,y的方程+=1表示椭圆,则m满足的条件是                  . 四、解答题（共2小题） 15.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 16.已知椭圆＋＝1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2. (1)求x0的值； (2)求过点M且与椭圆＋＝1共焦点的椭圆的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $