2026年八年级数学秋季开学学情自测卷（北京专用，范围：新教材北京版七下+八上第10～11章）

**基本信息** 2026年八年级开学数学学情卷，覆盖七下及八上分式、实数等知识，以《算法统宗》古题、春节非遗等为情境，通过基础题（如不等式性质）、能力题（不等式组整数解）、创新题（类比探究方根、友好分式新定义）梯度设计，考查数学眼光（几何直观）、思维（运算推理）、语言（模型应用）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|不等式、因式分解、分式性质|4题《算法统宗》客房问题，渗透模型意识| |填空|8/24|二次根式、图形平移、统计量|15题次数分配表，强化数据意识| |计算|10/72|分式方程应用、几何探究、新定义|22题类比方根培养创新意识，25题三角板平行线探究发展几何直观与推理能力|

2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学•全解全析 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，不等式两边同乘同一个正数，不等号方向不变， ，故A错误； 不等式两边同减同一个数，不等号方向不变， ，故B错误； 不等式两边同乘同一个负数，不等号方向改变， ，故C正确； 举反例：当，时，满足，但，故D错误； 故选：C． 2．下列式子从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，是整式乘法运算，不是因式分解，不符合题意； 选项B中，，把多项式变形为几个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意； 选项C中，，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 选项D中，，等式左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求，不符合题意． 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，将和替换为扩大后的数值，化简后与原分式对比即可得到结果，熟练掌握分式的化简方法是解题关键。 【详解】解：把和都扩大倍后，新分式的分子为，分母为 新分式为 分式的值缩小为原来的 4．《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种住宿方案中客人总人数不变的等量关系列方程组． 【详解】解：∵每间住7人多7人， ∴，即， ∵每间住9人空出1间房，实际入住房间数为， ∴，即， 联立得． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 6．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． ∵的展开式中不含项， ∴， ∴． 7．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根可得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数为，且点在点右侧， 点表示的数为， 点 表示的数的 相反数为 ． 8．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 10．如图，已知中，，10，把沿射线方向平移至，平移距离为4，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据平移得到，，，根据梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由平移得，，，， ∵， ∴， ∴． 11．已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据不等式组有两个整数解，确定解集右边界的取值范围，进而计算得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 关于的不等式组有两个整数解， ∴两个整数解为0，1， ∴， 解得． 12．如图，，，平分，，且，则__________________ ． 【答案】/ 【分析】根据平行线的性质得，，再根据角平分线的定义得，由于，则，所以，由于，所以． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 14．若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 15．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为________． 成绩(分) 次数(人) 【答案】 【分析】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定、之值． 由于全班共有人，则，结合众数为分，中位数为分，分情况讨论即可确定、之值，从而求出之值． 【详解】解：全班共有人， ， 又众数为分， ，， ， 当时，，中位数是第、两个数的平均数，都为分，则中位数为分，符合题意； 当时，，中位数是第、两个数的平均数，则中位数为分，不符合题意； 同理当，，，，，时，中位数都不等于分，不符合题意． ，． ． 故答案为． 16．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为______ 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 三、计算题：共10小题，共72分． 17．（5分）计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；····················2分 （2）解： ．····················5分 18．（5分）计算： (1)； (2)求等式中的值：． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先分别化简各项，再合并同类项即可得到结果； （2）利用平方根的定义开平方，分情况计算得到的值即可． 【详解】（1）解：····················2分 （2）解：对于等式， 根据平方根的定义开平方得： ， 当时， 解得， 当时，解得， 或．····················5分 19．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求该不等式组的整数解． 【答案】解集为，，整数解为 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为，····················4分 数轴表示见答案， ∴原不等式组的整数解为．····················6分 20．（6分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先通过消元法求出方程组中x、y关于m的表达式， 再代入已知不等式， 解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：， ，得 ， ，得 ， 解得，····················2分 把代入①，得 ， 解得，····················4分 ∵， ∴， 解得．····················6分 21．（6分）2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 【答案】甲种春联的单价为6元，乙种春联的单价为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元，利用数量总价单价，结合用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每副甲种春联的单价），再将其代入中，即可求出每副乙种春联的单价． 【详解】解：设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每副甲种春联的单价是6元，每副乙种春联的单价是8元．····················6分 22．（8分）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作．····················2分 ②∵， ∴32的五次方根为2．····················3分 （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴．····················5分 （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，．····················8分 23．（8分）在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：设，， 则 ． ，， ． ． 【分析】本题考查分式的约分，多项式乘以多项式，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法以及分式的基本性质，进行化简即可； （2）设，，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设，，则，， 则原式； 故答案为：，．····················4分 （2）略····················8分 24．（8分）当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解集的整数解即可； （2）先求出不等式组的解集为，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解分别求出的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的二次中点解集是，即， ∴二次中点解集中包含的整数解为．····················4分 （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的一次中点解集为，即， ∵一次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 解得：， 原不等式组的二次中点解集为，即， ∵二次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， ∴的取值范围为．····················8分 25．（10分）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． (1)如图1所示，将三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和点，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． (2)在（1）的情况下，分别作和的对顶角的角平分线，它们相交于点，如图2所示，请直接写出的度数． (3)若在内部作射线，过点作射线交直线于点，得到，请在图3中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】(1)解：，理由如下： 过点B作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)； 【分析】（1）过点B作，则，根据平行线的性质可得，再由角的和差关系可得结论； （2）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （3）先根据题意补全图形，过点B作，则可证明；再证明，，据此可得结论． 【详解】（1）略····················3分 （2）解：如图，过点O作， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即；····················6分 （3）解：补全图形见答案； 如图所示，过点B作， ∴， ∵， ∴； 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．····················10分 26．（10分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是．····················2分 （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ．····················4分 ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4．····················6分 （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为．····················10分 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 破。 5. 正确填涂 7 6789 6789 5678q 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 89 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C]D] 2[A][B][C]D] 6[A1B1[C][D1 效弼 3 [A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 4[A][B][C]D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题 （每小题3分，共24分) 0 10 11 12 13 14 15 16 三、解答题： 本题共10小题，共72分. 17.(5分) 警 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 25.(10分) 图 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年秋季八年级开学学情自测卷 ·: 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材北京版七年级下册全部+八年级上第10章分式第11章实数和二次根式 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 : 题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1.若m<n,则下列不等式正确的是() : : A.2m>2n B.m-1>n-1 C.-3m>-3n D.2<2 : 2.下列式子从左到右的变形，是因式分解的是() : A.(m+n)(-n)=m2-n2 B.x2+6x+9=(x+3)月 C.x2-2x+1=x(x-2)+1 D.12xy2=4x.3y2 . 3. 若把分式+上中的x和y都扩大2倍，那么分式的值() 33y A.扩大2倍 B.缩小为原来的 :C.缩小为原来的号D.不变 4.《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.” : : 大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住：如果每间客房 : 拟 住9人，就会空出一间客房没人住.问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共 .: 有y人，那么可列方程组为() y-7x=7 y-7x=7 A. 9(x-1)=y B. 9(x+1)=y [7x-y=7 7x-y=7 C. D 8 9(x-1)=y 9x-y=1 5.化简2的结果是(） : 1 : A. 8. x-2 C.x+2 D.x-2 : x+2 6.若(x+2)(x2++1)中不含x2项，则a=() 试题第1页（共6页） 可学科网·上好课 A.-2 B.2 c D. 7.如图，数轴上点E在点A右侧，点A表示的数为-1，正方形ABCD的面积为5，若AD=AE,则点E表 示的数的相反数是() B A E -43-2-101234→ A.5 B.1-V5 c.-5 D.-1+√5 8.若+B+C x2+2 (A、B、C均为常数)的计算结果为x(K中)x+2, 则A+B+2C的值为() xx+1 x+2 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 9.√27与最简二次根式m+1是同类二次根式，则为 10.如图，己知△ABC中，∠ABC=90°，BC=10,把△ABC沿射线AB方向平移至△DEF,平移距离为4， 若GC=4,则图中阴影部分的面积为 B 11.已知关于x的不等式组 2x+3>1有两个整数解，则a的取值范围是 x<2a 12.如图，AB∥CD,∠B=60°，DM平分∠BDC,DM⊥DN,且∠NDE=nx∠B,则 A M D E 13.已知-2<x<3,化简Vx+2-Vx-4)= 3.x-4 14.若x-0x-2xx-2则B= 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 15.下表为某班学生成绩的次数分配表.已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2-y之 值为 成绩（分） 20 30 40 50 60 70 80 90 次数（人） 2 3 5 6 4 16.己知x为整数且满足代数式3x+8_《=1:-L的值为整数，则x的所有取值为 +1xx2+2x 三、计算题：共10小题，共72分 17.(5分)计算、化简： 时合-2w. (2)(2x-1)+(2x-3)(2x+3). 18.(5分)计算： (1)V5+2+32-返： (2)求等式中x的值：(x-1)2=25. 5x-2≤3(x+2) 19.(6分)解不等式组： x-5 ，把解集在数轴上表示出来，并求该不等式组的整数解. ≤2x 3 试题第3页（共6页） 2x+y=4m+2 20.(6分)已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x>4y,求m的取值范围. x+5y=1+1 21.(6分)2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗.某 O 卡 商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售.经了解，乙种春联的单价比甲种 张 春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同.求甲、乙两种 春联的单价分别是多少元？ 河 游 22.(8分)类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根)的知识后，想要类比 探究四次方根、五次方根的相关知识： 若x2=a(a≥0)，则x叫a的二次方根；若x3=a,则x叫a的三次方根； 若x=a(a≥0)，则x叫a的四次方根，记作x=±a,例如：16的四次方根记为±16=±2 世 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若 则x叫a的五次方根，记作 ②32的五次方根为 (3)求x的值：3(x-2)4-243=0. 试题第4页（共6页） : : x+y+X-y=6, 23.(8分)在解关于x,y的方程组 3 2 时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设 3(x+y)-2(-y)=28 O b =6, x+y=a,x-y=b,将原方程组转化为关于a,b的方程组 32 求出a,b的值后，再代回x+y=a, 3a-2b=28, x一y=b,从而求出原方程组的解.类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题. : (1)化简： (a-2b+c)+4(a-b)b-c) a-c 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整. : : 解：设a-b=x,b-c=y, O 则a-c=x+y,a-2b+c=一（用含x,y的式子表示）. .: 将原式转化为关于x,y的式子进行化简， % 再将a-b=x,b-c=y代回，得到原式化简的结果为 尽 (2)比较(225+32025)×(2026+32026)与(2025+32026)×(2026+32025)的大小，并说明理由. : : : : 斟 24.(8分)当b>a时，若关于x的不等式组的解集为a≤x≤b,规定：a≤，1 a+也为此不等式组的一次 2 .: 中点解集，a≤x2< 3如+b为此不等式组的二次中点解集，如不等式组 x+1≤4 x-1≥01 的解集为1≤x≤3，则1≤x<2 : 4 O : 为其一次中点解集，1≤x< )为其二次中点解集 : [-x+2≥x-6 : (1)不等式组 3x-1≥-(x+1) 的二次中点解集是 二次中点解集中包含的整数解为 : ·: x+2 ≤x+1 : (2)已知关于x的不等式组 3 的一次中点解集中有且仅有3个整数解，二次中点解集中有且 2x+3≤5(L+2) 仅有1个整数解，求m的取值范围. : : : 试题第5页（共6页） 可学科网·上好课 25.(10分)在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.已知直线 4∥l,在直角三角板ABC中，∠ABC=90°. 图1 图2 图3 (1)如图1所示，将三角板ABC的直角顶点B放在平行线l和l之间，两直角边AB,CB分别与l,1,相交 于点P和点Q,得到A和∠2，试探究△和∠2的数量关系并说明理由. (2)在(1)的情况下，分别作A和∠2的对顶角的角平分线，它们相交于点O,如图2所示，请直接写出∠POQ 的度数 (3)若在∠ABC内部作射线BE,过点B作射线BF⊥BE交直线L,于点M,得到∠FMQ,请在图3中补充完 整相应图形，并直接写出A,∠FMQ与∠EBC的数量关系. 26.(10分)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积.即A-B=AB,则称分式B是分式A的“友好分 1 式如与，2因为4中2+可中2-+2所以2是中的友 11 11 1 x+2x+1 好分式” )填空：分式1 x+4 一分式3的友好分武.（项是”或”不是 2已知分式x+名是分式A的“友好分式” 3x+2 ①求分式A的表达式： ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值： )若关于x的分式一”牛？一是关于x的分式十元的发好分式”求 (m-n)x2+2 x+2+n x2+(m+n)x+ 。的最小值. 试题第6页（共6页） ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题 （ 每小题 3 分，共 24 分 ） 9 _________ 10 _________ 11 _________ 12 _________ 13 _________ 14 _________ 15 _________ 16 _________ 三、 解答题 ：本题共 10 小题，共 72 分． 17 ．（ 5 分）           ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 8 分） 23 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 8 分） 25 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材北京版七年级下册全部+八年级上第10章分式第11章实数和二次根式 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 4．《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 7．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 8．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 10．如图，已知中，，10，把沿射线方向平移至，平移距离为4，若，则图中阴影部分的面积为___________． 11．已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 12．如图，，，平分，，且，则__________________ ． 13．已知，化简______． 14．若，则________． 15．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为________． 成绩(分) 次数(人) 16．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为______ 三、计算题：共10小题，共72分． 17．（5分）计算、化简： (1)； (2)． 18．（5分）计算： (1)； (2)求等式中的值：． 19．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求该不等式组的整数解． 20．（6分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 21．（6分）2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 22．（8分）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 23．（8分）在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 24．（8分）当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 25．（10分）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． (1)如图1所示，将三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和点，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． (2)在（1）的情况下，分别作和的对顶角的角平分线，它们相交于点，如图2所示，请直接写出的度数． (3)若在内部作射线，过点作射线交直线于点，得到，请在图3中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 26．（10分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C A B A B D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9.6 10. 11./ 12./ 13./ 14.2 15. 16.或或 三、解答题：共10小题，共72分． 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；····················2分 （2）解： ．····················5分 18．（5分） 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先分别化简各项，再合并同类项即可得到结果； （2）利用平方根的定义开平方，分情况计算得到的值即可． 【详解】（1）解：····················2分 （2）解：对于等式， 根据平方根的定义开平方得： ， 当时， 解得， 当时，解得， 或．····················5分 19．（6分） 【答案】解集为，，整数解为 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为，····················4分 数轴表示见答案， ∴原不等式组的整数解为．····················6分 20．（6分） 【答案】 【分析】先通过消元法求出方程组中x、y关于m的表达式， 再代入已知不等式， 解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：， ，得 ， ，得 ， 解得，····················2分 把代入①，得 ， 解得，····················4分 ∵， ∴， 解得．····················6分 21．（6分） 【答案】甲种春联的单价为6元，乙种春联的单价为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元，利用数量总价单价，结合用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每副甲种春联的单价），再将其代入中，即可求出每副乙种春联的单价． 【详解】解：设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每副甲种春联的单价是6元，每副乙种春联的单价是8元．····················6分 22．（8分） 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作．····················2分 ②∵， ∴32的五次方根为2．····················3分 （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴．····················5分 （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，．····················8分 23．（8分） 【答案】(1)， (2) 解：设，， 则 ． ，， ． ． 【分析】本题考查分式的约分，多项式乘以多项式，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法以及分式的基本性质，进行化简即可； （2）设，，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设，，则，， 则原式； 故答案为：，．····················4分 （2）略····················8分 24．（8分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解集的整数解即可； （2）先求出不等式组的解集为，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解分别求出的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的二次中点解集是，即， ∴二次中点解集中包含的整数解为．····················4分 （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的一次中点解集为，即， ∵一次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 解得：， 原不等式组的二次中点解集为，即， ∵二次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， ∴的取值范围为．····················8分 25．（10分） 【答案】(1)解：，理由如下： 过点B作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)； 【分析】（1）过点B作，则，根据平行线的性质可得，再由角的和差关系可得结论； （2）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （3）先根据题意补全图形，过点B作，则可证明；再证明，，据此可得结论． 【详解】（1）略····················3分 （2）解：如图，过点O作， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即；····················6分 （3）解：补全图形见答案； 如图所示，过点B作， ∴， ∵， ∴； 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．····················10分 26．（10分） 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是．····················2分 （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ．····················4分 ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4．····················6分 （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为．····················10分 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材北京版七年级下册全部+八年级上第10章分式第11章实数和二次根式 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 4．《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 7．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 8．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 10．如图，已知中，，10，把沿射线方向平移至，平移距离为4，若，则图中阴影部分的面积为___________． 11．已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 12．如图，，，平分，，且，则__________________ ． 13．已知，化简______． 14．若，则________． 15．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为________． 成绩(分) 次数(人) 16．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为______ 三、计算题：共10小题，共72分． 17．（5分）计算、化简： (1)； (2)． 18．（5分）计算： (1)； (2)求等式中的值：． 19．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求该不等式组的整数解． 20．（6分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 21．（6分）2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 22．（8分）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 23．（8分）在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 24．（8分）当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 25．（10分）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． (1)如图1所示，将三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和点，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． (2)在（1）的情况下，分别作和的对顶角的角平分线，它们相交于点，如图2所示，请直接写出的度数． (3)若在内部作射线，过点作射线交直线于点，得到，请在图3中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 26．（10分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $