2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用）

**基本信息** 立足高三开学检测，以函数、概率统计、导数为核心，融合直播带货、抽奖等现实情境，梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数单调性（充要条件）、古典概型（取球概率）|基础概念辨析与简单应用结合| |多项选择|3/18|概率统计（独立事件、方差）、函数图像判断|多选项辨析，考查批判性思维| |填空题|3/15|函数极值（无极值点条件）、周期性（星期计算）|简洁设问，检测知识盲点| |解答题|5/77|统计案例（直播带货回归与独立性检验）、概率分布（抽奖活动）、导数综合（恒成立与零点）|现实情境建模、逻辑推理与综合应用，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知，，则      A. B. C. D. 2.“函数在区间上单调递增”是“”的       A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是      A. B. C. D. 4.已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则     A. B. C. D. 5.存在函数满足，对任意都有   A. B. C. D. 6.把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为      A. 40 B. 36 C. 30 D. 12 7.已知，若，且，则m的值为     A. 1 B. C. 2 D. 4 8.定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为     A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.下列命题中，错误的命题是       A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量，若方差，则 C. 若相关系数r的值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4 10.下列可能是函数其中的图象的是     A. B. C. D. 11.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，，下列结论正确的是    A. B. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C. D. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数没有极值点，则           .  13.已知今天是周一，那么天后是           填周几  14.已知图象上有两条切线互相垂直，则           .  四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，且 求a的值，并求出的解析式； 若在上恒成立，求m的取值范围． 16.（15分）已知函数 讨论的单调性； 若在上的最小值为0，求 17.（15分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2026年前5个月的带货金额： 月份x 1 2 3 4 5 带货金额万元 350 440 580 700 880 求y关于x的线性回归方程，并据此预测2026年8月份该公司的直播带货金额； 该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 35 男性 10 总计 请填写上表，并判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考公式：，； ，其中 18.（17分）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. 求中奖次数X的分布列和数学期望； 求第二次中奖的概率； 已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 19.（17分）已知函数且，， 若恒成立，求a的取值范围； 讨论零点的个数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （解析卷） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知，，则      A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【详解】由， 由，所以 2.“函数在区间上单调递增”是“”的       A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】根据复合函数单调性求出a的范围后判断即可. 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 3.若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是      A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即，解得， 综上可得， 4.已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】由全概率公式和概率乘法公式求出，得到答案 【详解】不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球， 第一次任取1个球为红球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 第一次任取1个球为白球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 故， 一次性任取2个球，取到2个红球的概率为， 故 5.存在函数满足，对任意都有   A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】根据函数的概念逐项分析即可. 【详解】选项A：令，则，原式可变形为 令，则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令，对于同一个t，有两个不同结果如时，或，或， 一个t对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令，对于同一个t，有两个不同结果如时，，或， 一个t对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令，对于同一个t，有两个不同结果如时，或，或， 一个t对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 6.把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为      A. 40 B. 36 C. 30 D. 12 【答案】B  【解析】【详解】2张连号有，，，；3张连号有，，， 若有两组2张连号和一张单牌，则连号组合可以是，或，或，共3种， 再将其分给三个人共有种； 若有一组3张连号和两张单牌，则连号组合可以是或或， 则分给三个人共有种， 故不同的分法种数为 7.已知，若，且，则m的值为     A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B  【解析】【分析】根据，利用二项式定理展开，对应系数相等即可求解. 【详解】因为，所以，利用二项式定理展开得， 即， 又因为，对应系数要相等，则 又因为且，即，解得，故B正确. 8.定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为     A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A  【解析】【分析】根据已知推得是周期为8的周期函数，结合对称性求得，利用导数研究函数的区间单调性，应用周期性、对称性求最值，即可得. 【详解】因为定义在R上的函数满足： ，所以的图象关于直线对称， ，所以的图象关于点对称， 所以，， 所以，则， 所以，则， 故是周期为8的周期函数，的定义域为R， 所以对称中心在的图象上，可得，所以， 当时，，则， 当或时，；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，极大值，极小值， 因为，，所以，， 因为的图象关于点对称，所以时，， 当时，， 由于的图象关于直线对称，故时，， 因为是周期为8的周期函数，故当时，， 因此的最大值与最小值的差为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.下列命题中，错误的命题是       A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量，若方差，则 C. 若相关系数r的值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4 【答案】BCD  【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式判断A的真假；根据二项分布的有关计算判断B的真假；根据线性相关系数的定义判断C的真假；根据线性回归方程必过样本中心点求m，判断D的真假. 【详解】对A： ，所以相互独立，故A正确； 对B：因为，所以或， 当时， 当时，，故B错误； 对C：由线性相关系数的定义可知相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对D：因为线性回归方程必过样本中心点，所以，故D错误. 10.下列可能是函数其中的图象的是     A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】根据各选项图象的对称性、定义域和截距等特征，分析参数的可能取值，判断是否存在满足条件的函数解析式. 【详解】A选项中的图象关于y轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，，，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选： 11.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，，下列结论正确的是    A. B. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C. D. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 【答案】ACD  【解析】【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式可判断AC，由贝叶斯公式可判断 【详解】奖品在1号箱里，主持人可打开号箱，故，故A正确； 奖品在1号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故C正确； 对于B、D， 若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 当甲更改选择时 若甲改选2号箱，甲中奖的概率为， 若甲改选4号箱，甲中奖的概率为， 又甲更改选择时，选2号箱或4号箱的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故D正确； 而，即甲改选2号箱与改选4号箱的中奖概率一样，故B错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数没有极值点，则           .  【答案】1  【解析】【详解】函数的定义域为R且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ，即， 13.已知今天是周一，那么天后是           填周几  【答案】周日  【解析】【分析】对给定条件合理转化，结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为126可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周日. 故答案为：周日 14.已知图象上有两条切线互相垂直，则           .  【答案】0  【解析】【分析】对求导得到切线斜率的表达式，设两条互相垂直切线的斜率分别为、，根据两直线垂直的条件，可得；结合导数的值域，分析满足时a的取值. 【详解】，； 曲线上任意一点处切线的斜率为，由于，即斜率k的取值范围为 要使图象上有两条切线互相垂直，即存在，使得 区间内必须同时包含正数和负数，即，得 设，则 ，即；，得； ，；，解得，得 当时，斜率k的取值范围为，可取，，符合题意. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，且 求a的值，并求出的解析式； 若在上恒成立，求m的取值范围． 【答案】，； 【解析】【分析】根据偶函数性质，利用所给函数值代入计算可得，由当时可求出的解析式； 将参数m分离可得在上恒成立，再由基本不等式计算可得结果. 【详解】因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为 由知，当时，， 因为在上恒成立，即 ， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即m的取值范围是 16.（15分）已知函数 讨论的单调性； 若在上的最小值为0，求 【答案】当时，在上单调递减，在上单调递增 ；当时，在上单调递减，在上单调递增 或   【解析】【分析】对函数求导并分类讨论导数的正负来确定； 分类讨论a的取值范围，根据函数单调性依次判断. 17.（15分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2026年前5个月的带货金额： 月份x 1 2 3 4 5 带货金额万元 350 440 580 700 880 求y关于x的线性回归方程，并据此预测2026年8月份该公司的直播带货金额； 该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 35 男性 10 总计 请填写上表，并判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考公式：，； ，其中 【答案】y关于x的回归方程为，预测2026年8月份该公司直播带货金额为1250万元； 列联表见解析，有的把握认为参加直播带货与性别有关。 【解析】【分析】先计算样本均值，代入回归系数公式求得线性回归方程，再将代入方程得到预测值； 先根据已知数据补全列联表，再计算卡方统计量，与临界值对比判断是否存在相关性. 【详解】由题意，得，。 根据参考数据，得，，则， ，因此 y关于x的线性回归方程为， 2026年8月对应，代入得万元，即预测8月带货金额为1250万元. 由题意，补全列联表如下： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 5 35 男性 10 10 20 总计 40 15 55 代入卡方公式，得， 由于，对应，因此有的把握认为参加直播带货与性别有关. 18.（17分）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. 求中奖次数X的分布列和数学期望； 求第二次中奖的概率； 已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 18.【答案】【答案】的分布列为 X 0 1 2 P 中奖2次的人数为60时的概率最大. 【解析】【分析】根据题意分析随机变量X的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； 根据的计算数据可求第二次中奖的概率； 设300位顾客中中奖2次的人数为Z，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【详解】若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数X的可能取值为， 则， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的期望为 设A为“第二次中奖”， 则 设300位顾客中中奖2次的人数为Z，由的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为60的概率最大. 19.（17分）已知函数且，， 若恒成立，求a的取值范围； 讨论零点的个数． 【答案】 若或，零点的个数为1；若且，零点的个数为2 【解析】【分析】恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； 结合中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【详解】由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； 函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为1； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为1； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点1、，故零点的个数为2； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、1，故零点的个数为2； 综上所述：若或，零点的个数为1； 若且，零点的个数为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $