2026-2027学年高三上学期数学开学模拟卷（重庆市适用）

**基本信息** 立足高三开学诊断，以集合、函数、概率统计等核心知识为载体，通过工厂次品率分析、果园利润预测等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、函数定义域|基础概念与逻辑推理结合| |多选|3/18|随机事件概率、函数性质|多维度辨析，考查思维严谨性| |填空|3/15|正态分布、排列组合|注重知识综合应用| |解答|5/77|函数极值、回归分析、概率应用|果园利润预测（模型构建）、商场抽奖（概率计算）等情境，突出数学建模与实际问题解决|

（解析卷） 一、单项选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分。 1.已知集合，，则        A. ， B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查集合的表示方法、集合的交集及其运算. 联立A与B中两方程建立方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集. 【解答】解：联立得，消去y得：， 即，解得，，则 故选 2.命题p：，的否定是(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题.利用全称量词命题的否定是存在量词命题解答. 【解答】 解：由题得命题p：，，即p：，或， 所以命题p的否定是：， 故选 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是      A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题． 根据函数的定义域求出中x的范围，结合分母不为0，求出函数的定义域即可． 【解答】 解：由题意得：，解得：，由解得：， 故函数的定义域是 . 故选 4.已知条件p：，条件q：，且q是p的充分不必要条件，则m的范围是     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查必要条件、充分条件及根据集合的关系求参数的取值． 由题意，条件p：，条件q：， 结合q是p的充分不必要条件，可知B为，，，从而得解． 【解答】   解：条件p：，  条件q：，   由q是p的充分不必要条件，可得， 则B为或或， ①若，则；    ②若，则，解得；    ③若，则，解得；    故选 5.某工厂有甲、乙2个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的，，且各车间的次品率分别为，，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由    车间生产的可能性最大 A. 甲 B. 乙 C. 甲乙一样大 D. 无法确定 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查贝叶斯公式，全概率公式，条件概率公式，属于基础题. 设表示产品来自甲、乙，B表示产品为次品的事件，分别计算，再作比较即可． 【解答】 解：设表示产品来自甲、乙，B示产品为次品的事件， ，，， 由全概率公式得 由贝叶斯公式得，， 所以该次品由甲车间生产的可能性最大. 6.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(     ) A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B  【解析】【分析】本题考查排列中捆绑法和插空法，属于基础题. 【解答】 解：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式;为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!种不同的排列方式. 7.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于    A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B  【解析】【分析】本题考查利用基本不等式研究恒成立问题，属中档题. 先把不等式变形为恒成立，然后求出的最值即可. 【解答】 解：因为，，所以，所以要使恒成立， 只需恒成立，而， 当且仅当时，等号成立，所以 8.设奇函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的应用，注意构造新函数，并分析的奇偶性与单调性，属于综合题． 根据题意，设，分析可得为偶函数且在上为增函数，即，结合函数的奇偶性，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设， 若函数是定义在R上的奇函数，即， 则，则为R上的偶函数， 又对任意，，且时，都有成立， 即，即函数在上为增函数，在上为减函数， 由得， 由得，即 所以当，，，当， 由函数的单调性和奇偶性得或即或 综合可得：不等式的解集是； 故选： 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则  A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查概率的基本性质，条件概率公式，属于中档题. 根据概率的基本性质及条件概率逐项求解即可. 【解答】 解：由题意， 对于A，，所以，故A错误； 对于B，由，所以，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D：由，所以， 所以，故D正确. 故选 10.若，则    A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】解：因为， 所以的第九项为， 所以，故A正确； 因为， 令，得，故B正确； 令，得，令得：，所以，故C错误； 令，得，所以，故D正确. 故选： 11.已知函数，下列判断正确的是     A. 的单调减区间是 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查导数的应用问题，属于中档题. 利用导数可得函数的单调性，即可得极值，可画出图象，逐一判断即可． 【解答】 解：由，知，得函数的定义域是 ， 又，所以当或时， ，此时单调递减， 当时，，此时单调递增. 在处取得极小值 的图象如下图所示， 可得：的单调减区间是，故A判断正确； 的定义域是  ，故B判断正确； 的值域是 ，故C判断错误； 与有一个公共点，则或，故D判断正确. 故选 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量，若，则           . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题． 根据随机变量，得正态分布密度曲线的对称轴， 根据正态曲线的特点，即可得到结果． 【解答】 解：随机变量，正态分布密度曲线的对称轴，  ，  故答案为： 13.某种产品有4件次品和6件正品，每件产品均不相同且可区分，今每次取出一件来测试，直到这4件次品全测出为止，则最后一件次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是           用数字作答 【答案】576  【解析】【分析】 本题主要考查排列组合的应用，属于中档题. 第五次抽到一件次品有种情况，前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，前4次测试中的顺序有种可能，由分步计数原理可得. 【解答】 解：对四件次品编序为1，2，3，4， 第五次抽到其中任一件次品有种情况， 前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能， 前4次测试中的顺序有种可能， 所以由分步计数原理可得，共有种可能. 故答案为 14.若不等式对恒成立，则实数m的取值范围是           . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题. 讨论m取值范围，当时，易证不等式恒成立，当时，可整理得对恒成立，可构造，由导数求解即可. 【解答】解：当时，恒成立， 当时，恒成立， 当时，可整理得对恒成立， 可构造，求导得，可知在上单调递减， ，，，则有，此时，整理得， 令，则， 可知在上单调递增，可知 综上，实数m的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数，R. 当时，求曲线在点处的切线方程； 求函数的极值． 【答案】解：当时，函数的导数为， 可得处切线的斜率为，， 切线为，即； ，令，则， x 1 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 所以的极小值为，极大值为  【解析】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查运算能力，属于基础题． 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程； 求得的导数，可得极值点和单调性，计算可得所求极值． 16.（15分）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额单位：万元与年利润增量单位：万元的散点图： 该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型： 模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额x做变换，令，则，且有，，， 根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程； 分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量结果保留两位小数； 根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并说明谁的预测值精度更高、更可靠． 回归模型 模型 模型 回归方程 附：样本的最小二乘估计公式为， ， 参考数据：， 【答案】解：由可得， 又由题，得， 则，              所以，模型中y关于x的回归方程为 当时，模型的年利润增量的预测值为万元， 当时，模型的年利润增量的预测值为万元 由表格中的数据，有，即， 所以模型的小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好， 所以当时，模型的预测值比模型的预测值，精度更高、更可靠．  【解析】本题考查了散点图的知识以及回归直线方程的应用，决定系数，考查了分析与计算能力，属较综合的中档题． 由题意得出，以及，由算出，从而得出y关于x的回归方程 当时，根据题意算出模型的年利润增量的预测值和模型的年利润增量的预测值 由表格中的数据，有，得关系式从而得出模型的预测值比模型的预测值，精度更高、更可靠． 17.（15分）设函数是增函数，对于任意x，都有 求； 证明奇函数； 解不等式 【答案】解：由题设，令，恒等式可变为，解得； 证明：令， 则由得，即，故是奇函数； ，，即， 又由已知得：，， 由函数是增函数，不等式转化为，即， 不等式的解集或  【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 利用已知条件通过，直接求； 通过函数的奇偶性的定义，直接证明是奇函数； 利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式的解集即可． 18.（17分）某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 Ⅰ消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望; Ⅱ若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励;若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份;下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第i个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第j个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件 ⅰ求和 ⅱ求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】解：Ⅰ从5个球中抽2个，即种. 抽2个红球：种，概率为； 抽2个黑球：种，概率为； 抽1红1黑：种，概率为 设奖金为随机变量X， 则期望， 则元 Ⅱⅰ第1次获第1份礼品：第1次抽红球，概率，此时箱内变为4黑1红； 第2次未获礼品：抽黑球放回，箱内仍为4黑1红，概率 第3次获第2份礼品：第3次抽红球，概率， 因此 第2次获第1份、第3次获第2份： 第1次抽黑球放回，箱内3黑2红，概率； 第2次抽红球箱内变为4黑1红，概率； 第3次抽红球，概率； 故 包含“第1次获第1份、第3次获第2份”和“第2次获第1份、第3次获第2份”， 即， 则 ⅱ设第位顾客恰好获得第2份礼品的概率为， 第一个红球在第k次被抽到，且第到次均抽黑球，第n次抽到第二个红球. 第1到次：均抽黑球箱内3黑2红，概率为； 第k次：抽红球箱内变为4黑1红，概率为； 第到次：均抽黑球箱内4黑1红，概率为； 第n次：抽红球，概率为， 故， ， 化简得：  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.（17分）已知函数 讨论函数的单调性； 证明：不等式为自然对数的底恒成立． 【答案】解：函数的定义域为，， 当时，恒成立，所以在内单调递增； 当时，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上所述，当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减； 证明：由可知， 当时，， ， 特别地，取，有，即， 所以当且仅当时等号成立， 因此，要证恒成立， 只要证明在上恒成立即可． 设，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 故当时，， 即在上恒成立. 因此，有， 又因为两个等号不能同时成立， 所以有恒成立．  【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； 取，有，即，求出当且仅当时等号成立，问题转化为证明在上恒成立即可，设，根据函数的单调性证明即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用） 一、单项选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分。 1.已知集合，，则        A. ， B. C. D. 2.命题p：，的否定是(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是      A. B. C. D. 4.已知条件p：，条件q：，且q是p的充分不必要条件，则m的范围是     A. B. C. D. 5.某工厂有甲、乙2个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的，，且各车间的次品率分别为，，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由    车间生产的可能性最大 A. 甲 B. 乙 C. 甲乙一样大 D. 无法确定 6.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(     ) A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于    A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8.设奇函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是(     ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则  A. B. C. D. 10.若，则    A. B. C. D. 11.已知函数，下列判断正确的是     A. 的单调减区间是 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量，若，则           . 13.某种产品有4件次品和6件正品，每件产品均不相同且可区分，今每次取出一件来测试，直到这4件次品全测出为止，则最后一件次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是           用数字作答 14.若不等式对恒成立，则实数m的取值范围是           . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数，R. 当时，求曲线在点处的切线方程； 求函数的极值． 16.（15分）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额单位：万元与年利润增量单位：万元的散点图： 该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型： 模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额x做变换，令，则，且有，，， 根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程； 分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量结果保留两位小数； 根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并说明谁的预测值精度更高、更可靠． 回归模型 模型 模型 回归方程 附：样本的最小二乘估计公式为， ， 参考数据：， 17.（15分）设函数是增函数，对于任意x，都有 求； 证明奇函数； 解不等式 18.（17分）某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 Ⅰ消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望; Ⅱ若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励;若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份;下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第i个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第j个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件 ⅰ求和 ⅱ求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 19.（17分）已知函数 讨论函数的单调性； 证明：不等式为自然对数的底恒成立． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $