第23讲 直线与方程、圆与方程（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与方程、圆与方程核心考点，按直线方程、位置关系、圆的方程及位置关系构建知识框架，通过命题透视、思维建模、知识精讲、题型破译等环节，帮助学生系统梳理公式定理，掌握几何法优先等解题策略，突破斜率不存在、弦长计算等高频难点。 讲义突出“重几何轻硬算”特色，如弦长计算用弦心距、半径、半弦长直角三角形模型，培养学生几何直观与数学思维。设置基础演练与重难创新分层练习，结合真题溯源与课本典例，助力学生高效掌握倾斜角换算、切线方程等题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第23讲 直线与方程、圆与方程 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 直线的方程 知识点2 两条直线的位置关系 知识点3 圆的方程 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型破译 (含超链接） 题型1 倾斜角、斜率、方向向量换算（基础秒杀） 题型2 两直线平行、垂直判定 题型3 三类距离公式（最高频核心） 题型4 圆的方程求解（待定系数最优选择） 题型5 直线与圆位置关系判定（几何法优先） 题型6 弦长计算（重中之重、必考模板） 题型7 圆的切线问题（高频易错） 题型8 圆与圆位置关系及公共弦 题型9 圆类最值范围 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 直线与方程 春考第4题 秋考第15题 春考第2题 圆与方程 / 春考第12题 春考第11题 考情分析 重几何、轻硬算：优先使用弦心距、半径、圆心距几何模型解题，弱化复杂代数联立与韦达运算； 重细节、多陷阱：斜率不存在、截距与距离混淆、圆方程成立条件、位置关系漏解为常年固定失分点； 基础稳定、逐年微综合：核心公式考点不变，新增动点轨迹、面积最值、向量结合等轻综合考法； 数形结合核心导向：几乎所有拔高小题均可通过图像预判答案，规避纯代数运算失误。 复习目标 基础层：公式零失误套用，基础小题快速秒杀，杜绝计算低级错误。 进阶层：固定使用几何法解决弦长、切线、位置关系问题，大幅简化运算、提升解题速度。 拔高层：熟练处理圆类动点、距离、面积、范围最值综合题型，掌握数形结合解题思维。 素养层：建立“先看图、后算数”的解题习惯，规避纯代数繁琐运算与漏解问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 直线的方程 1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k). 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 4.掌握倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大. (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率. 5.谨记以下两个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 6.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 自主检测 1．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为__________． 知识点2 两条直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 3.三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 4.谨防四个易误点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况. (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 自主检测 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_______． 知识点3 圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 3.掌握圆的两个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上. 4.牢记两个相关结论 (1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标. 自主检测 3．已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 4.牢记三个相关结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换. 5.灵活应用两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 自主检测 4．“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 题●型●破●译 题型1 倾斜角、斜率、方向向量换算（基础秒杀） 例1（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 方法技巧 斜率范围求倾斜角必须分段讨论，正负斜率区间不连通；直线越陡越靠近 90°，杜绝范围写反。 【变式训练1-1】若两直线的方程分别为，，则与的夹角为______． 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为__________． 【变式训练1-3】（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 题型2 两直线平行、垂直判定 例2-1（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 例2-2（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 方法技巧 上海卷一律优先用系数公式判定，彻底规避斜率不存在漏解。 【变式训练2-1】（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练2-2】已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为__________. 【变式训练2-3】（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 题型3 三类距离公式（最高频核心） 例3（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 方法技巧 距离必带绝对值，分母根号永不丢。 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）点到直线的距离为_____________ 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，的最小值为___________； 【变式训练3-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是__________． 题型4 圆的方程求解（待定系数最优选择） 例4已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 定点多用一般式，定圆心多用标准式，直径端点优先直径式，计算最快。 【变式训练4-1】已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型5 直线与圆位置关系判定（几何法优先） 例5-1设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5-2在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 【变式训练5-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是__________. 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为 1，则实数的取值范围是_____ 【变式训练5-3】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 题型6 弦长计算（重中之重、必考模板） 例6-1（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为__________. 例6-2已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 方法技巧 普通弦长只用几何法；含参数动态弦长再用代数法。 【变式训练6-1】已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【变式训练6-2】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【变式训练6-3】已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 题型7 圆的切线问题（高频易错） 例7-1已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 例7-2已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 方法技巧 1. 圆上一点切线（直接公式） 圆 (x-a)²+(y-b)²=r² 在 P(x₀,y₀) 处切线：(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r² 2. 圆外一点切线（通用步骤） 设点斜式 → 利用 d=r 求斜率 → 必验竖直切线 切线长公式： 【变式训练7-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为________. 【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 题型8 圆与圆位置关系及公共弦 例8-1若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 例8-2两圆和的公共弦长为________． 例8-3（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 方法技巧 公共弦方程：两圆一般方程直接相减 公共弦长：弦长公式二次套用 【变式训练8-1】圆与圆的位置关系为_____ 【变式训练8-2】已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 【变式训练8-3】已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 题型9 圆类最值范围 例9-1（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 例9-2（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为___________. 例9-3（24-25高三下·上海·阶段检测）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为_________． 方法技巧 所有圆最值，全部转化为「圆心+半径」几何关系，拒绝复杂函数求最值。 【变式训练9-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式训练9-2】（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【变式训练9-3】已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； (3)点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 二、填空题 2．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 3．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角______． 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 5．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 6．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    7．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．设m为实数，若直线在y轴上的截距为，则m的值为______． 2．圆心为点，半径为3的圆的方程为______． 3．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 4．过点且斜率为的直线的方程为______． 二、解答题 5．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      6．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 7．（1）已知直线l过点，且与直线（P不在上）平行，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为； （2）已知直线l过点，且与直线垂直，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为． 8．如图，由原点O向直线作垂线ON，垂足为N．设，ON与x轴正方向所成的角为． (1)求证：直线的方程为； (2)利用上面的方程推导点到直线的距离公式． 9．已知曲线． (1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形； (2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程； (3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1.直线和的夹角为_____.（用反三角形式表示） 2．（2025·上海黄浦·一模）若直线与平行，则_______． 3．（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 5.以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 6.已知圆与圆内切，则实数的值为________. 7.已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为___________． 8.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 9．已知圆C：． (1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程； (2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程． 重难·创新演练 1.直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 2．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 3．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 4.已知实数满足：，则的最小值为______. 5．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 6．（2026·上海·二模）在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________． 7．（2025·上海奉贤·一模）运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线．    对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当______时，最大．此时，点是最佳射门点． 8．（2025·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 直线与方程、圆与方程 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 直线的方程 知识点2 两条直线的位置关系 知识点3 圆的方程 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型破译 (含超链接） 题型1 倾斜角、斜率、方向向量换算（基础秒杀） 题型2 两直线平行、垂直判定 题型3 三类距离公式（最高频核心） 题型4 圆的方程求解（待定系数最优选择） 题型5 直线与圆位置关系判定（几何法优先） 题型6 弦长计算（重中之重、必考模板） 题型7 圆的切线问题（高频易错） 题型8 圆与圆位置关系及公共弦 题型9 圆类最值范围 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 直线与方程 春考第4题 秋考第15题 春考第2题 圆与方程 / 春考第12题 春考第11题 考情分析 重几何、轻硬算：优先使用弦心距、半径、圆心距几何模型解题，弱化复杂代数联立与韦达运算； 重细节、多陷阱：斜率不存在、截距与距离混淆、圆方程成立条件、位置关系漏解为常年固定失分点； 基础稳定、逐年微综合：核心公式考点不变，新增动点轨迹、面积最值、向量结合等轻综合考法； 数形结合核心导向：几乎所有拔高小题均可通过图像预判答案，规避纯代数运算失误。 复习目标 基础层：公式零失误套用，基础小题快速秒杀，杜绝计算低级错误。 进阶层：固定使用几何法解决弦长、切线、位置关系问题，大幅简化运算、提升解题速度。 拔高层：熟练处理圆类动点、距离、面积、范围最值综合题型，掌握数形结合解题思维。 素养层：建立“先看图、后算数”的解题习惯，规避纯代数繁琐运算与漏解问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 直线的方程 1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k). 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 4.掌握倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大. (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率. 5.谨记以下两个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 6.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 自主检测 1．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为__________． 【答案】或. 【详解】由于直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，又l过点，直线方程为或， 即或. 故答案为：或. 知识点2 两条直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 3.三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 4.谨防四个易误点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况. (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 自主检测 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_______． 【答案】 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 故直线，直线， 这两条直线间的距离为：． 故答案为：. 知识点3 圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 3.掌握圆的两个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上. 4.牢记两个相关结论 (1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标. 自主检测 3．已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 4.牢记三个相关结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换. 5.灵活应用两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 自主检测 4．“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 倾斜角、斜率、方向向量换算（基础秒杀） 例1（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 【答案】 【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数）， 将其化为斜截式即，因此直线的斜率， 设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得， 因为，故，因此. 方法技巧 斜率范围求倾斜角必须分段讨论，正负斜率区间不连通；直线越陡越靠近 90°，杜绝范围写反。 【变式训练1-1】若两直线的方程分别为，，则与的夹角为______． 【答案】 【详解】直线平行于轴，直线的斜率，倾斜角为， 所以直线与的夹角为. 故答案为：. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为__________． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 【变式训练1-3】（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 题型2 两直线平行、垂直判定 例2-1（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 例2-2（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 方法技巧 上海卷一律优先用系数公式判定，彻底规避斜率不存在漏解。 【变式训练2-1】（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 【变式训练2-2】已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为__________. 【答案】3 【详解】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 故答案为：3. 【变式训练2-3】（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 题型3 三类距离公式（最高频核心） 例3（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 方法技巧 距离必带绝对值，分母根号永不丢。 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）点到直线的距离为_____________ 【答案】 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，的最小值为___________； 【答案】 【详解】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：.      【变式训练3-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是__________． 【答案】 【详解】因为，，成等差数列，所以，即， 方程可化为，即， 所以直线过定点， 设点到直线的距离为，则，当且仅当与直线垂直时等号成立， 所以当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离等于， 所以点到直线的最大距离是， 故答案为：. 题型4 圆的方程求解（待定系数最优选择） 例4已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 方法技巧 定点多用一般式，定圆心多用标准式，直径端点优先直径式，计算最快。 【变式训练4-1】已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 【变式训练4-2】已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆的方程为， 把点，，代入得 ， 解得，，， 所以圆的方程是． 故选：D． 【变式训练4-3】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 题型5 直线与圆位置关系判定（几何法优先） 例5-1设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题设，圆心，半径为1，圆心到直线的距离， 若时，，故，则直线l与圆C相交； 若直线l与圆C相交时，，则或； 所以“”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件. 故选：A 例5-2在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的取值与无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相离，如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或，所以. 故答案为： 【变式训练5-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】直线，即， 当时，方程恒成立， 所以直线过定点， 又直线与圆始终有交点， 所以定点在圆上或圆内， 则，即，又 所以解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为 1，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【详解】因圆 的圆心到直线的距离为， 由题意，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，易知圆的半径为， 则，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【变式训练5-3】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 题型6 弦长计算（重中之重、必考模板） 例6-1（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】4 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 例6-2已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 【答案】， 【详解】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. 故答案为：， 方法技巧 普通弦长只用几何法；含参数动态弦长再用代数法。 【变式训练6-1】已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【答案】 【详解】圆方程可化为，圆心，半径. 弦心距， 所以. 【变式训练6-2】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 【变式训练6-3】已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 题型7 圆的切线问题（高频易错） 例7-1已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 【答案】 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 例7-2已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】或 【详解】圆即， 所以圆心为，半径， 过点作圆的切线， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，解得或， 所以切线的方程为或. 方法技巧 1. 圆上一点切线（直接公式） 圆 (x-a)²+(y-b)²=r² 在 P(x₀,y₀) 处切线：(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r² 2. 圆外一点切线（通用步骤） 设点斜式 → 利用 d=r 求斜率 → 必验竖直切线 切线长公式： 【变式训练7-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为________. 【答案】 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【变式训练7-3】已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 题型8 圆与圆位置关系及公共弦 例8-1若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 例8-2两圆和的公共弦长为________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 例8-3（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 方法技巧 公共弦方程：两圆一般方程直接相减 公共弦长：弦长公式二次套用 【变式训练8-1】圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 【变式训练8-2】已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 【答案】 【详解】设的圆心坐标为， 由圆方程得到其圆心为，； 因为圆与圆外切于点，所以， 即，即， 又因为三点共线，所以，故，得代入，得到， 所以. 又因为圆与圆外切于点， 所以与在原点同侧，所以 ，所以， 当时，，此时. 故答案为： 【变式训练8-3】已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 题型9 圆类最值范围 例9-1（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 例9-2（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为___________. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      例9-3（24-25高三下·上海·阶段检测）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为_________． 【答案】20 【详解】    由整理得：，可得圆心，半径为， 取可得，解得或，则； 取，可得，解得或，则. 因圆与圆相外切，且半径为，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示. 则点的轨迹方程为， ， 于是，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为20. 故答案为：20. 方法技巧 所有圆最值，全部转化为「圆心+半径」几何关系，拒绝复杂函数求最值。 【变式训练9-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 【变式训练9-2】（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【答案】7 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. 【变式训练9-3】已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； (3)点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 【详解】（1）设曲线上任意一点坐标为，依题意，，化简得， 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点作直线的垂线，为垂足，则直线的方程为， 由，解得，即点，，即点在圆内， 则线段与圆相交，令交点为，由点是曲线上任意一点，得， 因此，当且仅当与重合时取等号， 所以的最小值为. （3）设切线方程为，即，切线的斜率分别为， 因此，整理得，则，， 在切线方程中令，得，于是， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 二、填空题 2．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 【答案】 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 3．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 5．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 6．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    【答案】 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 7．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．设m为实数，若直线在y轴上的截距为，则m的值为______． 【答案】2 【详解】直线,令x=0,则 ， 根据题意可知， 故答案为：2 2．圆心为点，半径为3的圆的方程为______． 【答案】 【详解】圆心为点，半径为3的圆的方程为 故答案为： 3．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，即 若它表示圆，则，即 故答案为：. 4．过点且斜率为的直线的方程为______． 【答案】 【详解】由直线方程的点斜式可得： 故答案为： 二、解答题 5．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 6．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）;（2）. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则， 所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以， 直线AB的点斜式方程为 即. 7．（1）已知直线l过点，且与直线（P不在上）平行，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为； （2）已知直线l过点，且与直线垂直，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为． 【详解】(1)由直线l与直线平行， 可设直线l方程为：，直线过点， 所以，得， 所以直线l方程为：， 即，即证； (2)直线的斜率为， 由直线l与直线垂直， 可得直线l的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程，得， 即，即证. 8．如图，由原点O向直线作垂线ON，垂足为N．设，ON与x轴正方向所成的角为． (1)求证：直线的方程为； (2)利用上面的方程推导点到直线的距离公式． 【答案】(1)证明:设，由及已知条件可得， ， 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，有题意知 ， 所以直线的方程为， 即， 即证. （2）设为直线上任意一点，则问题转化为 在条件下，求的最小值. 化为，由定理1， ， 整理得. 故点到直线的距离为 . 9．已知曲线． (1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形； (2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程； (3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)曲线C表示的是两条直线或，图形见解析； (2)直线的方程为； (3)直线的方程为或或或. 【详解】（1）解：由得或，所以曲线C表示的是两条直线或，如图所示 （2）解：设直线交直线于点，则直线交直线于点， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为. 所以直线的方程为. （3）解：联立直线方程得； 联立直线方程得. 因为，所以， 化简得或. 所以或或或. 所以直线的方程为或或或. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1.直线和的夹角为_____.（用反三角形式表示） 【答案】 【详解】易知的斜率为，设其倾斜角为，可得； 又易知的倾斜角为， 因此所求夹角为， 易知，因此. 故答案为： 2．（2025·上海黄浦·一模）若直线与平行，则_______． 【答案】 【详解】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 3．（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】由直线，知其一个法向量为， 又也是直线的法向量，则，可得. 5.以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【答案】 【详解】因为圆心为，所以圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得， 所以圆的方程为. 6.已知圆与圆内切，则实数的值为________. 【答案】7 【详解】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 7.已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 8.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 9．已知圆C：． (1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程； (2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）如图所示： 圆C：的方程即为，其圆心，半径， 不妨设过的动直线l的方程为，不同时为0， 所以，即直线l的方程为， 所以圆心到直线l的距离为， 过作， 所以由垂径分线定理可知，解得， 又因为不同时为0，所以， 当时，满足题意的直线l的方程为， 当时，满足题意的直线l的方程为， 综上所述：满足题意的直线l的方程为或. （2）如图所示： 由题意结合图形可知，且，， 所以，不妨设， 又因为， 所以，化简得， 又因为点Q在圆C外， 所以满足题意， 综上所述，满足题意的动点Q的轨迹方程为. 重难·创新演练 1.直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【详解】设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 2．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【详解】 如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故答案为： 3．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 4.已知实数满足：，则的最小值为______. 【答案】 【详解】设，则，由，， 得点在单位圆上，且， 即，则为等边三角形，， 可视为点到直线：的距离与之和， 当点在直线同侧时， 设，或， 当时，，则， ，， ， ， 于是 ， 由，得，，； 当时，，则， ，， ， ，，； 当点在直线异侧时（包括点之一在直线上）， 过分别作，垂足为，令直线与直线的夹角为， ，    所以的最小值为. 故答案为： 5．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 6．（2026·上海·二模）在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】设，因为， 所以，且， 即，且，显然， 设，因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，代入中， 得， ， 因此直线与圆有两个不同的交点， 因为，所以直线的斜率的取值范围为， 如下图所示： 由 直线与圆的交点坐标为， 又因为直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称， 所以当时， 因为， 所以的取值范围是. 7．（2025·上海奉贤·一模）运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线．    对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当______时，最大．此时，点是最佳射门点． 【答案】 【详解】如图，，设 作的外接圆，∵，，∴圆心在轴正半轴上. 则， ∴当最大时，取最大值， ， ∴， ∴当取最小值时，取得最小值，∵，所以取最大值， 又∵，点为直线上动点， ∴当时，取得最小值， 此时，即. 故答案为：.      8．（2025·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 【详解】（1）连接 ，设圆心为 ，过 作，， 由，，，可得， 从而，， 所以，解得. （2）如图，过点 作，交过道另一侧边界于点 ，过点 作，交过道另一侧于点 ， 则，， 所以， 令， ， 当时，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故在上严格单调递减， 并且，所以关于对称， 所以，即时， 的最小值为12米. (3)不能通过，理由如下： 设底面长方形顶点 、 分别在边界、上移动， 设，延长交于，交于， 则， 由， 设， 若家具可以通过转角，则对于，， 但，所以家具不能通过该转角. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $