第21章 二次函数与反比例函数重难点题型训练（十大题型）2026-2027学年 沪科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数核心考点，以题型为载体构建从图像性质到参数计算的递进式训练体系，典例覆盖中考高频考法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数|6题型（含图像平移、增减性等）|围绕图像变换、性质应用及参数求解，强调数形结合|从基础图像性质到综合参数计算，形成“图像-性质-应用”逻辑链| |反比例函数|5题型（含k的几何意义、综合应用等）|聚焦k值求解，结合线段比例、面积等几何条件|以k的几何意义为核心，从单一条件到多函数综合，构建“几何条件-代数表达”转化路径|

二次函数与反比例函数 重难点题型 目录 模块一：二次函数 1 题型1：二次函数图像的平移变换 1 题型2：二次函数图像的增减性 1 题型3：二次函数的图像与系数关系 2 题型4：各类函数的图像与系数关系 4 题型5：根据抛物线与直线交点个数求参数范围 6 题型6：根据抛物线上点的关系求参数范围 8 模块二：反比例函数 10 题型7：根据线段比例关系求系数k 10 题型8：根据图形面积求系数k 11 题型9：根据坐标求系数k 14 题型10：两条双曲线求k 15 题型11：一次函数与反比例函数图像解不等式 17 模块一：二次函数 题型1：二次函数图像的平移变换 【例1】二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式1-1】将抛物线通过以下平移能得到抛物线的是（   ） A．向左平移1个单位长度，向上平移5个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度 【变式1-2】抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（    ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 题型2：二次函数图像的增减性 【例2】已知抛物线经过点则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（4，0），O（0，0），B（﹣2，y1），C（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【变式2-2】二次函数（m为常数）的图象经过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型3：二次函数的图像与系数关系 【例3】已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（   ） A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【变式3-1】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论： ①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0． 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】如图是抛物线（、、为常数，且）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点．下列结论： ①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，有；⑥（实数）其中正确的是（    ）． A．①②③⑥ B．①③④ C．①③⑤⑥ D．②④⑤ 【变式3-4】抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型4：各类函数的图像与系数关系 【例4】在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式4-1】已知二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（     ） A．B．C． D． 【变式4-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C．D． 题型5：根据抛物线与直线交点个数求参数范围 【例5】在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线过原点，则t的值为________． （2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__． 【变式5-2】已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）若，则b=______． （2）若，，抛物线与线段没有交点，则b的取值范围为______． 题型6：根据抛物线上点的关系求参数范围 【例6】已知抛物线的函数关系式：（其中x是自变量）． （1）若点在此抛物线上，则a的值为______． （2）设此抛物线与x轴交于点，，若，且抛物线的顶点在直线的右侧，则a的取值范围为______． 【变式6-1】已知抛物线与x轴交于，，若，则的取值范围为______． 【变式6-2】已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为． （1）______； （2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 【变式6-3】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是_______． 模块二：反比例函数 题型7：根据线段比例关系求系数k 【例7】如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式7-1】如图，点A，B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，BC⊥y轴于点C、连结AC．若OC＝1，OD＝OE，AC＝AD，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣4 D．﹣ 【变式7-2】如图点、D在反比例函数 ()的图象上轴于点C，轴于点A，轴于点E，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点轴于点轴于点，交于点．若，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 题型8：根据图形面积求系数k 【例8】如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【变式8-1】如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】如图，A、B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，垂足为C，AC交OB于点D，若D为OB的中点，的面积为12，则的值为（  ）    A．36 B．32 C．28 D．14 【变式8-3】如图，在平面直角坐标中，点在函数的图象上，轴于点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【变式8-4】如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例8.1】如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【变式8.1-1】如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为________．    题型9：根据坐标求系数k 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，则k的值为________． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则_____．    【变式9-2】如图，等腰直角三角形中，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点恰好落在双曲线上，则的值为______． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过直角顶点C．若OA＝7，OB＝3，则k的值为 ___． 题型10：两条双曲线求k 【例10】如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　）    A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 【变式10-1】如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为3．则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-2】如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例10.2】如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　）    A．5 B．4 C．10 D．20 【变式10.1-1】如图所示，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图象于点A和点B，若点P在x轴上运动，则的面积等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型11：一次函数与反比例函数图像解不等式 【例11】已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【变化11-1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． 【变式11-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 2 / 51 3 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数与反比例函数 重难点题型 目录 模块一：二次函数 1 题型1：二次函数图像的平移变换 1 题型2：二次函数图像的增减性 2 题型3：二次函数的图像与系数关系 4 题型4：函数的图像与系数关系 12 题型5：根据抛物线与直线交点个数求参数范围 16 题型6：根据抛物线上点的关系求参数范围 20 模块二：反比例函数 25 题型7：根据线段比例关系求系数k 25 题型8：根据图形面积求系数k 30 题型9：根据坐标求系数k 39 题型10：两条双曲线求k 43 题型11：一次函数与反比例函数图像解不等式 47 模块一：二次函数 题型1：二次函数图像的平移变换 【例1】二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 【变式1-1】将抛物线通过以下平移能得到抛物线的是（   ） A．向左平移1个单位长度，向上平移5个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，分别求出平移前后抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标判断出平移方式即可得到答案． 【详解】解：， ∴平移前抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线， ∴顶点坐标为， ∴平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度， 故选：A． 【变式1-2】抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（    ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 【答案】D 【难度】0.65 【分析】将化为顶点式，找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵ ∴原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（2，1）， ∴抛物线是抛物线向右平移2个单位得到. 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象平移的性质，熟练掌握将二次函数一般式化为顶点式及点的平移的坐标变化规律是本题的解题关键． 题型2：二次函数图像的增减性 【例2】已知抛物线经过点则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线对称轴，再结合抛物线开口方向，根据各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向下，在处取得最大值，且点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵点在对称轴上， ∴是最大值， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 而， ∴． 综上，， 故选：A． 【变式2-1】若抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（4，0），O（0，0），B（﹣2，y1），C（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（4，0）、O（0，0）两点，开口向下，对称轴为x＝2，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（4，0），O（0，0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝2， ∴当x≤2时，y随x的增大而增大， ∵﹣2＜2， ∴y1＜y2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 【变式2-2】二次函数（m为常数）的图象经过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数的性质判断、、的大小是解题的关键．先求出函数的对称轴，和开口方向，再根据点，，的坐标特征，由函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， 对称轴直线为， ∴开口方向向下，与对称轴的距离越小的值所对应的函数值越大 当时，随的增大而减小， ∵，，，， 则 故选：B． 题型3：二次函数的图像与系数关系 【例3】已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（   ） A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【难度】0.35 【来源】安徽合肥市庐江县2025-2026学年度第一学期期末教学质量抽测九年级数学试题（A） 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数的图象确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴得出对称点，然后特殊值代入进行求解即可； ③根据特殊值得出，利用平方差公式进行整理即可； ④根据对称轴得出，然后根据特殊值求解即可； ⑤根据二次函数的顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的右侧， ∴符号相异， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①错误； ②根据对称轴为直线， ∴与关于对称轴对称， ∵当时，， ∴当时，，即； 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④根据对称轴为直线得，， ∴， 当时，， ∴ ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时，值最大，即最大， ∴，（）， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为②④⑤， 故选：A． 【变式3-1】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论： ①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0． 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.4 【来源】山东省德州市陵城区江山实验学校2019年九年级上学期期中数学试题 【分析】①根据二次函数图像与系数的关系可知：开口向下，a＜0；对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a、b异号，则b＞0；图像与y轴交于正半轴，则c＞0，据此可判断； ②根据抛物线对称性，可得图像与x轴的另一交点为（5,0），由图像可知当x=3时，y＞0，可判断； ③找出N（，y2）关于对称轴的对称点，再用二次函数的增减性判断大小； ④根据对称轴x=2，可得，将（-1,0）代入函数解析式可得，最后B在（0，2）与（0，3）之间可判断a的取值范围. ⑤由，可得. 【详解】①抛物线开口向上，∴ 对称轴，∴（左同右异） 抛物线与y轴交于正半轴，∴ ∴abc＜0，故①正确； ②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=2， ∴图像与x轴的另一交点为（5,0），当x=3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②正确； ③N（，y2）关于对称轴x=2的对称点为（，y2）， ，根据抛物线图像可知在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2，故③错误； ④对称轴，∴， 将（-1,0）代入二次函数可得，∴，， ∵，∴，解得﹣＜a＜﹣，故④正确； ⑤由④中可得，故⑤正确. 所以选D. 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，利用数形结合的思想是解题的关键. 【变式3-2】如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.4 【来源】天津市南开区2020~2021学年第一学期九年级第一次月考数学 试题 【分析】①先根据抛物线的开口向下可得，再根据对称轴可得，然后根据抛物线与y轴的交点可得，由此即可得；②根据当时，即可得；③根据和即可得；④先根据对称轴可得，再根据当时，即可得；⑤先根据可得方程的一个根为，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴负半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， 即，则结论②错误； 当时，，即， ， ， ，即，则结论③正确； 由函数图象可知，当时，， 即， 将代入得：， 整理得：，则结论④错误； ， ， 关于的一元二次方程有一个根为， 设另一个根为m， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得， 即关于的一元二次方程有一个根为，结论⑤正确； 综上，正确的结论个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【变式3-3】如图是抛物线（、、为常数，且）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点．下列结论： ①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，有；⑥（实数）其中正确的是（    ）． A．①②③⑥ B．①③④ C．①③⑤⑥ D．②④⑤ 【答案】C 【难度】0.65 【来源】山东省烟台市莱州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 【分析】根据拋物线的顶点坐标可得对称轴为，由此得出①符合题意；根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，可知c为正结合、即可得出②不符合题意；抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，可得抛物线与x轴的另一个交点为，可得，可得③符合题意；④不符合题意；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断，故⑤符合题意；当时有最大值，，即可判断⑥符合题意． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，则，故①符合题意； 抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则，， 而， ∴，故②不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故④不符合题意； ∴时，，故③符合题意； 由图象可知，当时，，故⑤符合题意； 因为时，有最大值，所以， 即（实数），故⑥符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、一次函数图象、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式3-4】抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【来源】辽宁省抚顺市新抚区2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．根据对称轴为，得出，由此判断①，将点代入，结合得出由此判断②，再由开口方向，和增减性来比较的大小，由此判断③，根据图象与轴的交点和对称性判断④，将化成顶点式，得出当时，函数有最大值，再由，，和得出当时，函数有最大值，由此判断⑤即可． 【详解】对称轴为直线，抛物线开口向下， ，， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 与关于对称轴对称， ， ，故③正确； 与关于对称轴对称， 当时，， ，故④错误； ， ， 当时，函数有最大值， 直线过点， ， 由②可知，， ， ， 当时，函数有最大值，故⑤正确． 正确的有①②③⑤共4个． 故选：C． 题型4：函数的图像与系数关系 【例4】在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】安徽省合肥市庐江县2026年中考一模九年级数学试卷 【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断． 【详解】解：由抛物线可得，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限 故D选项符合题意． 【变式4-1】已知二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2019年河南省（信阳市淮滨县王店二中）普通高中招生考试数学第五次模拟试卷 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出、、是解题的关键. 根据二次函数图象可找出、、,进而可得出、，再根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数的图象，即可找出一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，对照四个选项即可得出结论. 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴负半轴上， ， ， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限. 故选C. 【变式4-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】广西南宁三十七中、三中联考2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题 【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象所在的象限，再由当时，可知，故可得出反比例函数的图象在二四象限，据此得出结论． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵与轴的正半轴相交， ∴， ∴一次函数的图象经过第一二四象限， ∵当时，， ∴， ∴反比例函数的图象在二四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键． 【变式4-3】二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2023年辽宁省朝阳市部分学校联考二模数学模拟试题 【分析】首先利用二次函数图象得出a，b，c的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案． 【详解】解：由二次函数开口向上可得：， 对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则， 与y轴的交点在原点下方，则， ∴，，， 故反比例函数的图象分布在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 观察四个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b，c的取值范围是解题的关键． 题型5：根据抛物线与直线交点个数求参数范围 【例5】在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【难度】0.65 【来源】安徽省 合肥市第四十六中学2024—2025学年上学期第一次月考九年级数学试题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答． （2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵抛物线的解析式为． 观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件， 可得； 当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立①②得 并整理得： ， ∵， ∴， ∴满足条件， 综上所述，满足条件的a的值为或， 故答案为：或． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线过原点，则t的值为________． （2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__． 【答案】 或2 【难度】0.4 【来源】2021年浙江省金华市、丽水市初中毕业生学业考试模拟数学试卷（二） 【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可； (2) 把点与点分别代入解析式，求出t的值,再根据抛物线开口确定t的范围． 【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线得， ，解得，，； 故答案为：或2 (2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线； 把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是； 把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是； 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理． 【变式5-2】已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）若，则b=______． （2）若，，抛物线与线段没有交点，则b的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.4 【来源】2022年安徽省铜陵市义安区中考模拟考数学试题 【分析】（1）把A(-1,0)代入，求解即可； （2）分三种情况：当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点；当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；分别求解即可． 【详解】解：（1）把A(-1,0)代入，得 0=-b-2，解得：b=-， 故答案为：-； （2）抛物线对称轴为：直线x=， 当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点， ∴-b-2<0，解得：b>-， ∴-<b<-1， 当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点， ∴，解得：-1≤b≤1， 当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点， ∴+b-2<0，解得：b<, ∴1<b<， 综上，当-<b<时，线段MN与抛物线无交点， 故答案为：-<b<． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与线段无交点问题，熟练掌握抛物线的图象与性质，利用数形结合求解是解题的关键． 题型6：根据抛物线上点的关系求参数范围 【例6】已知抛物线的函数关系式：（其中x是自变量）． （1）若点在此抛物线上，则a的值为______． （2）设此抛物线与x轴交于点，，若，且抛物线的顶点在直线的右侧，则a的取值范围为______． 【答案】 ，， 【难度】0.65 【来源】安徽省六安市汇文中学2022--2023学年九年级下学期综合素质评估（一）数学试题 【分析】（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值， （2）本题可从两方面考虑：①根据，可得出一个a的取值范围，②由于抛物线的顶点在直线的右侧，也就是说抛物线的对称轴在的右侧，由此可得出另一个a的取值范围．结合两种情况即可求出a的取值范围． 【详解】解：（1）∵点在， ∴， 整理得：， 解得，，， 故答案为：，． （2）由题意得， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∵的对称轴为直线， ∴此时， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线的右侧， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特点及图象与x轴的交点的坐标，灵活运用二次函数的性质解题是关键． 【变式6-1】已知抛物线与x轴交于，，若，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【来源】浙江省慈溪市慈吉实验学校2025-26学年上学期九年级数学一月选拔卷 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值；根据根与系数的关系，由抛物线与x轴的交点坐标可得b和c关于t的表达式，进而得到关于t的二次函数，再根据t的取值范围确定的范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于和， ∴t和是方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 设，是二次函数，开口向上，关于直线对称， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式6-2】已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为． （1）______； （2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 【答案】 1 或 【难度】0.65 【来源】安徽省合肥市庐江县2026年中考一模九年级数学试卷 【分析】（）代入可得，即，然后两边同时除以即可； （）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可． 【详解】解：（）代入可得，即， ∵， ∴， ∴； （）抛物线顶点纵坐标为， 由题意得：， ∴或， 解得或， 由（）得， ∴， ∴或， ∴或． 【变式6-3】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.4 【来源】福建省 厦门市思明区松柏中学2025-2026学年上学期九年级数学10月月考卷 【分析】此题考查了二次函数的性质，首先根据题意得到抛物线开口向下，得到，对称轴为直线，然后得到，代入得到，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为， ∴抛物线开口向下， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵与轴一个交点的横坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 模块二：反比例函数 题型7：根据线段比例关系求系数k 【例7】如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】浙江省温州市2021年中考数学真题 【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论． 【详解】解：如图， 设OD=m， ∵ ∴OC= ∵轴于点，轴于点， ∴四边形BEOD是矩形 ∴BD=OE=1 ∴B(m，1) 设反比例函数解析式为， ∴k=m×1=m 设AC=n ∵轴 ∴A（，n） ∴，解得，n=，即AC= ∵AC=AE ∴AE= 在Rt△AEF中，， 由勾股定理得， 解得，（负值舍去） ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式7-1】如图，点A，B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，BC⊥y轴于点C、连结AC．若OC＝1，OD＝OE，AC＝AD，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣4 D．﹣ 【答案】D 【难度】0.65 【来源】河南省洛阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得AC＝AD＝，OD＝CF＝k，AF＝﹣1＝ ，然后根据勾股定理得到，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E， ∴四边形BEOC是矩形， ∴BE＝OC＝1， 把y＝1代入，求得x＝k， ∴B（k，1）， ∴OE＝﹣k， ∵OD＝OE， ∴OD＝k， ∵BC⊥y轴于点C， 把x＝k代入得，y＝， ∴AC＝AD＝， ∵OD＝CF＝-k，AF＝﹣1＝， 在Rt△ACF中，AC2＝CF2+AF2， ∴，解得k＝±， ∵k<0， ∴k＝﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，表示出线段长是解题的关键． 【变式7-2】如图点、D在反比例函数 ()的图象上轴于点C，轴于点A，轴于点E，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了反比例函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握反比例函数解析式，勾股定理是解题的关键． 如图，记的交点为，由题意知，，，设，则，，，将代入得，，即，当时，，即，，由勾股定理得，，即，然后求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，由题意知，，， 设， ∵， ∴， ∴，， 将代入得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点轴于点轴于点，交于点．若，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【来源】吉林省长春市二道区第一〇八学校2022-2023学年八年级下学期学情调研数学试题 【分析】根据A、B两点的坐标求出，由得到，再由反比例函数的性质得到，由此求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正确推出以及是解题的关键． 题型8：根据图形面积求系数k 【例8】如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【难度】0.66 【来源】第27章 反比例函数（1）——考点考题点点通 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 【变式8-1】如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【来源】山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年九年级下学期期中数学试题 【分析】解：延长交轴于点，根据，轴，轴，证得四边形为矩形，设点，则得到，，由四边形的面积为12，得到，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵，轴， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴， 即，解得． 【变式8-2】如图，A、B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，垂足为C，AC交OB于点D，若D为OB的中点，的面积为12，则的值为（  ）    A．36 B．32 C．28 D．14 【答案】B 【难度】0.65 【来源】吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年下学期九年级数学第十四周大练习试题 【分析】先设点坐标为，得出点的坐标为，的坐标为，再根据的面积为12，列出关系式求得的值． 【详解】解：设点坐标为， 点为的中点， 点的坐标为， ， 又轴，在反比例函数图象上， 的坐标为， ， 的面积为12， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据的面积为12列出关系式是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标中，点在函数的图象上，轴于点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2024学年吉林省长春市新解放学校初中部九年级下学期第一次中考模拟数学模拟预测题 【分析】本题考查了反比例函数综合题，由，的面积为3，得到的面积为1，则的面积为4，设点坐标为，则，，，，利用得到的值，即为的值．点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：连，如图， ∵，的面积为3， ∴的面积为1， ∴的面积为4， 设点坐标为，则，，而点为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 把代入双曲线， ∴． 故选：C． 【变式8-4】如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【来源】四川省广安市广安友谊中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 【例8.1】如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【来源】安徽合肥瑶海众望初级中学等校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， 解得， ，， ，，， ， 由题意得， 则， ， 解得． 故答案为：． 【变式8.1-1】如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为________．    【答案】 【难度】0.65 【来源】辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴的面积的面积， ∵点A，C为函数图象上的两点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 则， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 题型9：根据坐标求系数k 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，则k的值为________． 【答案】 【难度】0.5 【来源】安徽合肥市庐江县2025-2026学年度第一学期期末教学质量抽测九年级数学试题（A） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过A作轴于C，过B作于D，证明，根据全等三角形的性质，可以得到点B的坐标，由点B在反比例函数的图象上，从而可以得到k的值． 【详解】解：如图，过A作轴于C，过B作于D，则， ∵顶点A的坐标为， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则_____．    【答案】 【难度】0.65 【来源】04 做真题 试卷5 开封九年级第一学期期末调研检测试卷 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，中点坐标，求反比例函数的解析式；先根据等腰直角三角形的到点B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值解题． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴点的坐标为， ∴的中点C的坐标为， 又∵反比例函数的图象经过， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】如图，等腰直角三角形中，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点恰好落在双曲线上，则的值为______． 【答案】5 【难度】0.85 【来源】2025年5月湖北省孝感市文昌中学九年级中考数学模拟试题 【分析】本题考查反比例函数的综合问题，全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，过点作轴于点，证明，从而可求出的坐标，进而可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：如图所示，过点作轴交轴于， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 将代入得：， 故答案为：5． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过直角顶点C．若OA＝7，OB＝3，则k的值为 ___． 【答案】25． 【难度】0.65 【来源】重庆市沙坪坝区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题 【分析】作CE⊥y轴，CD⊥x轴，根据题意证明，然后根据正方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作CE⊥y轴，CD⊥x轴． 又∵∠O=90°， ∴四边形ODCE是矩形． ∴∠ECD=90°， 又∵∠BCA=90°， ∴∠ECB=∠DCA， ∴在和中， ∴， ∴，EB=DA， ∴四边形ODCE是正方形． ∴设EB=DA=x，OD=OA-DA=7-x，OE=OB+BE=3+x， ∵OE=OD， ∴7-x=3+x， 解得：x=2． ∴OD=7-2=5，OE=3+2=5． ∴C点坐标为， 将代入y＝ 得：， 解得：k=25． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了反比函数图像，正方形性质和全等三角形性质等，解题的关键是根据题意作出辅助线． 题型10：两条双曲线求k 【例10】如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　）    A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 【答案】A 【难度】0.65 【来源】广西南宁银海三雅学校2025-2026学年度春季学期综合评价一 九年级数学 【分析】△ABC的面积＝AB×yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m）， 则：△ABC的面积＝AB×yA＝•（﹣）•m＝6， 则k1﹣k2＝12． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题． 【变式10-1】如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为3．则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.4 【来源】安徽省合肥市庐阳区2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据三角形的面积求参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 假设点的纵坐标为，则点的纵坐标也为，表示出两点的横坐标，然后根据三角形的面积列出方程求参数即可． 【详解】解：假设点的纵坐标为，则点的纵坐标也为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式10-2】如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山西省长治市部分学校2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度． 根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点、点的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点， 轴， 设， ， ， 故选：A． 【例10.2】如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　）    A．5 B．4 C．10 D．20 【答案】A 【难度】0.65 【来源】【市级联考】河南省濮阳市2019届九年级（上）期末模拟考试数学试题 【分析】设点A（a，），则点B坐标（﹣ ，），从而求得三角形的面积. 【详解】设点A（a，） ∵AB∥x轴 ∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y= 图象上， ∴点B坐标（﹣ ，） ∴S△ABP=（a+）×=5 故选A． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是设点A（a，），利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高． 【变式10.1-1】如图所示，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图象于点A和点B，若点P在x轴上运动，则的面积等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【来源】【万唯原创】2019年河北省中考数学逆袭卷-2019年逆袭特训12 13 【详解】解：设点．∵轴，∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数图象上．∴点B坐标．∴. 题型11：一次函数与反比例函数图像解不等式 【例11】已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）或． 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区贺州市八步区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB的解析式即可； （2）不等式的解集为直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ． ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为． 点和点在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数表达式为， (2)点坐标为，点坐标为， 不等式解释函数的图像在函数图像的上方， ∵满足条件的图像部分是在B点右侧,y轴左侧或A点右侧， 不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键． 【变式11-1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2)当或时， 【难度】0.65 【来源】甘肃省兰州市第五十二中学2023-2024学年上学期期末考试九年级数学试题 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象位于反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，． 【变式11-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或． 【难度】0.85 【来源】 河南省洛阳市宜阳县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及函数解析式的求解，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解决本题的关键． （1）先由点求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求解点，再将点A与点B代入一次函数解析式求解即可； （2）观察两个函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ，即， 反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数中， ，即， 点， 由条件可得，解得， 一次函数解析式为． （2）解：由图象可知： 不等式表示一次函数图象位于反比例函数图象上方包括交点部分， ∴解集为或． 2 / 51 3 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $