精品解析：北京市东城区二中教育集团（北京市第二中学分校、北京第二十四中学等）2025-2026学年八年级上学期数学开学考试卷

北京二中教育集团2025—2026学年度第一学期 初二数学综合练习试卷 第Ⅰ卷（选择题　共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 本题考查了坐标与象限的关系，熟练掌握象限内点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限的符号特征，因此点位于第二象限． 故选：B． 2. 以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于C选项：∵， ∴能组成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能组成三角形． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. ＝－2 B. ＝9 C. ＝±3 D. ＝±3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A．原式=|﹣2|=2，错误； B．原式=3，错误； C．原式=3，错误； D．原式=±3，正确． 故选D． 考点：1．立方根；2．平方根；3．算术平方根． 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意； B、由可得，原不等式不正确，不符合题意； C、由可得，原不等式不正确，不符合题意； D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意； 故选：A 5. 已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程组的解满足每个方程，先利用已知方程求出未知数的值，得到完整的解，再代入各选项验证即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得到， 解得， 即方程组的解为， 将解代入各选项验证：A、，不成立，不符合题意； B、，不成立，不符合题意； C、，等式成立，符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：C． 6. 某地去年月平均气温如图1，该地某家庭去年每个月的用电量如图2，根据统计图表信息判断，下列对该家庭去年用电量的说法正确的是（ ） A. 月平均气温最低的月份用电量最少 B. 月平均气温最高的月份用电量最大 C. 月的用电量随着平均气温的升高而增加 D. 月的用电量随着平均气温的降低而减少 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图获取信息逐一排除即可． 【详解】解：A、月平均气温最低的月份（1月）用电量为110千瓦时，但用电量最少的是5月（约60千瓦时），因此A错误； B、月平均气温最高的月份是8月（约），用电量为120千瓦时，也是用电量最大的是月份，因此B正确； C、月的用电量变化趋势为：用电量随着气温的升高先减少后增加，因此C错误； D、月的用电量变化趋势为：用电量随着气温的升高先减少后增加，因此D错误． 7. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】D 【解析】 【分析】通过作、到直线的垂线，利用相似三角形得到与的比值等于与的比值，结合面积关系逐一分析三个说法． 【详解】解：如图，分别作直线于，直线于，则，， ∵直线于，直线于 又 即 即， ① 当，即为中点时， ，，为绝对值的最小值， 仅存在1个这样的点，故①错误； ② 由面积关系，， 得， 点运动时长度变化，故的值随的位置变化而变化，故②错误； ③ 由，得，该式对所有符合条件的点恒成立，即有无数个点满足，故③错误， 综上，正确的个数为0． 第Ⅱ卷（非选择题　共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若实数x的平方等于5，则实数x的值为______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根掌握以上知识是解题的关键；根据平方根的定义即可求解； 【详解】解：∵实数x的平方等于5，即， ∴解得：， 故答案为：； 10. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 【答案】 五 【解析】 【分析】设这个多边形边数为n，由多边形的每一个内角都是可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， 解得， ∴这个多边形是五边形． 11. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 12. 已知线段轴，且，点A的坐标为，则点 B的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同，先得到点B的横坐标为，再根据线段的长为5求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点A的坐标为， ∴点B的横坐标为， ∵线段的长为5， ∴点B的纵坐标为或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 13. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 【答案】135° 【解析】 【分析】直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 14. 如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长，长，为方便游人观赏，在公园里修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），小路宽，则小明同学所走的路径长为________米． 【答案】83 【解析】 【分析】小明行走的虚线是多段折线，可以将所有线段按方向分为两类：平行于的水平线段，平行于的竖直线段，可以通过平移分别计算长度之后再求和．这里在计算竖直方向线段长度时，要注意小路宽，路径在小路中间，因此竖直方向的所有线段向边平移后，左右两边的竖直路径比的长度少． 【详解】解：由题意得： 小明所走的路径长米． 15. 体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重______（结果保留整数） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了不等式的运用．根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为， ∴， 解得，， 当他的值不超过时，， 解得，， 故需减重， 故至少减重． 故答案为：13． 16. 如图，将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，边始终与边相交于点（点不与、重合）．已知线段、分别为、的角平分线，、相交于点，若，．则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，进而求出，利用角平分线的定义得出 ，，在 中利用内角和定理表示出，根据点 在上且不与端点重合，确定的取值范围，从而求出 的范围． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， ∴， ∵ 是的角平分线， ∴， ∵ 是 的角平分线 ， ∴， 在 中，， ∴， ∵ 边 始终与边 相交于点（点不与、重合）， ∴ 射线在内部， ∴，即 ， ∴， ∴，  即． 三、解答题（共68分，其中第17、23-26题每题5分，第18题10分，第19、22题每题6分，第20题4分，第21题3分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、乘方、算术平方根．先计算立方根、绝对值、乘方、算术平方根，再去括号计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程或方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 得 ， 将代入①得 ， 该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 解得或． 19. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0、1、2． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用同底数幂相乘、积的乘方法则分别计算两项，再合并同类项求出结果． 【详解】解：原式 ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，计算后得到结果． 【详解】解： ． 22. 先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】化简得，值为 【解析】 【分析】根据得，求出、值，化简代入、值即可． 【详解】解：化简 ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ． 23. 如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用得到，证明，即可得到，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】略 24. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解 ，， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 略 25. 在幂的运算中规定：若（且，是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，，用含的代数式表示． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用幂的乘方的逆用进行运算即可； （）利用同底数幂的乘法逆用进行运算即可； （）利用幂的乘方逆用，完全平方公式，单项式乘以多项式进行运算即可． 【小问1详解】 解：由条件可知， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由条件可得， ∴ ． 26. 有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． （1）请你判断与的大小，并证明； （2）若满足条件的整数有且只有6个，求的值． 【答案】（1）， 证明：， 则 ∵为正整数 ∴ ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算出与，再求出差即可比较出大小； （2）根据题意得出关于m的方程，解之即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 即的整数有且只有6个， ∴这6个整数为 ∵为正整数 ∴是正整数， ∴， ∴． 27. 如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． （1）请你依据题意，补全图形； （2）试判断线段与线段的位置关系，并证明； （3）若，求证：点是线段的中点． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）， 证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合平行线的判定证明即可； （3）根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作． 已知点，，，． （1） ， ； （2）记线段，组成的图形为，点的坐标为，若，求的取值范围； （3）已知图形是以点为中心，对角线的长为的正方形，其两条对角线所在的直线均与轴或轴垂直，记图形为正方形，若，请你直接写出的取值范围． 【答案】（1）6；8 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）可在平面直角坐标系中找到点，点，点和点的坐标，并作出图形，再利用数形结合，找出点到线段 的最短距离，线段和线段之间的最短距离； （2）理解点T与W间的“闭距离”即为点T到或的距离，再根据点到直线的距离计算方法得出答案； （3）分析旋转正方形与固定正方形的相对位置，分类讨论：①当图形在图形的右边时，②当图形在图形的内部时，③当图形只有一个顶点在图形外时，④当图形在图形的左边时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解∶ 如图 ∵点，，，， ∴轴， ∴，； 【小问2详解】 解：如图， 由题意可知，点T与W间的“闭距离”即为点T到或的距离， ∵点的坐标为， ∴情况一：点T到的距离为：，解得； 情况二：点T到的距离为：，解得； ∴综上可得的取值范围是或． 【小问3详解】 解：∵图形是以点为中心，对角线的长为的正方形，其两条对角线所在的直线均与轴或轴垂直， ∴图形左边顶点的坐标为，右边顶点的坐标为，上边顶点的坐标为，下边顶点的坐标为， ∵图形为正方形，点，，，， ∴正方形的边长为8，中心为 ①当图形在图形的右边时，如图，此时， 最左点与正方形右边正对时，最近距离为， ∵ ∴ 解得； ②当图形在图形的内部时，如图， 当图形中最下端点与的距离，则图形中最右端点与的距离，不符合题意；图形中最右端点与的距离，则图形中最下端点与的距离，不符合题意； ∴，解得， ∴； ③当图形只有一个顶点在图形外时，如图 显然有，不符合题意； ④当图形在图形的左边时，如图， 最右点与正方形左边正对时，最近距离为， ∵ ∴ 解得； 综上可得的取值范围为：或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2025—2026学年度第一学期 初二数学综合练习试卷 第Ⅰ卷（选择题　共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. ＝－2 B. ＝9 C. ＝±3 D. ＝±3 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某地去年月平均气温如图1，该地某家庭去年每个月的用电量如图2，根据统计图表信息判断，下列对该家庭去年用电量的说法正确的是（ ） A. 月平均气温最低的月份用电量最少 B. 月平均气温最高的月份用电量最大 C. 月的用电量随着平均气温的升高而增加 D. 月的用电量随着平均气温的降低而减少 7. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 第Ⅱ卷（非选择题　共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若实数x的平方等于5，则实数x的值为______________ ． 10. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 11. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 12. 已知线段轴，且，点A的坐标为，则点 B的坐标为_________． 13. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 14. 如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长，长，为方便游人观赏，在公园里修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），小路宽，则小明同学所走的路径长为________米． 15. 体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重______（结果保留整数） 16. 如图，将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，边始终与边相交于点（点不与、重合）．已知线段、分别为、的角平分线，、相交于点，若，．则的取值范围是________． 三、解答题（共68分，其中第17、23-26题每题5分，第18题10分，第19、22题每题6分，第20题4分，第21题3分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解下列方程或方程组 （1）； （2）． 19. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 先化简，再求值：，其中、满足． 23. 如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 24. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 25. 在幂的运算中规定：若（且，是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，，用含的代数式表示． 26. 有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． （1）请你判断与的大小，并证明； （2）若满足条件的整数有且只有6个，求的值． 27. 如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． （1）请你依据题意，补全图形； （2）试判断线段与线段的位置关系，并证明； （3）若，求证：点是线段的中点． 28. 对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作． 已知点，，，． （1） ， ； （2）记线段，组成的图形为，点的坐标为，若，求的取值范围； （3）已知图形是以点为中心，对角线的长为的正方形，其两条对角线所在的直线均与轴或轴垂直，记图形为正方形，若，请你直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $