3.1.2 椭圆的简单几何性质（七大题型）同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕椭圆几何性质，分七个题型系统设计，基础题与综合题梯度衔接，覆盖从概念理解到实际应用的完整路径，培养数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆基本量（长轴、短轴、焦距）计算|选择填空为主，直接考查定义与公式应用，如求短轴长| |能力应用|离心率及范围、椭圆形状关系|结合几何图形（如焦点三角形），需推理计算，如离心率与椭圆扁圆关系| |综合拓展|标准方程、参数范围及实际应用|解答题含多问，如卫星轨道模型、光学性质证明，体现数学建模与综合思维|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型一 求椭圆的长轴、短轴 1．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 3．在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 4．已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 题型二 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 5．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 7．在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 8．已知椭圆，，是的右顶点． (1)若的焦点为，求离心率； (2)若，且上存在一点，满足，求； (3)已知的中垂线的斜率为2，与交于两点，为钝角，求的取值范围． 题型三 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 9．下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 11．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______． 12．已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 题型四 根据离心率求椭圆的标准方程 13．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 15．已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 16．已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 题型五 相同离心率的椭圆方程 17．过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 18．若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A． B． C． D． 19．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______. 20．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 题型六 由椭圆的离心率求参数的取值范围 21．椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 23．椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 24．已知椭圆过点. (1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围； (2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 题型七 椭圆的其他应用 25．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 26．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 27．嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个截面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 28．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型一 求椭圆的长轴、短轴 1．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 2．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项. 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 3．在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆上点到两个焦点的距离之和为和两个焦点的距离为，即可求解出短轴长. 【详解】 根据题意可知，在如图所示中， 对于椭圆上的点，有，代入，得半长轴， 椭圆的焦距为，代入，得半焦距， 由于椭圆中半长轴、半短轴与半焦距之间满足关系式， 代入，得半短轴长，因此短轴长为. 4．已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1). (2) (3)点Q在定直线上 【分析】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【详解】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，    根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 题型二 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 5．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆上动点与两顶点连线的斜率之积与椭圆参数的关系，结合离心率公式求解. 【详解】设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且. 直线的斜率，直线的斜率. 由题意知，直线与的斜率之积为， 即. 由于点在椭圆上，满足， 变形得. 代入斜率之积的表达式得，即. 椭圆的离心率. 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 7．在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 8．已知椭圆，，是的右顶点． (1)若的焦点为，求离心率； (2)若，且上存在一点，满足，求； (3)已知的中垂线的斜率为2，与交于两点，为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆焦点坐标求得，再由得到，最后借助离心率公式即可求得离心率； （2）利用向量关系式得到点坐标，将代入椭圆方程建立关于的方程即可求解； （3）先由垂直斜率关系求出点坐标，联立方程组，借助为钝角等价为，结合韦达定理列出不等式，再结合即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，，则，由右焦点，可知， 则，故离心率． （2）由题意，，设，由得，， 解得，代入，得， 又，解得． （3）由线段的中垂线的斜率为2，所以直线的斜率为， 则，解得， 由，得中点坐标为， 故直线，即，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点，设，， 由消得：， 由韦达定理得，， 因为为钝角，则，且， 则有，又因为， 所以， 即，解得， 又，故，即的取值范围是． 题型三 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 9．下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 10．已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 11．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______． 【答案】 【分析】根据题意判断，以为直径的圆与椭圆有4个交点，再求得点P在y轴上时的离心率，最后根据椭圆的离心率越大椭圆越扁求得答案. 【详解】由椭圆的对称性，为直角，共有4个位置，为直角，共有4个位置，于是以为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，，于是，若要满足题意，. 故答案为：. 12．已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，三角形的面积有最大值，最大值为 【分析】（1）直线与椭圆交于，两点，联立方程组则，即可得到 m的取值范围为. （2）设直线与椭圆的交点，，并设，由韦达定理得到， 因为点M在直线上，得到， 消去m，再确定的范围即可求解. （3）先利用弦长公式得到 ，再由两点间的距离公式得到，则三角形的面积，可知当，三角形的面积有最大值. 【详解】（1）设这组平行直线的方程为， 把代入椭圆方程， 得， 这个方程的根的判别式． 由，得，所以的取值范围为． （2）设直线与椭圆的交点，，并设， 则，，             因为点在直线上，所以，         与联立，消去，得，             又由（1）可知，所以， 所以M的轨迹方程为． （3）由韦达定理，，， 则 ，                 由（2）知，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，             则，         三角形的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以当，即时，的面积有最大值，最大值为. 题型四 根据离心率求椭圆的标准方程 13．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 14．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 【答案】ABD 【分析】由离心率求得，然后根据椭圆的性质判断各选项，注意选项D中，当为短轴端点时，最大. 【详解】对A，由题意，    解得，A正确； 对B，由题意，的周长为，B正确； 对C，，C错； 对D，当为短轴端点时，，此时，D正确. 15．已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 【答案】 【详解】根据题意，，即， 又，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 16．已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)设，， 由，消得， 则，且，， 又，则，， 因为，则， 又，，所以 ， 因为，所以， 整理得到，解得， 所以直线的方程为：，故直线过定点. (3) 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设，，联立直线与椭圆的方程消，由根与系数间的关系得，，再结合条件得，即可求解； （3）根据条件得，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 （3）由（2）知，所以，， 因为， 因为，则， 因为， 又，所以， 令，则， 当时，，所以， 当时，，， ，即，解得且， 且，且， 且， 综上所述，的取值范围为. 题型五 相同离心率的椭圆方程 17．过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程，求得，即可求解. 【详解】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率， 可设所求椭圆的方程为， 又由椭圆过点，代入椭圆的方程，可得，解得， 即所求椭圆的方程为，即. 故选：D. 18．若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式.因椭圆焦点位置有两种情况，所以分情况讨论： 焦点在轴时，确定、，由求出，结合离心率公式列方程求解与关系. 焦点在轴时，同样确定、、，再根据离心率公式列方程求解与关系. 【详解】因为圆锥曲线的离心率，所以该圆锥曲线为椭圆. 方程可化为. 当焦点在轴上时，此时，即，，， 根据可得. 已知离心率，则，即. 化简，则 当焦点在轴上时，此时，即，，， 根据可得. 已知离心率，则，即. 化简得， 实数与的关系为或. 故选：AC. 19．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 20．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1)离心率为，椭圆方程为； (2). 【分析】（1）由题意计算出椭圆的，即得离心率； （2）利用椭圆的定义以及条件，列方程，可解出的值，即得面积. 【详解】（1）椭圆 的离心率 ， 对于椭圆 ，焦点为 和 ，焦距，所以. 又椭圆的离心率 ，得， 再由，得， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）椭圆 的半长轴 ， 由椭圆的定义知，任意点 在椭圆上，有， 联立得，解方程得， 由得：，故， 故的面积. 题型六 由椭圆的离心率求参数的取值范围 21．椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 22．已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【分析】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 23．椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 24．已知椭圆过点. (1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围； (2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）把点代入椭圆方程，可得，由，可求b的取值范围； （2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线的位置，联立方程组，利用弦长公式结合不等式的性质求的最大值. 【详解】（1）∵在椭圆，∴，有，所以， 又∵，所以，∵，∴； （2）由（1）可知，又， 所以，椭圆. 因为直线与相切，故. 若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段. 若直线的斜率存在，可设直线的方程为：. 由直线与相切，故，可得：. 联立得，所以， 线段. 又因为，所以. 当且仅当，故当时，的最大值为2. 综上所述：当时，线段的最大值2. 题型七 椭圆的其他应用 25．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 26．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 27．嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个截面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 【答案】 【分析】根据题意由已知条件根据勾股定理即可分别计算得出两离心率的大小，可得结果. 【详解】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 28．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）当时，面积的最大值为；当时，面积的最大值为；（ii）证明见解析 【分析】（1）设与直线，的夹角分别为，，即证即可； （2）（i）设，，，结合椭圆方程消元得，由韦达定理得，计算，代入即可求解； （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得：，代入即可求证. 【详解】（1）当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ． 同理，，，． 该性质成立； （2）（i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ． 令，则． 当时，， 当且仅当，即时取等号，得 ， 所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为； 当时，面积的最大值为． （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ， ，， 因为，所以． 点在定直线上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $