精品解析：北京市第十三中学分校2025～2026学年上学期八年级开学考数学试卷

2025－2026学年度北京市第十三中学分校 第一学期暑假作业验收八年级数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页． 2．本试卷满分100分，考试时间50分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是无理数的定义，立方根，根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、是分数，不是无理数，不符合题意； B、是无理数，故B符合题意； C、是循环小数，不是无理数，不符合题意； D、是整数，不是无理数，不符合题意． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）． A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限点的特征：横坐标为负，纵坐标为正判断即可； 【详解】(1，3)在第一象限，故A不正确； 在第四象限，故B不正确； 在第二象限，故C正确； 在第三象限，故D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内的点，准确分析判断是解题的关键． 3. 一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列式求解即可． 【详解】解：三角形的两边长分别为7和4，设第三条边长为， ， ， 只有C选项满足条件， 故选：C． 4. 如图，直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，平行线性质，补角的定义． 根据得，结合平分，得到，结合，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选D． 5. 2025年，北京市在“十四五”规划框架下，将加速推进人工智能、量子信息、人形机器人等前沿科技领域的创新发展．其中，海淀区量子产业园计划于下半年面向中学生举办“未来科技开放日”活动，预计将吸引大批学生及家长参与．为确保活动顺利开展，主办方需提前完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（ ） A. 开始活动前，了解海淀区初中学生中，有多少人知道“量子通信”概念 B. 活动当天，对进入展区的人员进行安全检查 C. 活动当天，统计到访的中学生对“天工人形机器人”展区的喜爱程度 D. 活动结束后，了解参观者对展区讲解内容的满意程度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查的适用情况，解题的关键是根据调查对象的特征判断调查方式． 判断各选项调查对象的特征，看是否适合全面调查，全面调查适用于要求精确、难度不大、具有可操作性且事关重大的调查． 【详解】A、海淀区初中学生数量庞大，全面调查成本高、耗时长，适合抽样调查； B、安全检查需确保每位进入展区的人员均无危险物品，必须全面检查，不能遗漏，故需全面调查； C、到访学生数量较多，且喜爱程度可通过抽样推断整体情况，无需全面调查； D、参观者数量较多，且满意度可通过抽样推断整体情况，无需全面调查． 故选：B． 6. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ） A. ac＞bc B. ab＞cb C. a+c＞b+c D. a+b＞c+b 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答． 【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0， A、ac＜bc，故本选项错误； B、ab＞cb，故本选项正确； C、a+c＜b+c，故本选项错误； D、a+b＜c+b，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键. 7. 为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B. 第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C. 相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D. 每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．根据条形统计图和折线统计图里的数据解答即可． 【详解】解：由题意知， A项：5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论错误，不符合题意； B项：第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得快，故本项结论错误，不符合题意； C项：，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，符合题意； D项：每期训练的时间以10天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩，故本项结论错误，不符合题意． 故选：C． 8. 已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时， 解得， 将代入， 故①错误； ② 得， 当时，， 故②正确； ③ 得 解得， 故③错误； ④ 得 得， 不论取什么数，的值为1始终不变 故④正确； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 9. 4x与7的差不小于6用式子表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意列出不等式即可． 【详解】解：4x与7的差不小于6用式子表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查列不等式，解答的关键是理解语句表述，熟悉表示不等式的常用词语，比如“不超过”、“至少”、“不小于”、“不大于”等等． 10. 已知 是方程的解，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求数的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ， 解得：， 故答案为：1． 11. 如图，要使，需要添加的一个条件为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：若添加， ，可得； 若添加，可得； 若添加，可得； 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 13. 在一次有奖竞答的活动中，组织者对每位选手的答题情况进行统计，小强和小亮的答题情况如图1所示． （1）小亮答对的题数为___________； （2）若用扇形图表示小亮答对题数、答错或不答题数的占比情况，则“答对”所在扇形的圆心角是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查而来条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意是关键． （1）根据小强答题总数减去小亮打错或不答的题数即可得到答案； （2）利用乘以“答对”的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由图1可知，小亮答对的题数为， 故答案为： （2）， 故答案为： 14. 若，则_____________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 15. 如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查长方形与折叠，三角形内角和定理以及平行线的性质．由翻折可求出，进而利用平行线的性质（同旁内角互补），求出，即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． （1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； （2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】（1）不存在； （2）5． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 【小问1详解】 解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； 【小问2详解】 由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 三、解答题：（本大题共7小题，共52分．其中17，21题，每题6分；18题12分；19，20题7分；22题5分；23题9分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，先计算立方根、去绝对值并化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 18. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ①②得，， 解得， 把代入②得，， 解得：， ∴方程组的解是：． 19. 解不等式组并求它的所有整数解． 【答案】它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解． 【详解】解：， 由①得，x≥﹣3， 由②得，x＜2， 所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2， 所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决的关键是正确解出每个不等式的解集，然后根据限制条件求出不等式的整数解． 20. 完成证明并写出推理根据： 已知，如图，，，，于H， 求证：． 证明：，， ， （________________）， （________________）， 又， ， ____________（________________________）， ______， 又， ， ______， ．（________________________） 【答案】 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；90；垂直的定义． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，即可求出答案． 【详解】略 21. 某校七至九年级开展“每周课外阅读情况”调查，对学生某一周课外阅读时间（单位：小时）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．七年级一班50名学生该周课外阅读时间如下： 阅读时间（小时） 学生人数 10 15 18 7 b．七年级二班50名学生该周课外阅读时间的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： c．七至九年级学生人数扇形统计图： d．七至九年级学生共2000人．根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全上面的频数分布直方图； ②该校七年级学生共___________人； （2）每班将该周课外阅读时间按从高到低的顺序排在前50%（含）的学生授予“班级阅读之星”称号，若七年级小明同学该周课外阅读时间在七年级一班不能被授予“班级阅读之星”称号，但在七年级二班可以被授予“班级阅读之星”称号，则他的阅读时间满足___________；（填符合要求的序号） A． B． C． D． （3）小亮同学分析数据时发现，七年级一班、二班该周课外阅读时间小于2小时的人数均占班级人数的20%，因此他估计全校该周课外阅读时间小于2小时的人数约为400人，你同意小亮同学的说法吗？说明理由． 【答案】（1） ①补全直方图如下： ②700 （2）B （3）不同意，因为样本不具有代表性 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，抽样调查，读懂相关的统计图表是解题的关键． （1）①将全部50人减去其他各组人数，得到第3组的人数，即可补全直方图； ②将全校2000人乘以扇形图中七年级的百分比，即可解答； （2）根据七年级一班，二班的阅读时间分析即可解答； （3）根据抽样调查对样本抽取的要求解答即可． 【小问1详解】 解：①第3组的学生人数为：（人） ②（人） ∴该校七年级学生共700人． 故答案为：700 【小问2详解】 解：观察表格可发现，七年级一班阅读时间在4小时以上的学生有25人，是全班同学的，而在七年级二班阅读时间在4小时以上的学生有人，少于全班同学的， ∴小明的阅读时间满足． 故选：B 【小问3详解】 解：不同意小亮同学的说法，因为样本不具有代表性，不能反映出八年级和九年级的情况． 22. 参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （1）请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式； （2）5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查推理与论证问题，关键是根据题意得出结论解答． （1）根据题意列出数学表达式即可； （2）根据推理得出几位同学的名次即可． 【小问1详解】 解：填表如下： 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E 【小问2详解】解：由（1）得四个代数式①；②；③；④； 由①和③得到一个推论⑤， 由②④得⑥， 由①得⑦，代入④得到， 整理得到⑧， 由⑤得⑨， 把⑦和⑨代入②得， 整理得⑩， 最后把⑥⑧⑩结合一起，得到． 故答案为：． 23. 在中，是的角平分线，点在射线上，于点，平分交直线于点． （1）如图1，点在线段上，若，． ①　　；（用含的式子表示） ②求证：； （2）如图2，点在的延长线上，交的延长线于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①；②见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②根据垂直的定义得到∠EFC=90°，求得∠ABC=2α，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠ABC=α，求得∠ABD=∠M，于是得到结论； （2）设∠ABD=x，∠AEM=y，根据角平分线的定义得到∠ABC=2x，∠AEF=2y，求得x-y=∠END-∠BAD，得到2x-2y=∠EFC-∠BAC，于是得到结论． 【详解】解：（1）①，， ， 平分， ， 故答案为：； ②证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）， 证明：设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度北京市第十三中学分校 第一学期暑假作业验收八年级数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页． 2．本试卷满分100分，考试时间50分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）． A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 3. 一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 4. 如图，直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年，北京市在“十四五”规划框架下，将加速推进人工智能、量子信息、人形机器人等前沿科技领域的创新发展．其中，海淀区量子产业园计划于下半年面向中学生举办“未来科技开放日”活动，预计将吸引大批学生及家长参与．为确保活动顺利开展，主办方需提前完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（ ） A. 开始活动前，了解海淀区初中学生中，有多少人知道“量子通信”概念 B. 活动当天，对进入展区的人员进行安全检查 C. 活动当天，统计到访的中学生对“天工人形机器人”展区的喜爱程度 D. 活动结束后，了解参观者对展区讲解内容的满意程度 6. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ） A. ac＞bc B. ab＞cb C. a+c＞b+c D. a+b＞c+b 7. 为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B. 第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C. 相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D. 每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 8. 已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 9. 4x与7的差不小于6用式子表示为______． 10. 已知 是方程的解，则m的值为________． 11. 如图，要使，需要添加的一个条件为__________． 12. 如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为________． 13. 在一次有奖竞答的活动中，组织者对每位选手的答题情况进行统计，小强和小亮的答题情况如图1所示． （1）小亮答对的题数为___________； （2）若用扇形图表示小亮答对题数、答错或不答题数的占比情况，则“答对”所在扇形的圆心角是___________． 14. 若，则_____________． 15. 如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为___________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． （1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； （2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 三、解答题：（本大题共7小题，共52分．其中17，21题，每题6分；18题12分；19，20题7分；22题5分；23题9分） 17. 计算：． 18. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 19. 解不等式组并求它的所有整数解． 20. 完成证明并写出推理根据： 已知，如图，，，，于H， 求证：． 证明：，， ， （________________）， （________________）， 又， ， ____________（________________________）， ______， 又， ， ______， ．（________________________） 21. 某校七至九年级开展“每周课外阅读情况”调查，对学生某一周课外阅读时间（单位：小时）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．七年级一班50名学生该周课外阅读时间如下： 阅读时间（小时） 学生人数 10 15 18 7 b．七年级二班50名学生该周课外阅读时间的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： c．七至九年级学生人数扇形统计图： d．七至九年级学生共2000人．根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全上面的频数分布直方图； ②该校七年级学生共___________人； （2）每班将该周课外阅读时间按从高到低的顺序排在前50%（含）的学生授予“班级阅读之星”称号，若七年级小明同学该周课外阅读时间在七年级一班不能被授予“班级阅读之星”称号，但在七年级二班可以被授予“班级阅读之星”称号，则他的阅读时间满足___________；（填符合要求的序号） A． B． C． D． （3）小亮同学分析数据时发现，七年级一班、二班该周课外阅读时间小于2小时的人数均占班级人数的20%，因此他估计全校该周课外阅读时间小于2小时的人数约为400人，你同意小亮同学的说法吗？说明理由． 22. 参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （1）请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式； （2）5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接） 23. 在中，是的角平分线，点在射线上，于点，平分交直线于点． （1）如图1，点在线段上，若，． ①　　；（用含的式子表示） ②求证：； （2）如图2，点在的延长线上，交的延长线于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $