第三章圆锥曲线的方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，覆盖圆锥曲线定义、方程、性质及直线与圆锥曲线位置关系，从单一知识点到实际应用，培养数学运算、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线焦点、双曲线渐近线等概念|单选1直接考查焦点坐标与距离公式，填空12强化焦点到渐近线距离计算| |中档|椭圆中点弦、双曲线焦点三角形等综合应用|单选3结合韦达定理求参数，解答题15综合双曲线定义与弦长公式| |拔高|轨迹方程、定点证明等复杂问题|单选8融合椭圆定义与斜率计算，解答题19通过直线与椭圆相交证明中点为定点|

第三章　圆锥曲线的方程 一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 2.(2026吉林高二期中)与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在(　　) A.双曲线的一支上 B.一个椭圆上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 3.(2026陕西高二期中)已知椭圆=1(m>0且m≠4)与直线y=2x-3相交于A,B两点,且线段AB的中点的横坐标为1,则m=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 4.已知双曲线C:x2-=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过F2且与C的右支相交于A,B两点.若|AB|=2,则△ABF1的周长为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 5.中国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为(　　) A.2 m B.4 m C.4 m D.12 m 6.设P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2 =90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=(　　) A.3+ B.9+ C.10 D.16 7.抛物线C:x2=4y的准线为l,M为抛物线C上的动点,则点M到l与到直线2x-y-5=0的距离之和的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.(2026河南高二期中)已知P为曲线M:y=-(y≠0)上的动点,A(-,0),B(,0), C(-,0),D(,0),则下列说法错误的是(　　) A.|PA|+|PB|=2 B.△PCD面积的最大值为 C.直线PC与PD的斜率之积为定值- D.当PA⊥PB,|PB|>|PA|时,tan∠PAB=5+ 二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求) 9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的是(　　) A.离心率为 B.双曲线过点 C.渐近线方程为3x±4y=0 D.实轴长为4 10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴相交于点M,经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论正确的有(　　) A.x1x2=4 B.y1y2=8 C.k的取值范围是(-1,1) D.当k=时,以AB为直径的圆经过点F 11.如图是由半圆和半椭圆组成,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的离心率是 B.点F关于直线y=x的对称点在半圆上 C.△ABF面积的最大值是+1) D.线段AB长度的取值范围是(0,3+3) 三、填空题 12.(2026湖南高二期中)已知双曲线C:=1的右焦点为F,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为　　　　　.  13.已知直线l过点(1,3),并且与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点,写出满足条件的l的一个方程　　　　　　　　　　.  14.(2026广东高二期中)设F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,A,B分别为椭圆C右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为　　　　　.  四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(2026云南高二期中)双曲线C:x2-=1的左焦点为F1. (1)点P在双曲线上,求|PF1|的最小值(请写出必要推导过程); (2)过点F1作倾斜角为的直线l与C交于A,B两点,求|AB|. 16.已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点P. (1)求椭圆C的方程; (2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程. 17.已知双曲线C的渐近线为4x±3y=0,右焦点为F(5,0),右顶点为A. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M,N两点(与点A不重合),当=0时,求直线l的方程. 18.(2026辽宁大连高二期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线的距离为2. (1)求抛物线E的标准方程; (2)已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上,B(1,-2),△BCD的重心恰好是抛物线E的焦点F,求CD所在直线的方程. 19.(2023全国乙)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 答案 1.B　抛物线的焦点坐标为(,0),其到直线x-y+1=0的距离d=,解得p=2(p=-6舍去).故选B. 2.A　设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1; 圆x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4的圆心为F(4,0),半径为2. 依题意得|PF|=2+r,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|=4,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选A. 3.B　设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则联立 得=0, 故=-,所以2=-,解得m=2. 此时椭圆方程为=1,与直线方程y=2x-3联立,有6x2-12x+5=0,Δ=(-12)2-4×6×5=24>0,则此时直线与椭圆有两个交点,符合题意.故选B. 4.B　双曲线x2-=1(m>0)的实半轴长a=1, 由双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2, 所以|AF1|=2+|AF2|,|BF1|=2+|BF2|, 则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF2|+|BF2|+6=|AB|+6=8. 故选B. 5.B　建立如图所示的平面直角坐标系, 设该抛物线的方程为x2=-2py,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m,即点(4,-2)和(-4,-2)在抛物线上,则有16=-2p·(-2),解得p=4,故抛物线的方程为x2=-8y.若水面下降1 m,即y=-3,则有x2=24,解得x=±2,此时水面宽度为2-(-2)=4(m). 故选B. 6.A　由题意,不妨设点P是双曲线右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则解得 ∴b=. ∴a+b=3+.故选A. 7.D　如图,抛物线的焦点为F(0,1),根据抛物线的定义可知,点M到l的距离等于|MF|,所以点M到l与到直线2x-y-5=0的距离之和即为|MF|与点M到直线2x-y-5=0的距离之和. 由图可知,|MF|与点M到直线2x-y-5=0的距离之和的最小值为焦点F(0,1)到直线2x-y-5=0的距离d, 所以d=.故选D. 8.D　因为y=-+y2=1,y≤0, 所以点M的轨迹为椭圆位于x轴下方的部分,包含与x轴的交点,且a=,b=1,c=. 所以A(-,0),B(,0)为椭圆的左、右焦点,C(-,0),D(,0)为椭圆的左、右顶点. 如图. 根据椭圆的定义,|PA|+|PB|=2a=2,故A正确; 当点P位于椭圆下顶点(0,-1)时,△PCD的面积最大,为×2×1=,故B正确; 设P(x,y),则+y2=1,y≤0,则kPC·kPD==-为定值,故C正确; 当PA⊥PB,|PB|>|PA|时, 因为tan∠PAB==5+2,故D错误.故选D. 9.ABC　由双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,故A正确; 如果双曲线过点,可得解得所以双曲线C的方程为=1,故B正确; 如果渐近线方程为3x±4y=0,可得,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为=1,故C正确; 如果实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,故D错误. 故选ABC. 10.AD　抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,则M(-2,0),经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则可设直线l的方程为y=k(x+2), 联立消去y得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,可得 解得-1<k<1且k≠0,故C错误; x1+x2=-,x1x2==4,故A正确; =8x1·8x2=64x1x2=64×4=256, 易知y1,y2同号,所以y1y2=16,故B错误; 因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=4-2×(-)+4+16=32-, 当k=时,=0, 此时∠AFB为直角,即以AB为直径的圆经过点F,故D正确.故选AD. 11.ACD　由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0), 设椭圆的方程为=1(a>b>0,x≥0), 则b=c=3,∴a2=18,a=3, ∴椭圆的方程为=1(x≥0). 对于A,椭圆的离心率是e=,故A正确; 对于B,设F(3,0)关于直线y=x的对称点为(m,n),m≠3,可得=-2且n=,解得m=,n=,即对称点为(), 又半圆的方程为x2+y2=9(x≤0), ∴对称点()不在半圆上,故B错误; 对于C,由题得△ABF的面积S=×|AB|t, 设A(x1,t),∴+t2=9,∴x1=-(0<t<3),设B(x2,t), ∴=1,∴x2=(0<t<3),∴|AB|=, ∴S=×()t=×t=+1), 当且仅当t=时,等号成立,故C正确; 对于D,当t→0时,|AB|→3+3;当t→3时,|AB|→0. ∴线段AB长度的取值范围是(0,3+3),故D正确. 故选ACD. 12.2　双曲线C:=1的右焦点为F(2,0),渐近线为y=±x,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为=2. 13.x-y+2=0(答案不唯一)　由平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点,又双曲线的渐近线为y=±x,所以,其中一条符合要求的直线为y-3=x-1,即x-y+2=0. 14.　设点M(c,y0), 因为F1(-c,0),所以F1M的中点N(0,),即点N在y轴上. 又点N在直线AB上,所以点N与点B重合.由AB⊥BF1,得kAB·=-1,即·(-)=-1,得b2=ac=a2-c2,可得e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去). 15.解 (1)由题可知,F1(-2,0),设P(m,n),则m2-=1,即n2=3m2-3(m≤-1或m≥1), |PF1|=, 又m≤-1或m≥1,所以当m=-1时,|PF1|取得最小值1. (2)双曲线x2-=1的左焦点F1(-2,0), 又因为直线l的倾斜角为,所以k=,则直线l的方程为y=(x+2),联立得8x2-4x-13=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 则|AB|==3. 16.解 (1)由题意得c=,设左焦点为F1, 则F1(-,0),F2(,0),2a=|PF1|+|PF2|==4, ∴a=2,b==1.故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=,① y1y2=,② 由=3得y1=-3y2,③ 由①②③可得m=. 故直线l的方程为y=x-. 17.解 (1)双曲线C的渐近线4x±3y=0可化为=0, 设双曲线C的方程为=λ(λ>0),即=1. 又双曲线C的右焦点为F(5,0),则9λ+16λ=52,解得λ=1, ∴双曲线C的标准方程为=1. (2)由(1)知,A(3,0),设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),显然m≠-3, 联立得7x2-18mx-(9m2+144)=0, 显然Δ>0,x1+x2=,x1x2=-. 而=(x1-3,y1),=(x2-3,y2), 则=(x1-3)(x2-3)+(x1+m)(x2+m) =2x1x2+(m-3)(x1+x2)+m2+9=+m2+9=0, 化简得7m2-54m-225=0,即(7m-75)(m+3)=0, 而m≠-3,解得m=, ∴直线l的方程为y=x+, 即7x-7y+75=0. 18.解 (1)因为焦点F到抛物线准线的距离为2, 所以p=2,因此抛物线E的标准方程为y2=4x. (2)当直线CD的斜率为零时,直线CD与抛物线只有一个交点,不符合题意; 设直线CD的方程为x=my+n,联立⇒y2-4my-4n=0, 由题意可知Δ=16m2+16n>0,设C(x1,y1),D(x2,y2),于是有y1+y2=4m,y1y2=-4n. 焦点F的坐标为(1,0), 因为△BCD的重心恰好是抛物线E的焦点F,所以有 此时Δ=16×+16×=12>0, 所以CD所在直线的方程为x=y+⇒2x-y-1=0. 19.(1)解 由题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(-2,0), ∴解得 ∴椭圆C的方程为=1. (2)证明 根据题意,直线PQ的斜率存在, 设MN的中点为T,直线PQ的方程为y=k(x+2)+3(k<0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 则(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0, ∴ ∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0), ∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1, 设直线AQ的方程为y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2, ∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2). 又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,∴k1=,k2=, ∴k1+k2==2k+3() =2k+3=2k+3[]=2k+(-2k+3)=3, ∴T(0,3). 综上,线段MN的中点为定点(0,3). 8 学科网（北京）股份有限公司 $