专题02 集合与其他知识的交汇9种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦集合与其他知识的交汇专题，系统整合复数、函数、三角函数、向量、数列、立体几何、解析几何、概率统计及新定义九大题型，构建跨模块知识网络。 清单按题型分类深研考法，如三角函数题型突出周期分析与图象应用，复数题型结合复平面轨迹转化，培养数学思维与模型观念。设考法通关技能点拨和真题实例，如集合与概率交汇题标注条件概率公式应用，助力学生自主复习，教师可精准指导备考。

专题02 集合与其他知识的交汇 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 与复数的交汇 此类题型核心是复数运算+集合综合应用。首先熟练运用复数加减乘除、乘方运算、共轭复数、复数模的公式化简复数，确定集合中的元素；若题目结合复平面，可将复数对应平面直角坐标系内的点，把集合翻译为点的轨迹（直线、圆、区域等）。再结合集合交、并、补、子集、元素个数等基本运算解题；涉及两集合仅有一个元素时，等价于平面内轨迹图形相切，利用距离公式列方程求解参数；搭配概率题型时，先列出所有基本事件，结合虚数、纯虚数的判定条件筛选事件，套用概率公式计算，全程遵守集合元素互异性。 1．（2026·甘肃·二模）集合（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合中的两个复数得到确定元素，再根据交集定义取出中的实数即可得到结果. 【详解】因为，； 因此集合，根据交集定义可得 . 2．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知集合，，则集合中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用复数的乘方、除法运算化简复数，再由集合的并运算求集合，即可得. 【详解】由，， 所以，共有3个元素. 故选：C 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】D 【分析】将复数模的条件转化为复平面上的圆，根据两圆相切的充要条件求出的所有正取值，再计算乘积即可. 【详解】由，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 则集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由，若，，不合题意； 若，则，即， 此时，即，不合题意； 故，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 即集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由集合中有且仅有一个元素，则两圆相切， 若两圆相内切，则有，解得（负值舍去）； 若两圆相外切，则有，解得； 故的所有取值之积为. 4．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线, 表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围. 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 5．（2026·重庆永川·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 【答案】 【详解】复数为虚数，虚部； 为纯虚数，实部且虚部. 已知有3种取法，有2种取法，要求为虚数，即， 可任选集合中的数，共种等可能情况； 其中满足为纯虚数的情况只有：，共种情况. 因此由条件概率公式可得. 题型02 与函数的交汇 本类题型以函数性质、函数新定义为载体，集合大多表示方程的解、函数定义域/值域、函数图象上的点。解题第一步：根据函数解析式、分段规则、高斯函数等新定义化简集合，将集合问题转化为方程根的个数、函数图象交点、区间范围问题。第二步：借助函数单调性、奇偶性、零点、最值、值域等性质分析，优先使用数形结合，画出函数图象直观判断交点数量、元素范围；遇到含参数问题，结合图象临界位置列出不等式求解参数范围。同时区分有限集与无限集，有限集注意元素互异性，无限集重点分析区间边界。 6．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 7．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 8．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设函数，集合，．记为集合中的元素个数，则（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】AB 【分析】解出集合、，可判断A选项；利用集合包含关系的定义可判断B选项；取，可判断C选项；解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， ，故，A对； 对于B选项，对任意的，则，故， 故，因此，，，B对； 对于C选项，当时，，即，C错； 对于D选项，由 可得， 即， 解得，，接下来讨论， 若为方程的一根，则，解得， 此时方程即为，解得，此时； 若为方程的一根， 则，解得， 此时方程为，解得， 此时，即， 对于方程，若， 即（不合乎题意）或（不合乎题意）， 故不存在，，D错误. 故选：AB. 9．（2026·北京·模拟预测）设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，把定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值，再根据临界验证求实数最小值． 【详解】对，，记， 由则，故， 则定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值， 已知就能满足全部值域， 对任意，需满足 已知，解得， 该条件对所有成立，则必有， 当，任意，，落在内，满足条件； 若，可取，此时，与超出，不满足值域； 故实数最小值为． 10．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 11．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，集合对于任意的，在使得的所有中，下列说法成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取到最大值 C．存在在上单调递增 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若是偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若的函数图象如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C，若存在在上单调递增，则对任意，当时都有，则此时，与矛盾，故C错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在的某个左邻域内，有，与集合定义矛盾，故D选项错误． 题型03 与三角函数的交汇 解题围绕三角公式、三角函数图象与性质+集合运算展开。先利用特殊角三角函数值、同角三角函数关系、三角恒等变换公式化简三角式，再结合三角函数的周期性、单调性、值域、图象求解三角方程或三角不等式，以此化简集合。后续开展集合交、并、补运算，计算元素个数、子集个数；若判断角所在象限，结合象限角定义筛选元素；若方程解的个数与参数相关，利用三角函数周期划分区间，结合图象确定解的分布，列出不等关系求参数。周期是高频考点，需先找出函数最小正周期，再分析一个周期内的元素，结合区间长度统计整体元素数量。 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】集合，是第一象限角， ，该角为第一象限角，为第一象限角，为第二象限角， 则，即元素的个数为3. 14．（24-25高三上·贵州·阶段检测）已知集合，，则集合中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据正弦函数和余弦函数的定义可知，然后利用交集运算即可求解. 【详解】因为，集合，， 所以，有2个元素. 故选：B 15．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知集合，则集合中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出集合 中各元素的值，再求出集合 的补集 ，最后利用交集运算求出 即可. 【详解】根据特殊三角函数值可知 ， 因为 ，所以 ，且 ； 因为 ，所以 ，且 ； 所以集合 . 又因为集合 ，则 或； 所以 ，元素个数是 3 个. 故选：C. 16．（2026·云南昭通·模拟预测）设集合，，则________. 【答案】 【分析】根据三角函数值的定义解不等式化简集合A，B，进而可得交集. 【详解】由已知可得，， 所以. 17．（2025·山东·三模）设全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二倍角正弦公式，根据集合的补集、交集和并集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 所以， 由可得，或， 故集合. 故选：B 18．（25-26高三下·安徽·阶段检测）若集合，则的子集个数为___________． 【答案】 【分析】利用正弦（型）函数的性质解不等式，结合集合交集运算以及集合子集个数的计算即可. 【详解】由，则， 即：， 因为， 当时，， 当时，得， 当时，得， 当时，， 所以，所以的子集个数为个. 19．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 所以 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求M与N集合，再根据集合运算法则及正弦函数的值域即可求解. 【详解】集合，，所以，. 21．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得中有且仅有一个元素，即可得的子集个数. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 22．（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为， 所以，进而的子集个数为. 23．（2026·上海·模拟预测）已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（     ） A．644个 B．645个 C．646个 D．647个 【答案】D 【分析】先求解，得到其在一个周期内的解的情况，再结合给定区间内求解即可. 【详解】由题意可得，可得，即， 令，则，因为，解得， 即，方程在每个周期内有2个解， 因为区间长度为，且， 所以该区间包含个完整周期， 通过调整的取值，区间内的解的个数可能为个，个，， 所以中元素个数不可能是647. 24．（2026·安徽·三模）已知集合是第一象限角，，则（  ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【分析】由题设，结合已知判断A、B，应用辅助角公式得、，结合前提描述及正弦函数的性质判断C、D. 【详解】由是第一象限角，， 所以间没有包含关系，且，A错，B对， 由，且，则，， 所以，则恒成立，C对， 由且， 所以，则，D错. 25．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知集合，非空集合. (1)若是单元素集合且实数，求的值并用区间表示； (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论即可求出；求出，再结合正弦函数图象即可求出集合； （2）先利用降幂公式化简，最后将问题转化为函数图象交点问题即可. 【详解】（1）因是单元素集合且实数，则，得； 或，此方程组无解， 综上，； ，则， 故得，得，则. （2） 因，则， 因函数在上有两个零点，则在上有两个根， 则函数与的图象在上有两个交点， 因，则，得， 故的取值范围为. 26．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数. (1)求的单调递增区间及最小正周期； (2)设，若集合恰有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式化简函数，利用正弦函数的单调性求解单调区间，代入最小正周期公式求解周期即可； （2）由得，，根据集合恰有一个元素列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意 ， 令，，解得， 所以的单调递增区间为， 的单调递增区间及最小正周期为； （2）由（1）可得， 所以，，解得，， 因为，且恰有一个元素， 当时，，当时，， 所以在内，的解为， 所以，即的取值范围为. 27．（25-26高三上·上海青浦·期末）对于实数，定义集合，集合的元素个数为，给出下列说法： ①存在，使得； ②存在，使得； ③存在，使得； ④存在，使得. 其中正确的说法有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系及半角公式，可得或，对m赋值分析，逐一检验，即可得答案. 【详解】因为，，所以， 所以或； 当时， ，此时， 所以存在，使得，故②正确； 当时， 或，此时， 所以存在，使得，故③正确； 当且时，不妨取， 此时或， 则或， 所以或，此时，即存在，使得，故④正确， 综上，无论m在上取任何实数，都不可能只有一个解，故①错误. 故选：C 题型04 与向量的交汇 将向量集合转化为向量坐标、模、线性运算、数量积问题求解。平面向量、空间向量均可先建立坐标系，用坐标表示向量，结合向量加减、数乘等线性运算化简集合条件；涉及向量共线、垂直、数量积时，套用对应判定公式与运算公式建立方程或不等式。若集合由多个向量组合而成，分析向量取值、组合形式，结合集合交集、子集定义确定等量关系；空间向量题型常结合立体几何中点、线、面的位置关系，分析向量轨迹与范围；求最值问题时，利用数量积几何意义、向量模公式求解，同时结合集合元素互异性排除重复取值。 28．（2024高三上·江苏·专题练习）已知是两个向量集合，则__． 【答案】 【分析】先计算出，根据列方程组，求得，进而求得. 【详解】， 由，得， 此时， 所以 故答案为： 29．（2024·广东广州·模拟预测）已知向量集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用交集概念，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】设，， 令，解得. 故 故选：C. 30．（2024·湖南·三模）对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______. 【答案】5或 【分析】取,则存在使得，由此可以推出，继续取，则存在使得，由此可得，则，或，则，分类讨论即可求解. 【详解】取，则存在使得，从而可得，即， 所以一定是一正一负（因为0不属于集合），不妨令，则， 所以，所以， 取，则存在使得，从而可得， 若，则矛盾，故不可能同时大于0， 若，则矛盾，故不可能同时小于0， 所以必定有一正一负， 所以有：，则，或，则， 情况一：当，时，， 从而，或（舍去，集合元素间互异），或，即（舍去，与矛盾）， 此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果）， 情况一：当，，， 从而，即（舍去，集合元素间互异），或（舍去，集合元素间互异），或，即， 此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果）， 综上所述，或. 故答案为：5或. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，且，其中满足：，，或，，由此即可顺利得解. 31．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）设集合M为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当b最小时，的取值为________， 【答案】/ 【分析】先分析出，或或或或，当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且，当对称轴为时最小，从而得到不等式，求出的最小值及此时的取值计算求解. 【详解】若空间向量，，均为非零向量，则空间向量，，共线或两两互相垂直， 此时三组向量中两两共线的有0组或3组； 若其中一个为零向量，当另外两个向量共线且不为零向量时， 此时三组向量中两两共线的有3组， 若另外两个向量一定不共线， 则， 此时零向量和另外两个向量组成两组共线向量，此时两两共线的有2组， 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 则，由得是的子集， 令，其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 由二次函数的连续性和对称性，或或或或， 当或或或时， 所得的取值范围必包含； 当时二次函数的图象可以最靠下，即b最小，且， 由对称性可知，当对称轴为时最小， 此时且，则， 综上，，最小时，的取值为，所以. 故答案为： 32．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】依据正六边形的对称性和数量积的几何意义，计算可得结果. 【详解】如下图， 由正六边形对称性以及数量积的几何意义可知： 中任意两个元素的数量积最大值为. 故选：D． 33．（25-26高三上·上海宝山·期中）设、、是平面上互不平行的单位向量，记集合.若存在不同的，，使得，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】由集合相等可得，取，利用向量的加法、向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由，，， 而、、是平面上互不平行的单位向量，则， 故不妨取， 此时， 故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 题型05 与数列的交汇 综合考查等差、等比数列、数列周期性、数列求和与集合知识。先根据数列通项公式、递推公式求出数列各项，结合集合元素互异性确定集合的全部元素；若数列具有周期性，先找出周期，分析一个周期内的元素，再结合项数确定整体集合构成。常考考点：根据子集个数公式计算子集数量、统计集合元素和、根据元素限制求参数；复杂求和问题使用分组求和、错位相减法、裂项相消法等数列常规求和方法。部分题目结合数论、取整规则，需先对数列项分类，再结合集合规则筛选元素。 34．（2026·江苏·模拟预测）若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____． 【答案】2036 【详解】时，，（舍）或1 时，， 整理得，即， 因是正项数列，故，所以， 是以1为首项1为公差的等差数列， ，最小元素为1的非空子集有个，最小元素为2的非空子集有个，，最小元素为10的非空子集有1个，设所求和为， 则． 35．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（   ） A．13 B．17 C．18 D．20 【答案】B 【分析】求出，结合二次函数对称性求解. 【详解】设等比数列{an}的公比为且， ，所以， 所以， 因为关于直线对称，所以， 所以集合 中的元素个数为个 36．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______. 【答案】/ 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】， 则， 其周期为，而，即最多3个不同取值， 集合有且仅有两个元素，设， 则在中，或，或， 又，即 一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为， 于是有，即有，解得， 不相等的两项为， 故，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，从而求得. 37．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 【答案】 【分析】先根据等差数列的公式得到的通项，再结合正弦型函数的周期，及集合元素的互异性得到集合，进而得到集合的子集个数． 【详解】由题意得， 则，所以其周期， 又， ， ， ， ， ，…… 结合集合元素的互异性，得， 即集合有个元素，故集合的子集个数为． 38．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【分析】设集合，对于任意，，，计算出此时的最大值即可得到k的最小值． 【详解】解：根据题意，， 设集合，对于任意，，， 现计算此时的最大值， 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以，则应该是满足的最小整数，故， ， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即， 又且， 的最大值为，例如， 则k的最小值是． 39．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 【答案】 【分析】由欧拉函数的定义可求出，进而得到，可得，再根据错位相减法求和即可. 【详解】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， 则，即， 所以集合 当时，集合为，则； 当时，集合为，则； 当时，，则， 综上所述，，则， 设数列前项和为， 当时，； 当时，， 则， 两式相减得，， 则, 显然满足上式，则. 40．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 【答案】 【详解】由题意知，，， 所以， 所以. 41．（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 【答案】或 【分析】已知四个递增数两两之和构成集合,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别联立前三个和的方程,通过整体代入求出的两个可能取值. 【详解】由题意知. 满足,因为. 则必有. 若,联立，两式相加得， 代入得，解得. 若,联立，两式相加得， 代入得,解得. 42．（2026·江西南昌·三模）已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________. 【答案】120 【分析】根据题意表示出集合的元素，通过整除性求出重复值和总和，进而可得答案. 【详解】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有种不同的值， 但是，，，，，，只有7个数， 可知必有两种7个数的和相等，设这个和为， 令，那么，任取7个数的和就等于，，，，，这8个取值和的集合为， 且 则. 因为为整数，所以是7的倍数，由可知，是7的倍数， 再因为，所以.可知. 因此，，，，中最大数为：，最小数为：， 因此，他们的积为. 43．（2026·山东·模拟预测）已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____. 【答案】2026 【分析】利用构造等差数列思想，解决任意性问题，从而可求得通项并求和. 【详解】将集合的元素从小到大排列为：， 因为对任意的 ，由最大元素为， 假设最小元素不为，即， 则对任意的 ，则， 此时不可能属于，所以最小元素为，即， 设A中最小正元素为d，由题意，任意两个元素差的绝对值仍属于A， 因此A中所有元素都是d的倍数，且所有元素可表为：，其中最大元素， ， 此时对任意两个元素的差的绝对值， 因为，所以必存在,满足，即，符合题意. 此时所有元素的和为：. 44．（2026·天津滨海新区·三模）已知是等差数列，是等比数列，设数列的前项和为． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求集合中所有元素之和． 【答案】(1) (2) (3)集合中所有元素之和为：. 【分析】（1）通过等比数列、等差数列的通项公式列方程组，求解首项、公差和公比即可求解 （2）是典型的等差等比型数列，采用错位相减法求和. （3）先判断严格单调递增，明确S中元素构成(含0和非0差值)；再通过错位相减法多次处理求和式，按和分类计算集合S中的所有元素和. 【详解】（1）因为是等差数列，所以，即； 因为是等比数列，所以，代入得，即. （2）由题，则，得：，即. （3）因为，所以严格单调递增，当或时，，元素仅一个；当且时，，且这些差值互不相等，此时共有个元素. 计算所有非零元素的和，不妨设，，则. 由(2)可得，，设， 则， 由得：，代入得， 则， 其中，， ， ， 由得， 令，则 ， 代回式得 则. 综上所述，集合中所有元素之和为：. 45．（2026·福建福州·三模）以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作． (1)求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标； (2)用集合表示在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为，求使得成立的的最小值． 【答案】(1)，，，； (2)集合为，的最小值为11 【分析】（1）找规律，得到第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的点的坐标； （2）在（1）基础上，得到点的坐标，并由等差数列求和公式得到，解不等式，得到答案. 【详解】（1）第一次操作，原来坐标2，即0，4的中点变为4，只有1个； 第二次操作，原来坐标1，3，即0，2的中点以及2，4的中点变为4，有2个； 第三次操作，原来坐标0，1的中点，1，2的中点，2，3的中点以及3，4的中点变为4，共4个； （2）根据前三次推导，可得第次操作后，1，2和2，3和3，4，……，的中点变为4， 故点的集合为； 则， 故，解得，又为正整数，故的最小值为11． 46．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 【答案】ACD 【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可. 【详解】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C正确； 选项D，当时， ，D正确. 题型06 与立体几何的交汇 集合元素对应空间几何体的棱长、空间点、空间向量、线段长度等几何量。第一步结合棱柱、棱锥、球等几何体的结构特征、棱长关系、表面积与体积公式，分析几何量的所有可能取值，确定集合元素；若集合表示空间内的点集，结合空间中点的轨迹、截面图形、距离公式确定区域范围；涉及空间向量时，利用向量数量积、模长公式计算最值、范围。将集合运算转化为几何区域重叠、线段相交、长度取值等几何问题，借助立体图形数形结合分析，计算区域面积、几何体体积、数量积最值等结果。 47．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据四棱锥的几何性质，结合已知条件，分情况讨论得出四棱锥体积的所有可能值． 【详解】设四棱锥为，底面，已知底面为菱形，设底面棱长为， 则，设， 则， ， 当时，，若， 则，此时，故， ， ，故可能为A； 当时，， 若，则，解得， 则， ， ，故可能为C； 当时，， 若，则，解得， 则， ， ，故可能为B； 当时，，无论或2，均不在集合中，不满足题意． 48．（24-25高三下·上海虹口·阶段检测）已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式及运算律计算求解. 【详解】因为正六棱柱的底面为边长为2，高为3，平面，所以， 则. 故选：A. 49．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设顶点P在底面上的投影为O，连接，求得的长，结合，求出，从而确定Q的轨迹，即可求解表示的区域的面积. 【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接，则O为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故Q在以O为圆心，2为半径的圆及其内部， 而三角形内切圆的圆心为O，半径为，而， 故表示的区域为以O为圆心，2为半径的圆在内（包含边界）的部分， 设该圆与交于两点，则, 即为正三角形，则弧所在的弓形的面积为， 故表示的区域的面积为， 故选：B 50．（2025·上海闵行·二模）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 51．（2025·山东聊城·模拟预测）在棱长为8的正方体中，，设集合是底面ABCD内（含边界）所有的点构成的集合，集合，则集合所表示的区域面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．28 【答案】A 【分析】设点在底面内的射影为，连接，得到，画出正方体底面的平面图，连接DE，取DE的中点，作，交DC于点，交DA于点，证得点在DA的延长线上，设GK与AB交于点，求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】设点在底面内的射影为，连接， 则， 当时，可得， 画出正方体底面的平面图，如图所示， 连接DE，取DE的中点，过点作，交DC于点，交DA（或DA的延长线）于点， 可得 ， 所以，则， 因为，所以，所以点在DA的延长线上， 设GK与AB交于点，由相似的性质可得，所以， 若点在梯形内，则， 所以集合所表示的区域面积为. 故选：A.      题型07 与平面解析几何的交汇 此类题目中集合基本都表示平面点集，对应直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线。两个集合的交集等价于两条曲线的交点，交集元素个数就是曲线交点个数。解题核心：联立曲线方程，结合直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系判定方法，利用点到直线距离公式、一元二次方程判别式判断相切、相交、相离，进而确定交点数量。利用曲线对称性简化运算，根据交点个数列出不等式求解参数取值范围；同时掌握子集、补集与图形区域的对应关系，把集合包含关系转化为图形内含、区域包含关系，再结合解析几何公式计算。 52．（2026·河北邢台·一模）已知集合，．若集合仅有1个元素，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】集合A中的元素表示直线上的点， 集合B中的元素表示圆上的点， 中有且仅有一个元素，表示直线和圆相切， 故圆心到直线的距离等于圆的半径1， 即，解得. 53．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】集合都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个交点，有个子集． 【详解】集合A表示直线上的所有点的集合， 集合B表示圆上所有点的集合， 因为圆心到直线的距离为即为圆的半径，故直线与圆相切， 故中只有一个元素，故的子集个数为． 故选：C． 54．（25-26高二上·北京·期中）集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知曲线与圆有8个交点，结合对称性可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，联立方程结合二次函数的零点分别运算求解. 【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点， 对于曲线， 用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称； 用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称； 圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称， 可知曲线与圆在第一象限内有2个交点， 若，曲线即为， 联立方程，消去y可得， 构建，则的图象开口向上，对称轴为， 可知在内有两个零点，注意到， 则，解得， 可得，， 原题意等价于在内有两个零点， 且， 可知符合题意，所以a的取值范围是. 故选：A. 55．（2026·广东广州·一模）已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，，问题化为过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设. 【详解】令，，， 等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点， 对于A：如下图，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于B：如下图，且， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于C：如下图，，，则， 若与曲线相切且为切点，则，故，此时 令，则，即，故，即有与相切于， 如图示，此时不存在一点，使直线平行或重合，不满足， 对于D：如下图，，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 题型08 与概率统计的交汇 以集合元素选取、子集构造为背景，考查古典概型、条件概率、计数原理。首先利用集合性质确定全集、子集的构成，借助排列组合、分类加法/分步乘法计数原理统计基本事件总数；再根据题干限制条件（和为定值、构成数列、函数性质、余数特征等）筛选出符合要求的事件，统计目标事件个数。区分普通古典概型与条件概率，严格套用对应概率公式计算；遇到元素分组问题，可按照余数、正负、大小关系对集合元素分类，简化计数过程；子集计数问题牢记子集个数公式，分类讨论避免重复或漏算。 56．（2026·广西贵港·三模）从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出事件，分别计算出两事件的基本事件数，利用条件概率公式进行求解 【详解】设三数之和为3的倍数为事件，三个数可构成等差数列为事件， 中，除以3余数为0的有， 除以3余数为1的有，除以3余数为2的有， 要想三数之和为3的倍数，可以从中任选3个； 或中任选3个；或中任选3个； 或中选1个，中选1个，中选1个； 故， 若三个数构成等差数列，不妨设为，， 则，，所以三个数的和一定为3的倍数， 设公差为，则且为正整数，则， 又，故，所以且为正整数， 当时，为，共16种情况， 当时，为，共14种情况， 当时，为，共12种情况， 当时，为，共10种情况， 当时，为，共8种情况， 当时，为，共6种情况 当时，为，共4种情况， 当时，为，共2种情况， 所以， 故. 57．（2026·江苏·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为虚数为，事件为纯虚数为， 由题知，满足为虚数的的可能情况有共种，即， 满足为纯虚数的的可能情况有共种，故， 所以， 所以在为虚数的条件下为纯虚数的概率为. 58．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 59．（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件及所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解. 【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为. 中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数; 中任一元素满足事件，有以下三种情况， 且；所以所含基本事件个数为， 事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个， 所以. 60．（2025高三·全国·专题练习）集合A，B的并集，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数是（    ） A．8 B．9 C．80 D．27 【答案】C 【分析】应用分类讨论集合中元素个数，确定对应集合，结合题设确定对的个数即可. 【详解】当时，，则对有1个； 当中只有一个元素时，如时，、，则对有2个， 同理、、均有2个，共有8个； 当中只有两个元素时，如时，、、、，则对有4个， 同理、、、、均有4个，共有24个； 当中只有三个元素时，如时，、、、、、、、，则对有8个， 同理、、均有8个，共有32个； 当时，因为不等于，则共有15种情况，则对有15个； 所以对共有80个. 故选：C 61．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 【答案】C 【分析】由题意得除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可. 【详解】，且 能被3整除，    ∴除以3的余数相同， 集合的元素中， 能被3整除的整数有， 被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， ∴满足条件的集合共有个． 故选：C. 62．（2026·吉林·三模）已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求，，代入条件概率公式运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以. 63．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案. 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ， 的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 题型09 集合新定义 重点考查阅读理解能力、知识迁移能力，题目会给出全新的集合运算、子集、元素规则。解题第一步：逐字研读新定义、新运算、新概念，准确理解规则含义，将陌生定义转化为我们学过的常规集合运算、方程、不等式、计数问题。第二步：按照定义分步计算，涉及集合运算就依次求交、并、补；涉及计数问题，使用分类讨论、分步计数、隔板法、组合数公式统计元素个数、子集数量；涉及数域、邻点、累积值等特殊定义，紧扣定义条件逐一验证。分类讨论时做到分类标准统一，保证不重不漏，最后结合集合基本性质检验结果。 64．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 65．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 【答案】660 【分析】结合分步乘法计数原理分析可得在三元子集中，出现的次数为，进而求解即可. 【详解】对于集合中的元素，要使在三元子集中， 则可以从1到这个元素中任选1个， 可以从到10这个元素中任选1个， 根据分步乘法计数原理， 作为三元子集的中间数出现的次数为 则. 66．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 67．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 【答案】 【分析】分两类讨论：（i）整除的有个；（ii）整除：再分三种情况：①整除；②整除；③整除，共有个，再去掉两类重复的三个可得. 【详解】因为表示集合所含元素的个数，其中， （i）整除的有，，，，共个． （ii）整除的有：①整除的有个；②整除的有个；③整除的有个． 其中重复的有，，共个． 所以． 68．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 69．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 70．（25-26高三·全国·一轮复习）定义集合，例如：若，则，，.把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即.已知集合，则中的元素个数为______. 【答案】56 【分析】理解集合的新定义，将问题转化为求不定方程正整数解的个数，再应用组合数的定义通过隔板法计算求解即可. 【详解】定义集合， ， 因为集合， 所以中的元素满足，且， 利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中， 每个盒子中球的个数分别是， 因为，所以任意的最大值为， 该解集中的均满足， 因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题， 应用隔板法，即有种分法，即中有56个元素. 71．（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 6 8 【分析】第一空直接按定义分类讨论即可；第二空需分析出邻点需满足的约束条件，结合不等关系的要求得到邻点列可能的排列，最后构造出符合条件的邻点列. 【详解】（1）设与互为邻点的点为，则且， 若，则，解得，（舍去）或，点为； 若，则，解得或，或，点为； 若，则，解得（舍去）或，，点为， 综上，满足条件的点共有个； （2）根据，以及点集坐标范围可得，记， 则该邻点列各点的依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件， 因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以和 一样也是偶数，即为偶数，所以和的奇偶性相同， 即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知，其横纵坐标之和为奇数， 点集中满足为奇数的点共有个，依次为， 对应的值依次为（依次递减），满足要求的邻点列只能从这个点中选择 且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列 ，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合与其他知识的交汇 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 与复数的交汇 此类题型核心是复数运算+集合综合应用。首先熟练运用复数加减乘除、乘方运算、共轭复数、复数模的公式化简复数，确定集合中的元素；若题目结合复平面，可将复数对应平面直角坐标系内的点，把集合翻译为点的轨迹（直线、圆、区域等）。再结合集合交、并、补、子集、元素个数等基本运算解题；涉及两集合仅有一个元素时，等价于平面内轨迹图形相切，利用距离公式列方程求解参数；搭配概率题型时，先列出所有基本事件，结合虚数、纯虚数的判定条件筛选事件，套用概率公式计算，全程遵守集合元素互异性。 1．（2026·甘肃·二模）集合（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知集合，，则集合中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 4．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 5．（2026·重庆永川·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 题型02 与函数的交汇 本类题型以函数性质、函数新定义为载体，集合大多表示方程的解、函数定义域/值域、函数图象上的点。解题第一步：根据函数解析式、分段规则、高斯函数等新定义化简集合，将集合问题转化为方程根的个数、函数图象交点、区间范围问题。第二步：借助函数单调性、奇偶性、零点、最值、值域等性质分析，优先使用数形结合，画出函数图象直观判断交点数量、元素范围；遇到含参数问题，结合图象临界位置列出不等式求解参数范围。同时区分有限集与无限集，有限集注意元素互异性，无限集重点分析区间边界。 6．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 8．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设函数，集合，．记为集合中的元素个数，则（   ） A． B．， C．， D．， 9．（2026·北京·模拟预测）设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 11．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，集合对于任意的，在使得的所有中，下列说法成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取到最大值 C．存在在上单调递增 D．存在在处取到极小值 题型03 与三角函数的交汇 解题围绕三角公式、三角函数图象与性质+集合运算展开。先利用特殊角三角函数值、同角三角函数关系、三角恒等变换公式化简三角式，再结合三角函数的周期性、单调性、值域、图象求解三角方程或三角不等式，以此化简集合。后续开展集合交、并、补运算，计算元素个数、子集个数；若判断角所在象限，结合象限角定义筛选元素；若方程解的个数与参数相关，利用三角函数周期划分区间，结合图象确定解的分布，列出不等关系求参数。周期是高频考点，需先找出函数最小正周期，再分析一个周期内的元素，结合区间长度统计整体元素数量。 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25高三上·贵州·阶段检测）已知集合，，则集合中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知集合，则集合中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2026·云南昭通·模拟预测）设集合，，则________. 17．（2025·山东·三模）设全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三下·安徽·阶段检测）若集合，则的子集个数为___________． 19．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 22．（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．（2026·上海·模拟预测）已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（     ） A．644个 B．645个 C．646个 D．647个 24．（2026·安徽·三模）已知集合是第一象限角，，则（  ） A． B． C．， D．， 25．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知集合，非空集合. (1)若是单元素集合且实数，求的值并用区间表示； (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 26．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数. (1)求的单调递增区间及最小正周期； (2)设，若集合恰有一个元素，求的取值范围. 27．（25-26高三上·上海青浦·期末）对于实数，定义集合，集合的元素个数为，给出下列说法： ①存在，使得； ②存在，使得； ③存在，使得； ④存在，使得. 其中正确的说法有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 与向量的交汇 将向量集合转化为向量坐标、模、线性运算、数量积问题求解。平面向量、空间向量均可先建立坐标系，用坐标表示向量，结合向量加减、数乘等线性运算化简集合条件；涉及向量共线、垂直、数量积时，套用对应判定公式与运算公式建立方程或不等式。若集合由多个向量组合而成，分析向量取值、组合形式，结合集合交集、子集定义确定等量关系；空间向量题型常结合立体几何中点、线、面的位置关系，分析向量轨迹与范围；求最值问题时，利用数量积几何意义、向量模公式求解，同时结合集合元素互异性排除重复取值。 28．（2024高三上·江苏·专题练习）已知是两个向量集合，则__． 29．（2024·广东广州·模拟预测）已知向量集合，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024·湖南·三模）对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______. 31．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）设集合M为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当b最小时，的取值为________， 32．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 33．（25-26高三上·上海宝山·期中）设、、是平面上互不平行的单位向量，记集合.若存在不同的，，使得，则的最大值为__________. 题型05 与数列的交汇 综合考查等差、等比数列、数列周期性、数列求和与集合知识。先根据数列通项公式、递推公式求出数列各项，结合集合元素互异性确定集合的全部元素；若数列具有周期性，先找出周期，分析一个周期内的元素，再结合项数确定整体集合构成。常考考点：根据子集个数公式计算子集数量、统计集合元素和、根据元素限制求参数；复杂求和问题使用分组求和、错位相减法、裂项相消法等数列常规求和方法。部分题目结合数论、取整规则，需先对数列项分类，再结合集合规则筛选元素。 34．（2026·江苏·模拟预测）若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____． 35．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（   ） A．13 B．17 C．18 D．20 36．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______. 37．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 38．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 39．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 40．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 41．（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 42．（2026·江西南昌·三模）已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________. 43．（2026·山东·模拟预测）已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____. 44．（2026·天津滨海新区·三模）已知是等差数列，是等比数列，设数列的前项和为． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求集合中所有元素之和． 45．（2026·福建福州·三模）以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作． (1)求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标； (2)用集合表示在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为，求使得成立的的最小值． 46．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 题型06 与立体几何的交汇 集合元素对应空间几何体的棱长、空间点、空间向量、线段长度等几何量。第一步结合棱柱、棱锥、球等几何体的结构特征、棱长关系、表面积与体积公式，分析几何量的所有可能取值，确定集合元素；若集合表示空间内的点集，结合空间中点的轨迹、截面图形、距离公式确定区域范围；涉及空间向量时，利用向量数量积、模长公式计算最值、范围。将集合运算转化为几何区域重叠、线段相交、长度取值等几何问题，借助立体图形数形结合分析，计算区域面积、几何体体积、数量积最值等结果。 47．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高三下·上海虹口·阶段检测）已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 49．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 50．（2025·上海闵行·二模）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 51．（2025·山东聊城·模拟预测）在棱长为8的正方体中，，设集合是底面ABCD内（含边界）所有的点构成的集合，集合，则集合所表示的区域面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．28 题型07 与平面解析几何的交汇 此类题目中集合基本都表示平面点集，对应直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线。两个集合的交集等价于两条曲线的交点，交集元素个数就是曲线交点个数。解题核心：联立曲线方程，结合直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系判定方法，利用点到直线距离公式、一元二次方程判别式判断相切、相交、相离，进而确定交点数量。利用曲线对称性简化运算，根据交点个数列出不等式求解参数取值范围；同时掌握子集、补集与图形区域的对应关系，把集合包含关系转化为图形内含、区域包含关系，再结合解析几何公式计算。 52．（2026·河北邢台·一模）已知集合，．若集合仅有1个元素，则（   ） A．1 B． C． D． 53．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 54．（25-26高二上·北京·期中）集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（2026·广东广州·一模）已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（   ） A． B． C． D． 题型08 与概率统计的交汇 以集合元素选取、子集构造为背景，考查古典概型、条件概率、计数原理。首先利用集合性质确定全集、子集的构成，借助排列组合、分类加法/分步乘法计数原理统计基本事件总数；再根据题干限制条件（和为定值、构成数列、函数性质、余数特征等）筛选出符合要求的事件，统计目标事件个数。区分普通古典概型与条件概率，严格套用对应概率公式计算；遇到元素分组问题，可按照余数、正负、大小关系对集合元素分类，简化计数过程；子集计数问题牢记子集个数公式，分类讨论避免重复或漏算。 56．（2026·广西贵港·三模）从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 57．（2026·江苏·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 59．（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 60．（2025高三·全国·专题练习）集合A，B的并集，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数是（    ） A．8 B．9 C．80 D．27 61．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 62．（2026·吉林·三模）已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 63．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 题型09 集合新定义 重点考查阅读理解能力、知识迁移能力，题目会给出全新的集合运算、子集、元素规则。解题第一步：逐字研读新定义、新运算、新概念，准确理解规则含义，将陌生定义转化为我们学过的常规集合运算、方程、不等式、计数问题。第二步：按照定义分步计算，涉及集合运算就依次求交、并、补；涉及计数问题，使用分类讨论、分步计数、隔板法、组合数公式统计元素个数、子集数量；涉及数域、邻点、累积值等特殊定义，紧扣定义条件逐一验证。分类讨论时做到分类标准统一，保证不重不漏，最后结合集合基本性质检验结果。 64．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 65．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 66．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 67．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 68．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 69．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 70．（25-26高三·全国·一轮复习）定义集合，例如：若，则，，.把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即.已知集合，则中的元素个数为______. 71．（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $