2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷03（重庆市适用）

2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，，当取得最小值时，则     A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 3.已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个等边三角形，则双曲线C的离心率为     A. B. C. D. 2 4.圆与的公共弦长为     A. B. C. D. 5.已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为(     ) A. B. C. D. 6.已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，且切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为  A. B. C. D. 7.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点或圆球在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…，若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为(     ) A. 190 B. 171 C. 153 D. 136 8.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作圆的切线交双曲线C的右支于点P，切点为M，若，则双曲线C的离心率为      A. B. 2 C. 3 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知在首项为1，公差为d的等差数列中，、、是等比数列的前三项，数列的前n项和为，则(     ) A. 或 B. C. 是等差数列 D. 10.已知圆C：，则下列说法正确的是      A. 圆C的半径为16 B. 圆C截x轴所得的弦长为 C. 圆C与圆E：相外切 D. 若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的范围是 11.如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则      A. B. 存在点M，使平面SBC C. 存在点M，使直线OM与AB所成的角为 D. 点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处的切线方程为           . 13.已知等差数列的公差不为0，且，，等比数列，则           . 14.抛物线与圆，过圆心M的直线l与抛物线C和圆M分别交于A，B，C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，则最小值是           . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知直线l过点 若直线l与垂直，求直线l的方程； 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16.（15分）已知函数 求函数的解析式； 若函数在上单调递增，求m的取值范围． 17.（15分）已知数列的前n项和为，且 求数列的通项公式 若，求数列的前n项和 18.（17分）已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： 证明：平面平面ABC； 若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值. 19.（17分）已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为 求椭圆C的方程； 若直线与x轴交于点P，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于Q，求的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （解析卷） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  【解析】【分析】 本题重点考查空间向量的共面定理，空间向量基本定理，属于中档题. 根据空间向量的共面定理和空间向量基底的概念逐项进行分析即可. 【解答】向量，，是不共面的三个向量， 对于A，，则向量，，共面， 故A选项中向量不能构成空间基底; 对于B，，则向量，，共面， 故B选项中向量不能构成空间基底; 对于D，，则向量，，共面， 故D选项中向量不能构成空间基底; 对于C，假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使得， 整理得，而向量，，不共面，则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底. 故选： 2.已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，，当取得最小值时，     A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B  【解析】解：设等差数列的公差为d，则， 令，因为，所以， 所以二次函数的图象关于直线对称， 又因为，可得，所以当取得最小值时， 故选： 3.若双曲线的两条渐近线与直线围成一个等边三角形，则C的离心率为     A. B. C. D. 2 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题.由题意可得，所以可得可得结果. 【解答】由于双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为，斜率， 所以，所以， 故选 4.圆与的公共弦长为     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查两圆的相交弦的弦长问题，属于中档题． 利用两圆的标准方程求出相交弦的直线方程，即可求解. 【解答】由题意知圆与相交， 由两式相减得公共弦的直线方程为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 又圆的半径为，公共弦长为 故选 5.已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查导函数图象与原函数图象的关系，属于中档题． 由的图象可知单调性，进而可得，符号，即可得出答案． 【解答】由的图象可知在上单调递增，，， 所以，满足题意； 在上单调递减，，， 所以，满足题意； 在上单调递增，，， 所以，不满足题意； 所以不等式的解集为或 故选： 6.已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，且切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为  A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，切线的性质，属于拔高题. 由题意，根据切线的性质及圆的对称性可知，要使最小，只需最小，即最小，此时，进而利用点到直线的距离公式以及切线的性质求解即可. 【解答】圆M方程的圆心，半径， 根据切线的性质及圆的对称性可知， 则， 要使最小，只需最小，即最小，此时， ，， 过点M且垂直于l的方程为，将其与l的方程联立，解得， 以PM为直径的圆的方程为， 结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为， 故选 7.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点或圆球在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…，若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为(     ) A. 190 B. 171 C. 153 D. 136 【答案】B  【解析】本题考查等差数列的实际应用，等差数列的前n项和公式，属于基础题. 根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考等差数列公式即可求解. 【解答】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列， ，，，，，…， 由此得，即，则， 所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为 故选： 8.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作圆的切线交双曲线C的右支于点P，切点为M，若，则双曲线C的离心率为      A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A  【解析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题． 取的中点N，由双曲线的定义易得，，，结合及直角三角形OMN，得到方程即可求解． 【解答】由题意，作图如下， 因为，所以， 又因为，所以，则， 根据双曲线的定义可得，所以， 取中点为N，连接ON，则ON为的中位线，所以， 因为，在直角三角形OMN中，， 所以，则，所以，所以离心率为， 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知在首项为1，公差为d的等差数列中，、、是等比数列的前三项，数列的前n项和为，则(     ) A. 或 B. C. 是等差数列 D. 【答案】AC  【解析】解：因为，即， 又，解得或，故A正确； 当时，，当时，，故B错误； 或，所以是首项为1，公差为0或的等差数列，故C正确； 当时，时的公比为4，即，故D错误. 故选： 10.已知圆C：，则下列说法正确的是      A. 圆C的半径为16 B. 圆C截x轴所得的弦长为 C. 圆C与圆E：相外切 D. 若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的范围是 【答案】BC  【解析】本题考查圆的方程，弦长，圆与圆的位置关系及直线与圆的有关问题，属于中档题. 求得圆C的标准方程，可判断A；令，得，利用根与系数的可判断B；利用，可判断C；由题意得：，解不等式可求解判断 【解答】对于A，由圆，可得圆C的标准方程为，所以圆C的半径为4，故A错误; 对于B，令，得，设圆C与x轴交点的横坐标分别为，，则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确; 对于C，，故C正确; 对于D，由题意得：， 解得或， 即实数m的取值范围是，故D错误. 故选： 11.如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则      A. B. 存在点M，使平面SBC C. 存在点M，使直线OM与AB所成的角为 D. 点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值 【答案】ABD  【解析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断ACD，根据线面平行的判定定理判断 【解答】四棱锥中，底面是正方形，平面ABCD， ，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点， 以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，，，， 由M是棱SD上的动点，设，， ，， ，，故A正确； 当M为SD中点时，OM是的中位线，， 平面SBC，平面SBC，平面SBC，故B正确； ，， 若存在点M，使直线OM与AB所成的角为， 则， 化简，得，无解，故C错误； 点M到平面ABCD的距离， 点M到平面SAB的距离：， 点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为：，是定值，故D正确． 故选 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处的切线方程为           . 【答案】  【解析】本题考查导数的几何意义和计算，属于基础题． 求出切点的坐标和切点处的导数，利用点斜式求出方程． 【解答】因为，则，所以切点为， 且，则切线斜率， 由直线的点斜式方程可得： 曲线在点处的切线方程为 ，化简可得， 13.已知等差数列的公差不为0，且，，等比数列，则           . 【答案】  【解析】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，属于基础题． 设等差数列的公差为，由，，等比数列，可得，则的值可求． 【解答】设等差数列的公差为，，，等比数列，， 则，得， 故答案为 14.抛物线与圆，过圆心M的直线l与抛物线C和圆M分别交于A，B，C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，则最小值是           . 【答案】  【解析】 本题主要考查直线与抛物线的位置关系及应用，属于中档题. 按直线AB斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出的值，斜率存在时，设出直线AB的方程，代入抛物线方程后应用根与系数的关系及基本不等式求解最值，最后比较即可得答案. 【解答】M：的圆心为，半径为1， 所以圆心为抛物线C：的焦点，且圆M过抛物线C：的顶点， 当轴时，，则， 当AB斜率存在时，设其方程为，，， 将代入得， 则，所以 ， 当且仅当，即时取等号， 由知，的最小值为 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知直线l过点 若直线l与垂直，求直线l的方程； 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】解：直线  的斜率为  ， 则与直线  垂直的直线的斜率为  ， 过点 P 且与直线  垂直的直线的方程为  ，即  . 分两种情况讨论： ①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为  ， 将点 P 的坐标代入该直线方程得  ，解得  ，此时，所求直线的方程为  ； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为  ，， 即  ， 将点 P 的坐标代入该直线方程得  ， 此时，所求直线的方程为 ， 综上所述，所求直线的方程为  或  . 【解析】本题考查截距式方程，考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，考查直线方程的求解，属于中档题. 根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； 根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可. 16.（15分）已知函数 求函数的解析式； 若函数在上单调递增，求m的取值范围． 【答案】解：， 令，得，则， 令，得，所以 因为在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立. 又因为函数在上单调递增，所以，所以m的取值范围为  【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性 ，考查导数中的恒成立问题 ，属于中档题． 对函数求导，令求出、，即可求得函数的解析式； 根据函数的单调性可得在上恒成立，对函数求导，计算即可求得m的取值范围． 17.（15分）已知数列的前n项和为，且 求数列的通项公式 若，求数列的前n项和 【答案】解：因为   ① 所以时，② 由①-②可得，， 当时，，满足，故的通项公式为：， 因为，所以③， 则④， 由③-④得，即，   【解析】本题考查求数列的通项公式及利用错位相减法求和，属于基础题. 由计算可得； ，由错位相减法求和可得. 18.（17分）已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： 证明：平面平面ABC； 若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值. 【答案】证明：四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形， 设 AC的中点为 O，连接 由题意，得，， 因为在中，为 AC的中点，所以， 因为在中，，， 所以，因为，OB，平面 ABC，所以平面 ABC， 因为平面 PAC，所以平面平面 ABC； 解：由知，，，， 平面PAC，平面PAC， 平面PAC， 所以就是直线BM与平面PAC所成的角．且， 所以当OM最短时，即M是PA的中点时，最大． 由平面ABC，，所以，， 于是以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，， ， 设平面MBC的法向量为， 则，得， 令，得，即，取平面ABC的法向量为，  ，由图可知，二面角的余弦值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.（17分）已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为 求椭圆C的方程； 若直线与x轴交于点P，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于Q，求的取值范围. 【答案】解：由题意知可得，，故椭圆C的方程为 由可得，设，，则 ，，， 线段MN的中点为，线段MN的垂直平分线方程为， 令，得，所以，又， 则， 又， 所以， ，， 故的取值范围为 【解析】本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 由顶点和离心率直接求a，，b，c即可; 先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长，再求出垂直平分线和Q坐标，表示出，最后分离常数求取值范围即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $