专题03 利用基本不等式求最值（含柯西不等式与权方和不等式)12种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦利用基本不等式求最值专题，涵盖直接法、配凑法等12类核心题型，整合柯西不等式与权方和不等式拓展内容，通过题型脑图与考法构建形成系统知识框架。 清单以“考法深研+解题技能通关”为特色，每个题型配方法要点与典型例题，如配凑法强调等价变形技巧，常数代换法构建和积定值模型，培养学生数学思维与问题求解能力。设“一正二定三相等”条件警示等细节提示，辅助教师精准教学，助力学生高效自主复习。

专题03 利用基本不等式求最值（含柯西不等式与权方和不等式) 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 直接法 ①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等". ③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． ④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 1．（2026·天津河西·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026高三·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2026·山东青岛·模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南湘潭·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 9．（2026·河北邯郸·模拟预测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 题型02 配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. ①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件. ②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： 1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； 2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； 3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． ③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 10．（2026·北京海淀·模拟预测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 11．（2026高三·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 13．（2026高三·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 14．（2026高三·四川成都·阶段检测）设，则 （    ） A． B． C． D． 题型03 常数代换法 ①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1 已知正数满足，求的最小值。 模型2 已知正数满足求的最小值。 ②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2)把确定的定值(常数)变形为1； 3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； 4)利用基本不等式求解最值． ③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系. 15．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 16．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 18．（2026高三·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 19．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 20．（2026·浙江·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 21．（2026高三·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 22．（2026高三·陕西榆林·阶段检测）已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 23．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 24．（2026·广东清远·模拟预测）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 题型04 消元法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围 25．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·福建泉州·模拟预测）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 28．（2026·广东江门·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 29．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 30．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 31．（2026高三·山东济南·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·海南三亚·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 33．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是_________． 题型05 不等式法 当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. 设正实数，条件式含，先用放缩条件等式，令，整理得，解不等式取正根上限，则，再联立验证存在正数解。 34．（2026高三·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 35．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 36．（2026·河北张家口·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 37．（2026高三·贵州六盘水·阶段检测）若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06 换元法 双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 38．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 39．（2026高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，则xy的最大值是______． 40．（2026高三·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为______. 41．（2026高三·江苏·暑假作业）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 42．（2026·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．（2026高三·黑龙江大庆·期中）设为正实数，且，则的最小值为________. 44．（2026·江苏南京·模拟预测）若实数满足，则的最大值为________. 45．（2026高三·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为_________. 题型07 齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 46．（2026高三·河南郑州·期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（2026高三·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 48．（2026·四川成都·模拟预测）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 49．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 题型08 重组转化 当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系. 50．（2026·山东·模拟预测）已知，且，则的最小值为__________． 题型09 利用两次基本不等式求最值 在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可. 51．（2026高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 52．（2026高三·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 53．（2026·天津·模拟预测）已知，则的最小值为______________. 题型10 基本不等式与对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； ①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： ②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 54．（2026高三·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 55．（2026高三·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 56．（2026高三·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 57．（2026高三·陕西西安·阶段检测）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 题型11 柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3、扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 58．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 59．（2026高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 60．（2026高三·全国·专题练习）若，则的最大值为______． 61．【多选】（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 62．（2026高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为________． 63．（2026高三·安徽黄山·期末）已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 题型12 权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 64．（2026高三·全国·专题练习）的最小值为________. 65．（2026高三·江苏南通·阶段检测）已知正实数、且满足，求的最小值___________. 66．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为______________ 67．（2026高三·全国·专题练习）求的最大值为______________ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用基本不等式求最值（含柯西不等式与权方和不等式) 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 直接法 ①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等". ③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． ④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 1．（2026·天津河西·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．（2026高三·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 5．（2026高三·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 6．（2026·山东青岛·模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出，再结合已知条件，利用基本不等式求的最大值． 【详解】由题意得，解得， 由等差中项的性质可得，解得， ， 由题意知， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 的最大值为． 7．（2026·湖南湘潭·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 8．（2026高三·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 9．（2026·河北邯郸·模拟预测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 题型02 配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. ①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件. ②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： 1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； 2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； 3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． ③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 10．（2026·北京海淀·模拟预测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 11．（2026高三·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 12．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 13．（2026高三·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 14．（2026高三·四川成都·阶段检测）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 题型03 常数代换法 ①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1 已知正数满足，求的最小值。 模型2 已知正数满足求的最小值。 ②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2)把确定的定值(常数)变形为1； 3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； 4)利用基本不等式求解最值． ③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系. 15．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 16．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 17．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 18．（2026高三·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 19．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 20．（2026·浙江·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 21．（2026高三·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 22．（2026高三·陕西榆林·阶段检测）已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】C 【分析】先根据平面向量共线的坐标表示得到，再根据基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由，得，即， 又均为正数， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 23．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 24．（2026·广东清远·模拟预测）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型04 消元法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围 25．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 26．（2026·福建泉州·模拟预测）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 27．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 28．（2026·广东江门·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 29．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 30．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 31．（2026高三·山东济南·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 32．（2026·海南三亚·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 33．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是_________． 【答案】/ 【分析】根据题设条件，求出，代入所求式，将其整理，运用基本不等式即可求得. 【详解】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 题型05 不等式法 当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. 设正实数，条件式含，先用放缩条件等式，令，整理得，解不等式取正根上限，则，再联立验证存在正数解。 34．（2026高三·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 35．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 36．（2026·河北张家口·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 37．（2026高三·贵州六盘水·阶段检测）若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 题型06 换元法 双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 38．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 39．（2026高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，则xy的最大值是______． 【答案】 【分析】解法1：由题意可得，令，，得，，代入，进而利用基本不等式可求解.解法2：，令，可得，令，可得，结合基本不等式可求解. 【详解】解法1：， 令，，得，， 则， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是； 解法2：， 令，则 令，则， ， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是. 40．（2026高三·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 41．（2026高三·江苏·暑假作业）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 42．（2026·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 43．（2026高三·黑龙江大庆·期中）设为正实数，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】令，将所求代数式转化为关于的代数式，再结合基本不等式及1的代换求解即可. 【详解】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 44．（2026·江苏南京·模拟预测）若实数满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题. 45．（2026高三·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】设出，，则，故，由基本不等式求出，得到. 【详解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 题型07 齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 46．（2026高三·河南郑州·期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，． 又， 而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 47．（2026高三·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值. 【详解】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 48．（2026·四川成都·模拟预测）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 49．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是. 故选：D. 题型08 重组转化 当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系. 50．（2026·山东·模拟预测）已知，且，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题可知， 故， 则，当且仅当，时等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 题型09 利用两次基本不等式求最值 在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可. 51．（2026高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到当且仅当时取等号，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可说明当且仅当时取等号，从而得到且时成立，即可得解得的值，从而得所求. 【详解】因为，所以， 由于，当且仅当时取等， 令，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时，等号成立， 即，又因为， 所以，且，解得， 所以. 故选：C. 52．（2026高三·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 53．（2026·天津·模拟预测）已知，则的最小值为______________. 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 题型10 基本不等式与对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； ①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： ②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 54．（2026高三·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 55．（2026高三·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值. 【详解】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 故选：D 56．（2026高三·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 57．（2026高三·陕西西安·阶段检测）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 【答案】B 【分析】由题可得，因此为常数列，可求得为等差数列，进而求得，随后将化简为，借助对勾函数的性质研究其单调性，并求得最小值即可. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故， 则. 设，，解得，由对勾函数的单调性， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故可能在或处取得最小值. 而，， 得的最小值为，则的最小值为. 故选：B. 题型11 柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3、扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 58．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 59．（2026高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 60．（2026高三·全国·专题练习）若，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】由柯西不等式即可得到答案. 【详解】， 当且仅当，即时取“=”. 所以的最大值为6. 故答案为:6 61．【多选】（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 62．（2026高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】/0.5 【分析】由柯西不等式的二元形式即可求得最小值. 【详解】由柯西不等式 而，所以时等号成立， 故答案为：. 63．（2026高三·安徽黄山·期末）已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用柯西不等式即可求解. 【详解】由柯西不等式可得： ， 即 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 题型12 权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 64．（2026高三·全国·专题练习）的最小值为________. 【答案】/ 【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 65．（2026高三·江苏南通·阶段检测）已知正实数、且满足，求的最小值___________. 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 66．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为______________ 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 67．（2026高三·全国·专题练习）求的最大值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $