2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷04（重庆市适用）

**基本信息** 高三开学考数学模拟卷，覆盖解析几何、数列、立体几何等核心模块，通过基础题与综合题梯度设计，检测数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线准线、等差数列求和等|注重数学抽象，如直线与平面关系的充要条件判断| |多选|3/18|等差数列性质、抛物线焦点弦等|强化推理意识，如结合方程根与数列性质的综合判断| |填空|3/15|函数导数、数列递推求和等|考查运算能力，如双曲线离心率的几何意义应用| |解答|5/77|立体几何存在性、椭圆综合（轨迹/定值/最值）等|突出模型观念与创新意识，如函数单调性讨论及参数范围求解，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.抛物线的准线方程为(     ) A. B. C. D. 2.已知等差数列，其前n项和为，若，则      A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 3.设不同的直线，则“”是“”的(     ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.在等比数列中，，是关于x的方程的两个实根，则    A. 8 B. C. 4 D. 8或 5.已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 A. B. C. D. 6.若点P为直线上一个动点，点，B在圆上，则的最小值为    A. B. 3 C. D. 2 7.双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为    A. B. C. D. 8.函数，则的图象在处的切线方程为      A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知等差数列满足，记为的前n项和，则下列说法正确的是    A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 使得的n的最小值为13 10.已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于，两点，则下列说法一定正确的是     A. 的最小值为2 B. 线段AB为直径的圆与直线相切 C. 为定值 D. 过点 A， B分别作准线的垂线，垂足分别为 C， D，则 11.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足，则     A. 平面 B. 当时，平面BDF C. 当时，平面BDF D. 当时，点G到平面BDF的距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数，则           . 13.已知数列满足，且，则该数列前20项和           . 14.已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为           . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）圆C：及直线l：，直线l被圆C截得的弦长为 求a的值； 求过点并与圆C相切的直线的一般式方程. 16.（15分）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． 求的通项公式； 证明：… 17.（15分）四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，，平面平面 证明：； 若，且PA与平面ABCD成角为，在棱PC上是否存在点E，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由. 18.（17分）已知函数R 讨论函数的单调性; 设函数，若在上单调递增，求实数a的取值范围. 19.（17分）已知椭圆C的左右两焦点为，，焦距为4，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长为 求椭圆C的标准方程； 若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为， 求证：为定值； 求面积的最大值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （解析卷） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.抛物线的准线方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查抛物线的几何性质，属基础题． 根据抛物线的性质得出准线方程． 【解答】抛物线方程可化为，，抛物线的准线方程为 故选： 2.已知等差数列，其前n项和为，若，则      A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】C  【解析】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，是基础题. 利用等差数列的性质，结合前n项和公式计算即得. 【解答】在等差数列中，，解得，所以 故选： 3.设不同的直线，则“”是“”的(     ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】本题考查了两直线平行的判定，属于基础题. 【解答】当时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当时，显然，从而有，即，解得或，但当时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立. 4.在等比数列中，，是关于x的方程的两个实根，则    A. 8 B. C. 4 D. 8或 【答案】B  【解析】本题考查了等比数列的性质，属于中档题. 结合根与系数关系，根据等比数列的性质即可得解. 【解答】，是关于x的方程的两实根， 所以， 由，得，， 所以，即， 所以 故选 5.已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题. 根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦值小于零且两向量不共线，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围． 【解答】与的夹角为钝角， ，，且与不共线，，且， ，且，解得，且， 的取值范围是 故选 6.若点P为直线上一个动点，点，B在圆上，则的最小值为    A. B. 3 C. D. 2 【答案】D  【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径为1， 则， 当且仅当P、、B、C四点共线，且点B在线段上时，取得最小值，为 故选 7.双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF的顶点P的坐标，然后求解面积即可． 【解答】双曲线C：的右焦点为， 渐近线方程为：，不妨设P在第一象限， 可得，因为，则， 所以的面积为： 故选 8.函数，则的图象在处的切线方程为      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即故选 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知等差数列满足，记为的前n项和，则下列说法正确的是      A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 使得的n的最小值为13 【答案】BC  【解析】本题考查等差数列与一次函数的关系，等差数列前n项和的最值问题，等差数列通项公式中的基本量计算，等差数列的性质，属于基础题. 根据给定条件可得，公差，再结合等差数列性质及前n项和公式逐项判断即可. 【解答】由，得，等差数列的公差， 对于B，数列是递增数列，故B正确； 对于A、C，数列的前7项都为负，从第8项起为正， 因此，当时，取得最小值，故A错误，C正确； 对于D，，因此使得的n的最小值不为13，故D错误. 故选： 10.已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于，两点，则下列说法一定正确的是     A. 的最小值为2 B. 线段AB为直径的圆与直线相切 C. 为定值 D. 过点 A， B分别作准线的垂线，垂足分别为 C， D，则 【答案】BCD  【解析】本题考查抛物线的概念及性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系的问题，考查抛物线中的定值问题． 设AB所在直线的方程为，由消去x，得，继而得韦达定理，由结合韦达定理即可判定A；设线段AB中点为M，过点A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N，结合抛物线的定义可得即可判定B；由A中的韦达定理结合抛物线方程化简运算即可判定C；利用韦达定理分别计算和即可判定 【解答】选项A：焦点为，设AB所在直线的方程为，无需考虑斜率为0的情况 由消去x，得， 则， 由抛物线定义可得， 当且仅当，即直线l与x轴垂直时，最小值为4，故A不正确； 选项B：如图，设线段AB中点为M， 过点A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N， 由抛物线定义可知，， 所以， 因此以线段AB为直径的圆与直线相切，故B正确； 选项C：由A可得，，故C正确； 选项D：由AB可得：， ， 所以，故D正确． 故选 11.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足，则     A. 平面 B. 当时，平面BDF C. 当时，平面BDF D. 当时，点G到平面BDF的距离为 【答案】AC  【解析】因为，所以共面，又均过点D， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点D为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面BDF的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面BDF的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以AG不平行于平面BDF，故B错误； 所以，所以，所以平面BDF，故C正确； 当时，， 所以点G到平面BDF的距离为，故D错误. 故选： 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数，则           . 【答案】  【解析】本题考查基本函数的导数公式和导数的运算，属基础题． 先根据导数除法法则求出导函数，然后将 代入求值，即可求出所求． 【解答】  ，   ，故答案为  ． 13.已知数列满足，且，则该数列前20项和           . 【答案】1078  【解析】本题考查等差、等比数列的求和公式，分组求和法，属于基础题. 利用分组求和法及等差与等比的求和公式即可求解. 【解答】根据题意可知， 数列的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的偶数项是首项为1，公差为1的等差数列， 故 ， 则 故答案为： 14.已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为           . 【答案】  【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及其应用，求双曲线的离心率，属于较难题. 连接ON，取双曲线的左焦点为，连接，过作MF的垂线，垂足为G，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解. 【解答】连接ON，取双曲线的左焦点为，连接，过作MF的垂线，垂足为G， 直线MF与圆相切，， ， 为的中点，，相似于，且相似比为， 故 在双曲线中，由双曲线定义知， 为直角三角形， ，即，解得， 故双曲线的离心率为 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）圆C：及直线l：，直线l被圆C截得的弦长为 求a的值； 求过点并与圆C相切的直线的一般式方程. 【答案】解：由已知圆C：， 可得圆心，半径， 圆心到直线l：的距离， 而直线l被圆C截得的弦长为 解得或， 又，所以舍去5，故； 由得，则圆C：， 圆心，半径， 因为，所以点在圆外， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 此时圆心到切线的距离，解得， 此时，切线方程为， 当切线斜率不存在时，直线与圆C相切， 综上所述，所求切线方程为或  【解析】本题考查直线和圆的位置关系，属于中档题． 根据直线被圆截得的弦长，可得圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式列式即可求解； 首先判定点在圆外，然后分切线斜率存在和斜率不存在分别求解即可． 16.（15分）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． 求的通项公式； 证明：… 【答案】已知，是公差为的等差数列， 所以，整理得，①， 故当时，，②， ①-②得：， 故， 化简得：，，，，， 所以，故，且首项符合通项，所以的通项公式为：； 证明：由于， 所以， 所以  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.（15分）四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，，平面平面 证明：； 若，且PA与平面ABCD成角为，在棱PC上是否存在点E，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由. 【答案】解：因为四边形ABCD为菱形，所以， 因为平面平面ABCD，且交线为BD，， 故 平面PBD ，又 平面PBD，故； 因为，O 是BD 的中点，所以 ，又平面平面ABCD，且交线为BD，平面PBD，所以平面ABCD，所以为PA与平面ABCD所成角，故，由于四边形ABCD为边长为，的菱形，所以 因为 两两垂直，故可以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：  ，  ，设 ，其中 ， 所以 ，  ， ， 设平面BEC的法向量为 ，则：  ，取 则； 设平面BED的法向量为 ，则：  ，则， 取 则， 故 ，整理得： ， 解得 或者 舍去 故存在，且满足，即点E 是PC 的三等分点，且靠近P 端， 故 . 【解析】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质，直线与平面所成的角，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题. 根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，进而可得线线垂直； 根据空间直角坐标系，利用法向量的夹角求二面角，确定点E的位置即可求解. 18.（17分）已知函数R 讨论函数的单调性; 设函数，若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】由题意得，R， 当时，恒成立，函数在R上单调递增; 当时，令，解得， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在R上单调递增; 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以所以，解得， 故实数a的取值范围为 【解析】略 19.（17分）已知椭圆C的左右两焦点为，，焦距为4，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长为 求椭圆C的标准方程； 若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为， 求证：为定值； 求面积的最大值. 【答案】：易知椭圆焦点在x轴上， 因为椭圆的焦距为4，的周长为16， 所以，解得，，， 则椭圆的方程为； 证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然， 所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以， 综上所述，为定值0； 由知， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以面积的最大值为 【解析】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于较难题． 求椭圆E的方程；根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可； 当直线斜率为0时，显然，可得；当直线斜率不为0时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式进行求证即可； 结合中所得，利用三角形面积公式再求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $