2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用）

**基本信息** 2026-2027学年重庆高三开学考数学模拟卷，以文化传承（祖率密码排列）、科技前沿（5G收入回归、悬链线工程应用）为情境，梯度覆盖函数、概率统计等核心知识，适配开学摸底与能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数定义域、命题否定、排列组合|基础概念与文化情境结合（如祖率密码）| |多项选择|3/18|正态分布、悬链线性质|科学情境与性质探究（如悬链线最值分析）| |填空|3/15|二项式定理、三角函数|核心运算技能考查| |解答|5/77|函数切线、回归分析、概率统计、极值证明|5G收入回归体现数据观念，考试通过概率问题培养应用意识|

（解析卷） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知函数的定义域是，则函数的定义域       A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 令，解得，所以函数的定义域为 故选：D 2.已知命题或，则      A. 或 B. 且 C. 且 D. 或 【答案】B  【解析】【分析】由特称命题的否定求解即可. 【详解】因为命题或，所以且 故选：B 3.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有    个． A. 180 B. 240 C. 300 D. 360 【答案】C  【解析】【分析】利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案. 【详解】先排数字9得出有种，因为有两个1，所以总数有种. 故选： 4.已知集合，则     A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以 故选： 5.已知函数在区间A上的导函数存在，则“时，”是“在区间A上单调递增”的     A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】由导数符号与区间单调性的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若时，则在区间A上单调递增，充分性成立； 若在区间A上单调递增，则时，且不恒成立，必要性不成立； 所以“时，”是“在区间A上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 6.函数的部分图象大致为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除AC，根据函数在上的符号排除D，可得答案. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故AC不正确； 当时，，，故，故D不正确. 故选： 7.设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又为R上的奇函数，故，解得， 则 故选： 8.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是      A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】由题得，即求. 【详解】，又函数的值域为R， 则，解得 故选： 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.随机变量X服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则下列说法正确的是      A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】ABC  【解析】【分析】根据正态分布的密度函数，可得的值，根据数学期望以及方差的性质，结合正态分布的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可知，由密度函数，则，，故，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则X服从的正太分布曲线的对称轴为直线，由，则，故C正确； 对于D，正太分布为连续性随机变量，故D错误. 故选： 10.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为其中a，b为非零常数，则对于函数以下结论正确的是     A. 若，则为奇函数 B. 若，，则函数的最大值为4 C. 若，则函数的最小值为2 D. 为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为 【答案】AD  【解析】【分析】由奇函数的定义即可判断A；由基本不等式即可判断BC；由奇函数得出，分离参数求解函数最值即可判断 【详解】对于A，若，则，，， 为奇函数，故A正确； 对于B，若，，， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，若，则，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以无最小值，故C错误； 对于D，若为奇函数，则，所以， 若，使得成立，则， 若，则，则，即能成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，即a的最小值为，故D正确； 故选： 11.已知函数，则下列说法正确的是    A. 在上单调递减 B. 的极小值为1 C. 设，，，则 D. 若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 【答案】ACD  【解析】【分析】求导判断函数的单调性并求出极值，判断AB选项；利用的单调性及对应的自变量的值判断C选项；分离参数，设，通过导数求得的最值，进而得到k的取值范围，判断D选项. 【详解】求导得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，A正确； 由的单调性知在处取得极大值，无极小值，B错误； C选项，，，， 因为，在上单调递减，所以，即，C正确； D选项，由得， 设，则， 令得，令得，所以，， 又显然当时，， 所以若曲线与曲线无公共点的充分必要条件是，D正确； 故选： 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，常数项为           .  【答案】  【解析】【分析】利用二项展开通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为 故答案为： 13.已知，则            . 【答案】  【解析】【分析】利用对立事件的概率公式得到，结合全概率公式求出答案. 【详解】，故， 故答案为： 14.已知，则           .  【答案】且  【解析】【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域. 【详解】由，令，且，且，则，且， 且，且故答案为：且 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数其中，且，求： 的表达式； 曲线在处的切线方程. 【答案】 【解析】【分析】运用导数运算公式解得，再根据已知条件解得a的值即可. 由可解得切点及切线斜率，再运用点斜式方程写出切线方程即可. 【详解】，于是有， 所以，又，即， 由知，，所以， 所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为， 即 16.（15分）5G网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入单位：万元关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y 6 11 23 37 72 124 根据散点图判断，与均为常数哪一个更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由？ 根据的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程结果保留两位小数； 根据所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入结果保留两位小数 参考公式及参考数据：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，； 其中， 【答案】更适合 万元 【解析】【分析】由散点图可知； 的两边取自然对数，把非线性回归方程转化为线性回归方程，用最小二乘法计算得解； 根据的方程进行预测. 【详解】由散点图可知，更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型. 的两边取自然对数，得 因为，，，， 所以， ，所以， 所以经济收入y关于月份x的回归方程为 当时， 预测该公司7月份的经济收入约为万元. 17.（15分）已知为R上的奇函数，当时，， 求在R上的解析式； 若对使求a的取值范围. 【答案】 【解析】【分析】根据为R上的奇函数及时的解析式求解； 分别求出及，满足即可得答案. 【详解】因为为R上的奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，所以， 所以在R上的解析式为 因为， 所以当时，为减函数，当时，为增函数， 所以当时，， 因为对使 所以使 因为所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 故a的取值范围 18.（17分）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 m人 人 假设每次考试是否通过相互独立． 从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； 在2023年参加考试的众多考生中，随机抽取3人，这3人中至多参加两次考试就通过了的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； 若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，求m的最小值． 【答案】分布列见解析， 【解析】【分析】根据相互独立的事件的概率求解即可； 根据二项分布可求分布列，根据公式可求期望. 分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解. 【详解】记事件：“2022年第i次参加考试的考生通过考试”，， 记事件：“2023年第j次参加考试的考生通过考试”，， 则，， 从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为； 由题设有， 在2023年参加考试的众多考生中，随机抽取1人，至多参加两次考试就通过的概率为： ， 又X可取值 则，， ，， 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以 年考生成绩合格的概率为， 2023年考生成绩合格的概率为， 要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率， 则，解得 19.（17分）已知函数 若为的导函数，求函数的单调区间； 求函数在区间上的最大值； 若函数有两个极值点，求证： 【答案】答案见解析 答案见解析 证明见解析 【解析】【分析】根据题意求得，取得，分类讨论，即可求得函数的单调区间； 由中的结论，分类讨论，求得在上单调性，进而求得函数的最小值. 根据题意转化为在上有两个不等的实根，进而转化为和的图象有两个交点，结合的单调性与极值，得到且，要证，转化证明，令，即证，令函数数，结合的单调性和最值，即可求解. 【详解】解：由函数，则其定义域为，且， 可得，则， 若时，，单调递增； 若时，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上可得，当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，递减区间为 解：由知，当时，在上为递增函数，最大值为； 当时，即时，在上为递减函数，最大值为； 当时，即时，在上为递增函数，在上为递减函数， 所以最大值为； 当时，即时，在上为递增函数，最大值为， 综上可得，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为 解：由，因为函数有两个极值点， 可得方程在上有两个不等的实根，不妨设， 即在上有两个不等的实根，即和的图象有两个交点， 又由，可得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 又由，且时，，所以且， 要证，可变形为， 因为，所以，即， 因为，可得， 即证，可变形为，即， 令，即证， 令，可得，所以在上单调递减， 所以，即，所以 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值最值，从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知函数的定义域是，则函数的定义域       A. B. C. D. 2.已知命题或，则      A. 或 B. 且 C. 且 D. 或 3.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有    个． A. 180 B. 240 C. 300 D. 360 4.已知集合，则     A. B. C. D. 5.已知函数在区间A上的导函数存在，则“时，”是“在区间A上单调递增”的     A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.函数的部分图象大致为(     ) A. B. C. D. 7.设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则     A. B. C. D. 8.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是      A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.随机变量X服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则下列说法正确的是      A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为其中a，b为非零常数，则对于函数以下结论正确的是     A. 若，则为奇函数 B. 若，，则函数的最大值为4 C. 若，则函数的最小值为2 D. 为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为 11.已知函数，则下列说法正确的是    A. 在上单调递减 B. 的极小值为1 C. 设，，，则 D. 若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，常数项为           .  13.已知，则            . 14.已知，则           .  四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数其中，且，求： 的表达式； 曲线在处的切线方程. 16.（15分）5G网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入单位：万元关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y 6 11 23 37 72 124 根据散点图判断，与均为常数哪一个更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由？ 根据的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程结果保留两位小数； 根据所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入结果保留两位小数 参考公式及参考数据：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，； 其中， 17.（15分）已知为R上的奇函数，当时，， 求在R上的解析式； 若对使求a的取值范围. 18.（17分）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 m人 人 假设每次考试是否通过相互独立． 从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； 在2023年参加考试的众多考生中，随机抽取3人，这3人中至多参加两次考试就通过了的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； 若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，求m的最小值． 19.（17分）已知函数 若为的导函数，求函数的单调区间； 求函数在区间上的最大值； 若函数有两个极值点，求证： 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $