2.5.1直线与圆的位置关系 第一课时 同步练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从单一知识点到综合应用的梯度进阶，强化几何直观与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|切线方程、位置关系判断、弦长计算|选择填空为主，结合具体圆方程强化概念理解，如过圆上点的切线方程求解| |综合运用|曲线交点、参数讨论、直线过定点|含多选与解答题，如直线与半圆交点问题，培养分类讨论能力| |拓展提高|向量关系、面积最值|情境化解答题，如动圆与直线相交的定点证明，发展逻辑推理与创新意识|

2.5.1　直线与圆的位置关系 第一课时　直线与圆的位置关系 一、基础巩固 1. (2025秋·抚顺期末) 过圆C：上一点作圆C的切线，则的方程为(　　) A.  B.  C.  D.  2.若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(1,2] C.(0,2) D.(1,2) 3. (2025秋·葫芦岛月考) 若直线与圆：相交于，两点，则 (　　) A.  B.  C.  D.  4.(多选)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.-2 D. 5.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=3 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 6.已知圆O:x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为(　　) A.y-2=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.x-1=0 7.(多选) 已知直线l：，圆C： (　　) A. 若直线l过圆C圆心，则 B. 直线l过定点 C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切 D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则 8.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则l与C的位置关系是　　　　.  9.若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆C:x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.  10.经过点P(4,5),且与圆(x-2)2+y2=4相切的直线的方程为　　　　.  11.已知曲线C:x2+y2+2x+4y+m=0. (1)当m为何值时,曲线C表示圆? (2)若直线l:y=x-m与圆C相切,求m的值. 二、综合运用 12.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足(　　) A.|b|= 　　　B.-1<b≤1或b=- C.-1≤b<1 　　　D.非以上答案 13.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点,则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　.  14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程. 三、拓展提高 15.已知圆x2+y2=4内一定点P(1,0),过P作直线l交圆于A,B两点,若l的倾斜角为45°,则|AB|的值为　　　　;若=2,则直线l的斜率为　　　　.  16.如图,在平面直角坐标系中,P为直线y=4上一动点,圆O:x2+y2=4与x轴的交点分别为M,N,圆O与y轴的交点分别为S,T. (1)若△MTP为等腰三角形,求点P的坐标; (2)若直线PT交圆O于另一点A,直线PS交圆O于另一点B. ①求证:直线AB过定点,并求出定点的坐标; ②求四边形ASBT的面积的最大值. 2.5.1　直线与圆的位置关系 第一课时　直线与圆的位置关系 一、基础巩固 1. (2025秋·抚顺期末) 过圆C：上一点作圆C的切线，则的方程为(　　) A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　∵圆的圆心为，则直线的斜率，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率，所以直线的方程为，即．故选：C． 2.若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(1,2] C.(0,2) D.(1,2) 答案　C 解析　由题意得,圆心到直线的距离为d=>, ∴m<2,∵m>0,∴0<m<2. 3. (2025秋·葫芦岛月考) 若直线与圆：相交于，两点，则 (　　) A.  B.  C.  D.  答案　A 解析　将圆：化为标准方程得：， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以. 故选：A. 4.(多选)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.-2 D. 答案　AB 解析　由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2. 又直线被圆截得的弦长为2, 所以圆心到直线的距离d==. 又d=,所以|a-2|=2, 解得a=4或a=0. 5.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=3 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案　B 解析　(1)法一　设圆心坐标为(a,-a), 由圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切可得=,解得a=1, 所以半径r=, 故该圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 法二　圆心在x+y=0上,可排除选项C,D,再结合图象,或者根据圆心到两直线的距离等于半径排除选项A,选B. 6.已知圆O:x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为(　　) A.y-2=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.x-1=0 答案　B 解析　当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直. 已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k==2, 故所求直线的斜率为-, 所以所求直线方程为y-2=-(x-1), 即x+2y-5=0. 7.(多选) 已知直线l：，圆C： (　　) A. 若直线l过圆C圆心，则 B. 直线l过定点 C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切 D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则 答案　BD 解析　由题知，圆C圆心为，半径为， 对于A选项，若直线l过圆C圆心，则，解得，故错误； 对于B选项，无论t取何值，始终满足方程，故直线l过定点，正确； 对于C选项，因为，即在圆C内，故直线l与圆C相交，故不存在实数t，使得直线l与圆C相切，错误； 对于D选项，当直线l与过点和的直线垂直时，取得最小值，此时，故，正确； 故答案为：BD. 8.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则l与C的位置关系是　　　　.  答案　相交 解析　将点P(3,0)代入圆的方程,得32+02-4×3=9-12=-3<0, ∴点P(3,0)在圆内, ∴过点P的直线l必与圆C相交. 9.若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆C:x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.  答案　 解析　设直线AB的方程为y=x+b, 圆C:x2+(y-1)2=1的圆心为C,半径为r, 则C(0,1),r=1. 由直线AB与圆相切,可知圆心C(0,1)到直线AB的距离d=r, 即=1,所以|b-1|=2. 连接BC,在Rt△ABC中,|AC|=|b-1|=2,|BC|=1, 所以|AB|===. 10.经过点P(4,5),且与圆(x-2)2+y2=4相切的直线的方程为　　　　.  答案　21x-20y+16=0或x=4 解析　因为(4-2)2+52=29>4, 所以点P在圆(x-2)2+y2=4外. 若直线的斜率存在,依题意,设直线的方程为 y-5=k(x-4), 即kx-y+5-4k=0. 又圆心为(2,0),半径r=2,且圆心到切线的距离等于半径,所以=2, 解得k=, 所以直线的方程为21x-20y+16=0. 若直线的斜率不存在,则直线的方程为x=4,显然满足题意. 综上可知,满足题意的直线的方程为21x-20y+16=0或x=4. 11.已知曲线C:x2+y2+2x+4y+m=0. (1)当m为何值时,曲线C表示圆? (2)若直线l:y=x-m与圆C相切,求m的值. 解　(1)由C:x2+y2+2x+4y+m=0, 得(x+1)2+(y+2)2=5-m, 由5-m>0时,得m<5, ∴当m<5时,曲线C表示圆. (2)由(1)知圆C的圆心坐标为(-1,-2),半径为. ∵直线l:y=x-m与圆C相切, ∴=, 解得m=±3,满足m<5. ∴m=±3. 二、综合运用 12.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足(　　) A.|b|= 　　　B.-1<b≤1或b=- C.-1≤b<1 　　　D.非以上答案 答案　B 解析　曲线x=含有限制条件,即x≥0,故曲线并非表示整个单位圆,仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分. 在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示. 相切时,b=-,其他位置符合条件时需-1<b≤1.故选B. 13.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点,则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　.  答案　∪ 解析　圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1, 因为直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点, 所以=>1, 化简得k2<1,解得-1<k<1, 所以-1<tan α<1. 因为α∈[0,π), 所以0≤α<或<α<π, 所以直线倾斜角α的取值范围为∪. 14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程. (1)证明　l的方程可化为 (x+y-4)+m(2x+y-7)=0(m∈R), 由解得 即l恒过定点A(3,1). 因为圆心为C(1,2),|AC|=<5(半径), 所以点A在圆C内, 从而直线l与圆C恒交于两点. (2)解　由题意可知弦长最小时,l⊥AC. 因为kAC=-,所以l的斜率为2. 又l过点A(3,1), 所以l的方程为2x-y-5=0. 三、拓展提高 15.已知圆x2+y2=4内一定点P(1,0),过P作直线l交圆于A,B两点,若l的倾斜角为45°,则|AB|的值为　　　　;若=2,则直线l的斜率为　　　　.  答案　　± 解析　由题可得直线l的方程为y=x-1, 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2, 则圆心到直线的距离d==, 则|AB|=2=, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵=2, ∴(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2), ∴x1+2x2=3,y1=-2y2, 设直线l的方程为x=my+1,代入x2+y2=4, 整理得(m2+1)y2+2my-3=0, y1+y2=-,y1y2=-, ∴-y2=-,-2=-, 则可解得m=±, 则可得直线的斜率为±. 16.如图,在平面直角坐标系中,P为直线y=4上一动点,圆O:x2+y2=4与x轴的交点分别为M,N,圆O与y轴的交点分别为S,T. (1)若△MTP为等腰三角形,求点P的坐标; (2)若直线PT交圆O于另一点A,直线PS交圆O于另一点B. ①求证:直线AB过定点,并求出定点的坐标; ②求四边形ASBT的面积的最大值. 解　(1)设P(t,4),由题意得M(-2,0),T(0,2),|MT|=2, 当|PT|=|MT|,即=2时, 解得t=±2,当t=2时,P,M,T三点共线,舍去,所以P(-2,4); 当|PM|=|PT|,即=时, 解得t=-4,所以P(-4,4). 综上,P点坐标为(-2,4)或(-4,4). (2)①证明　设P(t,4),T(0,2),S(0,-2), 当t≠0时,kPT=,kPS=,kPS=3kPT, ∵kAS·kAT=-1,∴kBS·kAS=-3, 直线AB的斜率显然存在, 设其方程为y=kx+b,联立x2+y2=4, 消去y可得(1+k2)x2+2kbx+b2-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=, 故y1+y2=,y1y2=, kAS·kBS==-3, ∴=-3, 解得b=1,则直线AB:y=kx+1, ∴直线AB恒过定点(0,1), 当t=0时,直线AB:x=0也过定点(0,1), 综上,直线AB恒过定点(0,1). ②由①得x1+x2=,x1x2=, 则S四边形ASBT=×4×|x1-x2| =2 =2=4, 令m=1+k2,则m≥1, 则==-+4≤3, 当m=1,即k=0时,取得最大值, ∴当直线AB的方程为y=1时,四边形ASBT的面积有最大值,为4. 学科网（北京）股份有限公司 $