第24讲 椭圆（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆专题，覆盖标准方程、离心率、直线与椭圆关系等核心考点，按定义、性质、结论的知识逻辑架构，通过考点梳理、题型方法指导、真题溯源训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破焦点三角形、中点弦、定点定值等难点。 资料以分层复习目标为特色，基础层强化定义与参数换算，进阶层用点差法速解中点弦问题，培优层通过“特殊值预判+代数验证”突破压轴题型，培养数学思维与运算能力。配套分层训练和真题溯源，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第24讲 椭圆 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 椭圆的定义 知识点2 椭圆的简单几何性质 知识点3 椭圆中常见结论 题型破译 (含超链接） 题型1 求椭圆标准方程（大题第1问必考） 题型2 离心率计算与范围（填空高频） 题型3 焦点三角形综合问题（小题秒杀题型） 题型4 中点弦问题（点差法专属题型） 题型5 直线与椭圆综合（弦长、面积计算·大题第2问主流） 题型6 定点、定值压轴题型（上海第三问高频） 题型7 参数范围、存在性问题（压轴难点） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 椭圆的标准方程 春考第11题 / / 椭圆的离心率 秋考第12题 / / 直线与椭圆的位置关系 / 秋考第20题 春考第20题 春考第20题 考情分析 弱化复杂机械计算，强化几何逻辑与代数转化思维；频繁融合平面向量、三角函数、均值不等式、充要条件；新增新定义题型、向量夹角判定、垂直约束等创新设问；斜率不存在的分类讨论成为高频易错陷阱。 2027年高考命题精准预判 1. 填空小题：重点考查离心率计算与取值范围、焦点三角形周长、面积及最值问题； 2. 解答压轴大题：第一问待定系数法求椭圆方程（必考）；第二问弦长、三角形面积或向量定值常规运算；第三问参数取值范围、直线过定点、点的存在性综合探究。 复习目标 基础层（全体学生必达成） 1. 熟练熟记椭圆两种标准方程，可快速判断焦点所在坐标轴，精准完成a、b、c、e四大参数的互相换算； 2. 透彻掌握椭圆第一定义，明确2a>2c的核心前提，熟练计算焦点三角形周长，杜绝概念性错误； 3. 掌握定义法、待定系数法两种求椭圆方程的核心方法，稳稳拿下大题第一小问满分； 4. 牢记直线与椭圆联立的标准解题步骤，熟练书写韦达定理、基础弦长公式，养成斜率存在与不存在分类讨论的解题习惯。 进阶层（中等生冲分核心） 1. 熟练解决离心率常规计算与取值范围问题，可依托焦点三角形、余弦定理快速列式解题； 2. 精通中点弦点差法，规避繁琐联立计算，提升解题速度与准确率； 3. 灵活运用焦点三角形面积、最值通用结论，快速秒杀小题； 4. 可将向量数量积、图形面积最值问题转化为函数值域问题，规范完成代数求解。 培优层（尖子生冲刺压轴） 1. 熟练掌握定点、定值通用解题模型，掌握「特殊值预判+代数严谨验证」的压轴解题思路； 2. 精准利用向量数量积正负判定夹角类型，解决锐角、直角、钝角参数约束问题，规避共线陷阱； 3. 熟练完成含参直线分类讨论，精准挖掘判别式边界、椭圆坐标范围等隐含条件； 4. 熟练处理多条件综合化简运算，规避计算失误，完整规范完成大题第三问压轴解答。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 自主检测 1．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 知识点2 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 自主检测 2.已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 知识点3 椭圆中常见结论 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 题●型●破●译 题型1 求椭圆标准方程（大题第1问必考） 例1已知椭圆，其离心率，点为椭圆的上顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上的一个动点，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，可得，故椭圆方程为； （2）设，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 方法技巧 1. 定义法：题目给出动点距离和为定值时，直接求出2a，结合焦距2c算出c，再通过求解方程； 2. 待定系数法（最常用）：步骤：① 判断焦点所在坐标轴；② 设对应标准方程；③ 代入定点、离心率、焦距等条件列方程组；④ 求解，写出方程。 补充技巧：焦点位置不确定时，可设通用式，规避分类讨论，节省解题时间。 【变式训练1-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 【变式训练1-2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，整理得到①， 又点在椭圆上，则②，由①②解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）易知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，得到， 所以， 又到直线的距离为， 所以， 令，则， 令，令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则， 所以面积的最大值为. 【变式训练1-3】椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的准线的方程为：. 因为点在抛物线的准线上，所以，解得. 故抛物线方程为，焦点为. 因为抛物线的焦点也是椭圆焦点，所以. 因为点在椭圆上，所以， 又，所以. 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，抛物线方程为，准线方程为，焦点.    根据抛物线的定义可知，，则. 根据几何性质，当，，三点共线时，取得最小值，即最小值为. 已知，， 根据两点间距离公式可得，， 因此的最小值为. 题型2 离心率计算与范围（填空高频） 例2-1（2026·上海·三模）椭圆的离心率为________． 【答案】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 例2-2已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 方法技巧 1. 基础定值型：直接根据题干条件求出a、c，代入公式计算即可； 2. 范围求解型：依托焦点三角形边长约束、余弦定理、椭圆点的坐标范围列出不等式，整体转化为关于的不等式求解； 核心结论：椭圆上任意一点到焦点距离满足，是离心率范围题核心依据。 【变式训练2-1】（2026·上海黄浦·三模）若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【答案】 【详解】由题意得，，，得，，则离心率为. 【变式训练2-2】椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2-3】已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________. 【答案】 【详解】不妨设该椭圆的焦点在横轴上，如图所示： 在直角三角形中，，， 则有，设椭圆的标准准方程为， 则有，椭圆的焦距为， 因此的离心率为， 当 时，由当且仅当时，取等号， 于是有，时，取等号， 故的离心率的最小值为， 故答案为： 题型3 焦点三角形综合问题（小题秒杀题型） 例3-1已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 例3-2（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 例3-3已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 方法技巧 1. 周长固定：，无变量，直接口算； 2. 面积公式：已知顶角，； 3. 角度最值：P在短轴顶点时，焦点三角形顶角最大； 4. 面积最值：P在短轴顶点时，焦点三角形面积最大。 【变式训练3-1】设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【答案】12 【详解】 由椭圆可得， 由椭圆的定义可知， 故， 故答案为：12 【变式训练3-2】设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则___________． 【答案】3 【详解】由椭圆可得，所以， 所以， 设，， 则，， 在中，， 即， 所以，所以，所以， 即， 故答案为：. 【变式训练3-3】已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是__． 【答案】 【详解】若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则椭圆上不存在点，使， 则以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，所以， 解得，又，所以， 故答案为：. 题型4 中点弦问题（点差法专属题型） 例4已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． （2）由（1）可知联立后的方程为， ． 方法技巧 椭圆，弦AB中点为，O为坐标原点，则： 易错分析 点差法仅能求出直线方程，事后必须验证中点在椭圆内部，确认直线与椭圆真实相交，否则会出现增根。 【变式训练4-1】若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________. 【答案】 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 【变式训练4-2】若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为________． 【答案】 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 【变式训练4-3】已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 题型5 直线与椭圆综合（弦长、面积计算·大题第2问主流） 例5-1著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 例5-2如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. （2）当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为. 方法技巧 1. 设直线：优先设，务必单独讨论斜率不存在（）的特殊情况； 2. 联立消元：将直线方程代入椭圆方程，消去y（或x），得到一元二次方程； 3. 验证判别式：必须书写，保证直线与椭圆有两个交点，规避扣分； 4. 韦达定理：设交点，写出； 5. 核心公式： 弦长公式： 三角形面积公式：（d为定点到直线的距离） 【变式训练5-1】已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，直线的方程为，即. （2）设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以. 【变式训练5-2】已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终.    【变式训练5-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，即，所以，即， 则直线的方程为：，令，得，即. 因为椭圆：的左右顶点分别为， 上下顶点分别为，四边形为菱形，边长为， 所以周长为，即， 又因为，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设，满足，即， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 由题意知，当时最小，所以，即. （3）由题意知直线的方程为，设， 由，得， 所以，解得， 又， 设，因为在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上，所以， 所以，所以， 所以点在直线上，所以. 题型6 定点、定值压轴题型（上海第三问高频） 例6-1已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【详解】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； (3)设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 例6-2（2026·上海·模拟预测）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； (3)若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 【详解】（1）由，故，，故， 故离心率． (2)设直线，的方程分别为，，,， 由，得， ，得， 又，． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线，在轴上的截距之和为0． 由四边形为菱形得，设的斜率分别为,则， 由（1）知，关于原点对称， 由椭圆的对称性知点与点，点与点均关于原点对称， 所以 ．整理得， 所以直线,之间的距离， 所以直线，之间的距离为定值． （3）由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，，四边形的面积， 因为，且，，故， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积． 方法技巧 1. 特殊值预判：取两条特殊直线（k=0、斜率不存在），代入算出结果，提前预判定点、定值，明确解题方向； 2. 一般化严谨证明：通过联立方程、韦达代换，将题干斜率、向量、垂直等条件转化为代数式，化简后消去所有变量参数，得到恒定值或定点坐标； 定点速解技巧：将含参直线整理为，联立即可求出定点。 【变式训练6-1】（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； (3)若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【详解】（1）由题设，则，离心率为； （2）由（1）知，，即， 设直线，， 联立得，则， ， ， 所以； （3）由，则为的外心， 由，根据对称性知，则， 设过的圆为， 过得，， 联立圆与直线，整理得， 上述方程与有同解， 所以，可得， 外心，则， 所以为定值. 【变式训练6-2】已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以. （3）由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 【变式训练6-3】已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【详解】（1）解：椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）解：由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当时取等， 故四边形面积的最大值为； (3)证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【变式训练6-4】已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，焦距为，故， 由，得，， 椭圆的标准方程为：． （2） 由（1）知椭圆的标准方程为：， 当斜率不存在时，设直线：，则，代入椭圆方程得， 解得，则， 由，则，解得，， 则面积为， 当直线斜率存在时，设方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，可得①， 且，则 ， 化简得，即，经检验满足①式. ， 令，，则，， ， 令，则，则， 二次函数，开口向下，对称轴，最大值为， 区间端点或时，，即，故， ， 综上可得，面积的范围为． （3） 由（1）得，则蒙日圆为， 设椭圆的切线方程为，由椭圆切线条件， 设切线与蒙日圆的交点， 联立切线与圆方程，得， 由韦达定理得，因， 则 ． 题型7 参数范围、存在性问题（压轴难点） 例7（25-26高三下·上海·阶段检测）已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． (1)求椭圆与抛物线的交点坐标； (2)若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； (3)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）联立方程，消去得，整理得，解得或（舍去）．当时，，． 交点坐标为，． （2）设，， 联立椭圆方程得， 由韦达定理得，． 重心坐标得，代入抛物线方程得． 弦长， 点到直线的距离为， 面积公式得 ， 所以， 将代入化简得， 解得或，对应或． 点的坐标为，． （3）设，，且，，则中点， 因为四边形为平行四边形，故必定在椭圆内， 故，而，故，故， 故，而， 故存在横坐标满足的点，能使得四边形为平行四边形． 方法技巧 1. 相交前提：直线与椭圆有两个交点，必须满足； 2. 向量夹角约束：钝角⇨向量数量积<0且向量不共线；锐角⇨向量数量积>0；直角⇨向量数量积=0；3. 坐标范围约束：椭圆上点满足； 4. 函数最值约束：化简参数表达式，构造一元函数，利用单调性、均值不等式求值域，确定参数范围。 【变式训练7-1】已知椭圆：，动直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若动直线经过点，则轴上是否存在定点（不同于点），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)焦距为，； (2)或； (3)存在定点. 【详解】（1）由题意，椭圆：，所以，， 则，所以， 所以焦距为，离心率是. （2）因为四边形为平行四边形， 所以且，所以， 又，所以， 设直线，，， 联立，化简得， 又， 所以，， 由可知，， 即， 解得， 所以直线方程为或.    （3）假设存在点满足题意， 当直线斜率存在时，直线与直线的斜率也存在，且， 设方程为，与：联立得：， 设，，由韦达定理得，， 所以 ， 所以， 即， 所以，解得， 当直线斜率不存在时，直线与直线的倾斜角都是， 所以它们的倾斜角互补，满足题意， 综上，存在定点，使得直线与直线的倾斜角总互补．    【变式训练7-2】（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在定点. 【详解】（1），，右焦点，， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， （2）由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到， 由可知，， 结合韦达定理， 解得， 所以直线方程为或， （3）当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 而韦达定理可得，因而得证， 综上，存在定点， 【变式训练7-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过的两条弦、互相垂直. (1)当直线与轴垂直时，求直线的方程； (2)设点在直线上，且，若以为圆心且过的圆同时过原点，求直线在轴上的截距； (3)是否存在轴上的定点，使直线恒为以、为焦点的某个椭圆的切线？若存在，求的值；否则，说明理由. 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，且. 【详解】（1）设直线的方程为，，则， 有，，则， 由题意可得，否则、、三点共线，与题意不符， 则，化简得， 则，化简得，解得， 由椭圆对称性可知，当时，， 当时，， 故直线与轴垂直时，求直线的方程为或； （2）由以为圆心且过的圆同时过原点，则， 由（1）知，若直线与轴垂直，则，又， 则与题意不符，故直线斜率存在； 设，、， 联立，消去得， 则，， 由、互相垂直，则， 即有 ， 即有， 又，化简得，即， 则有，化简得， 即有， 解得或， 对，令，则， 故直线在轴上的截距为； （3）假设存在，则由题意可得该椭圆中心在轴上， 则可设该椭圆方程为， 联立，消去有， 则， 化简得， 由（2）知，直线恒满足， 则直线恒为以、为焦点的某个椭圆的切线时， 恒有，解得或，椭圆方程均为， 化简得，整理得， 其中，，椭圆中心为， 则，即， 故该椭圆两焦点坐标分别为、， 由，故，即； 故存在，且. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 2．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 二、解答题 3．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【详解】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. （2）设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. （3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 4．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）由，则，即离心率为； （2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. （3）由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则. 综上，. 5．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 【答案】 【详解】椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为． 由已知得，即，又椭圆的两个焦点为，，所以，    从而，因此，所求椭圆的标准方程为． 2．如图，椭圆与过，的直线有且只有一个公共点P，且椭圆的离心率，求该椭圆的方程.    【答案】 【详解】由题意可知，直线方程为， 联立，消去，得， 因为直线与椭圆相切，所以， 得，又， 联立上面两式，解得：，， 所以椭圆方程为. 3．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)； (2)． 【答案】(1)，，焦点坐标为， (2)，，焦点坐标为， 【详解】（1）由可知这个椭圆的焦点在x轴上，且， 因此长轴长，半短轴长． 又因为，即． 因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率． （2）已知椭圆的方程可化为， 由可知这个椭圆的焦点在y轴上，且3 因此长轴长，半短轴长． 又因为，即． 因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率． 4．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8； (2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得，因此． 又因为，所以， 易知椭圆的焦点在x轴上， 所以所求椭圆的标准方程为． （2）因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为． 由已知得，又因为，所以． 因为点在椭圆上，所以，即． 从而有， 解得或（舍去）． 因此， 从而所求椭圆的标准方程为． 5．设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P． (1)若为直角，求椭圆的离心率； (2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为直角， 所以为等到腰直角三角形， 所以， 所以， 所以离心率为 （2）因为为钝角， 所以, 所以， 所以, 所以 得，， 所以，即， 因为 所以离心率的范围为 6．已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为，点M的坐标为，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)如果过点M的直线与椭圆相交于点P，Q两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆方程为,离心率等于. (2). 【详解】（1）因为短轴长为，所以.,所以. 因为,所以,且椭圆的焦点在x轴上,由得：,由c>0,解得c=2. 所以,所以椭圆方程为,离心率等于. （2）由(1)可知M(3,0),则该点在椭圆外,所以过该点的直线PQ的斜率必然存在. 可设直线PQ的方程为,联立 得. 设，由根与系数的关系可知:， . 由OP⊥OQ得,即， 解得:,符合,所以直线PQ的方程为. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 2．（2025·上海静安·一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________． 【答案】10 【详解】由椭圆方程可知，，， 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：10 3．（2026·上海虹口·三模）已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【答案】4 【详解】由题意可知椭圆的长轴长， 由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2， 根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 4.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 【答案】 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 5．已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由配方得：，即圆心，半径， 如图所示，由可得，则，即点为椭圆的左焦点， 设点为椭圆的右焦点，易知点在圆上. 由椭圆的定义可得，由圆的几何性质可得， 则， 当且仅当三点共线且点在点的上方时，等号成立， 此时取得最小值． 故答案为： . 6.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的顶点，，顶点在椭圆上，若某个二面角的大小为，且满足：，则的值为__________. 【答案】或 【详解】由题意可知：、为椭圆的两个焦点，在椭圆上,长轴长， 可知 由正弦定理可得：, 或. 8．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. (2)由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 9.已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. (1)求椭圆的方程. (2)直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【详解】（1）由，得， 代入椭圆方程可得， 又椭圆离心率为，可知， 解得，， 故椭圆的方程为. （2）①设，，则中点， 由，，三点共线，知， 由，均在椭圆上，，得， 由，则，则. ②由，得， ，解得， 由，故， 则， 而到的距离， 令的面积为，则. 令函数，， 记的导函数为， ， 又根据以及的符号， 知在上单调递增，在和上单调递减， 故在处取得最大值， 所以当，取得最大值. 10.已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆C的方程. (2)设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 【详解】（1）由椭圆的焦距为2，得， 由点在椭圆上，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. (2)（ⅰ）证明：由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， 则， 所以为定值. （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令，，函数在上单调递增， 函数的值域为，即，因此， 所以面积的取值范围是. 重难·创新演练 1.在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（    ）（注：若正方形的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知圆柱面的半径为1，如图，截得的椭圆半短轴长即为圆柱面的半径1． 对半轴长：在中，必能找到与平面垂直，所以， 设．则由几何关系得，故椭圆方程为， 如图，椭圆有唯一内接正方形，故令，得到， 故底面面积为，，则，． 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，故D正确. 故选：D． 2．（2025·上海杨浦·一模）已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.    (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)已知，且是线段的垂直平分线，求的值； (3)已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，又，所以. （2）因为，且是线段的垂直平分线， 所以是线段的中点. 所以可设，则，. 所以，. 由. 又点在第一象限，所以，所以，即. 又点在椭圆上，所以. 又，所以. （3）因为，所以椭圆：. 如图，作出符合题意的图形，    因为点是线段的中点，可设，，则. 设，因为. 因为都在椭圆上，所以. 因为点在第一象限，所以. 所以，，. 因为，所以直线的方程为：. 由. 由. 所以. 可得，即直线的斜率为. 3．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. （2）解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. （3）证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以.    4．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 5.已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； (3)在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 【详解】（1）依题意可知 解得，，， 所以椭圆的标准方程是. (2)设，，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得， 且，，① 又，直线的方程为， 令，解得， 将①代入可得，所以定点为， 当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点. （3）当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况. 两直线交于，， 因为，， 所以， 所以， . 所以. 又因为，所以 . 6．（2026·上海闵行·模拟预测）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，记点E的轨迹为．以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求出点E的轨迹的方程； (2)又点M在线段的延长线上，且，过点的直线与交于A，B两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A，B的点，且平分，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； （2）设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：. （3）设到直线的距离为， ， ，由（2）可知， ， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 椭圆 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 椭圆的定义 知识点2 椭圆的简单几何性质 知识点3 椭圆中常见结论 题型破译 (含超链接） 题型1 求椭圆标准方程（大题第1问必考） 题型2 离心率计算与范围（填空高频） 题型3 焦点三角形综合问题（小题秒杀题型） 题型4 中点弦问题（点差法专属题型） 题型5 直线与椭圆综合（弦长、面积计算·大题第2问主流） 题型6 定点、定值压轴题型（上海第三问高频） 题型7 参数范围、存在性问题（压轴难点） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 椭圆的标准方程 春考第11题 / / 椭圆的离心率 秋考第12题 / / 直线与椭圆的位置关系 / 秋考第20题 春考第20题 春考第20题 考情分析 弱化复杂机械计算，强化几何逻辑与代数转化思维；频繁融合平面向量、三角函数、均值不等式、充要条件；新增新定义题型、向量夹角判定、垂直约束等创新设问；斜率不存在的分类讨论成为高频易错陷阱。 2027年高考命题精准预判 1. 填空小题：重点考查离心率计算与取值范围、焦点三角形周长、面积及最值问题； 2. 解答压轴大题：第一问待定系数法求椭圆方程（必考）；第二问弦长、三角形面积或向量定值常规运算；第三问参数取值范围、直线过定点、点的存在性综合探究。 复习目标 基础层（全体学生必达成） 1. 熟练熟记椭圆两种标准方程，可快速判断焦点所在坐标轴，精准完成a、b、c、e四大参数的互相换算； 2. 透彻掌握椭圆第一定义，明确2a>2c的核心前提，熟练计算焦点三角形周长，杜绝概念性错误； 3. 掌握定义法、待定系数法两种求椭圆方程的核心方法，稳稳拿下大题第一小问满分； 4. 牢记直线与椭圆联立的标准解题步骤，熟练书写韦达定理、基础弦长公式，养成斜率存在与不存在分类讨论的解题习惯。 进阶层（中等生冲分核心） 1. 熟练解决离心率常规计算与取值范围问题，可依托焦点三角形、余弦定理快速列式解题； 2. 精通中点弦点差法，规避繁琐联立计算，提升解题速度与准确率； 3. 灵活运用焦点三角形面积、最值通用结论，快速秒杀小题； 4. 可将向量数量积、图形面积最值问题转化为函数值域问题，规范完成代数求解。 培优层（尖子生冲刺压轴） 1. 熟练掌握定点、定值通用解题模型，掌握「特殊值预判+代数严谨验证」的压轴解题思路； 2. 精准利用向量数量积正负判定夹角类型，解决锐角、直角、钝角参数约束问题，规避共线陷阱； 3. 熟练完成含参直线分类讨论，精准挖掘判别式边界、椭圆坐标范围等隐含条件； 4. 熟练处理多条件综合化简运算，规避计算失误，完整规范完成大题第三问压轴解答。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 自主检测 1．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 知识点2 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 自主检测 2.已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 知识点3 椭圆中常见结论 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 题●型●破●译 题型1 求椭圆标准方程（大题第1问必考） 例1已知椭圆，其离心率，点为椭圆的上顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上的一个动点，求的最大值. 方法技巧 1. 定义法：题目给出动点距离和为定值时，直接求出2a，结合焦距2c算出c，再通过求解方程； 2. 待定系数法（最常用）：步骤：① 判断焦点所在坐标轴；② 设对应标准方程；③ 代入定点、离心率、焦距等条件列方程组；④ 求解，写出方程。 补充技巧：焦点位置不确定时，可设通用式，规避分类讨论，节省解题时间。 【变式训练1-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【变式训练1-2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 【变式训练1-3】椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 题型2 离心率计算与范围（填空高频） 例2-1（2026·上海·三模）椭圆的离心率为________． 例2-2已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 基础定值型：直接根据题干条件求出a、c，代入公式计算即可； 2. 范围求解型：依托焦点三角形边长约束、余弦定理、椭圆点的坐标范围列出不等式，整体转化为关于的不等式求解； 核心结论：椭圆上任意一点到焦点距离满足，是离心率范围题核心依据。 【变式训练2-1】（2026·上海黄浦·三模）若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【变式训练2-2】椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【变式训练2-3】已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________. 题型3 焦点三角形综合问题（小题秒杀题型） 例3-1已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 例3-2（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3-3已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 方法技巧 1. 周长固定：，无变量，直接口算； 2. 面积公式：已知顶角，； 3. 角度最值：P在短轴顶点时，焦点三角形顶角最大； 4. 面积最值：P在短轴顶点时，焦点三角形面积最大。 【变式训练3-1】设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【变式训练3-2】设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则___________． 【变式训练3-3】已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是__． 题型4 中点弦问题（点差法专属题型） 例4已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 方法技巧 椭圆，弦AB中点为，O为坐标原点，则： 易错分析 点差法仅能求出直线方程，事后必须验证中点在椭圆内部，确认直线与椭圆真实相交，否则会出现增根。 【变式训练4-1】若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________. 【变式训练4-2】若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为________． 【变式训练4-3】已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 题型5 直线与椭圆综合（弦长、面积计算·大题第2问主流） 例5-1著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 例5-2如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 方法技巧 1. 设直线：优先设，务必单独讨论斜率不存在（）的特殊情况； 2. 联立消元：将直线方程代入椭圆方程，消去y（或x），得到一元二次方程； 3. 验证判别式：必须书写，保证直线与椭圆有两个交点，规避扣分； 4. 韦达定理：设交点，写出； 5. 核心公式： 弦长公式： 三角形面积公式：（d为定点到直线的距离） 【变式训练5-1】已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【变式训练5-2】已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【变式训练5-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 题型6 定点、定值压轴题型（上海第三问高频） 例6-1已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 例6-2（2026·上海·模拟预测）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； (3)若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 方法技巧 1. 特殊值预判：取两条特殊直线（k=0、斜率不存在），代入算出结果，提前预判定点、定值，明确解题方向； 2. 一般化严谨证明：通过联立方程、韦达代换，将题干斜率、向量、垂直等条件转化为代数式，化简后消去所有变量参数，得到恒定值或定点坐标； 定点速解技巧：将含参直线整理为，联立即可求出定点。 【变式训练6-1】（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； (3)若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【变式训练6-2】已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【变式训练6-3】已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【变式训练6-4】已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 题型7 参数范围、存在性问题（压轴难点） 例7（25-26高三下·上海·阶段检测）已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． (1)求椭圆与抛物线的交点坐标； (2)若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； (3)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 方法技巧 1. 相交前提：直线与椭圆有两个交点，必须满足； 2. 向量夹角约束：钝角⇨向量数量积<0且向量不共线；锐角⇨向量数量积>0；直角⇨向量数量积=0；3. 坐标范围约束：椭圆上点满足； 4. 函数最值约束：化简参数表达式，构造一元函数，利用单调性、均值不等式求值域，确定参数范围。 【变式训练7-1】已知椭圆：，动直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若动直线经过点，则轴上是否存在定点（不同于点），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练7-2】（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练7-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过的两条弦、互相垂直. (1)当直线与轴垂直时，求直线的方程； (2)设点在直线上，且，若以为圆心且过的圆同时过原点，求直线在轴上的截距； (3)是否存在轴上的定点，使直线恒为以、为焦点的某个椭圆的切线？若存在，求的值；否则，说明理由. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 2．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 二、解答题 3．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 4．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 5．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 2．如图，椭圆与过，的直线有且只有一个公共点P，且椭圆的离心率，求该椭圆的方程.    3．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)； (2)． 4．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8； (2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点． 5．设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P． (1)若为直角，求椭圆的离心率； (2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围． 6．已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为，点M的坐标为，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)如果过点M的直线与椭圆相交于点P，Q两点，且，求直线的方程． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海静安·一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________． 3．（2026·上海虹口·三模）已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 4.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 5．已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为______． 6.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的顶点，，顶点在椭圆上，若某个二面角的大小为，且满足：，则的值为__________. 8．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 9.已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. (1)求椭圆的方程. (2)直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 10.已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆C的方程. (2)设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 重难·创新演练 1.在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（    ）（注：若正方形的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）． A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·一模）已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.    (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)已知，且是线段的垂直平分线，求的值； (3)已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 3．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 4．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 5.已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； (3)在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 6．（2026·上海闵行·模拟预测）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，记点E的轨迹为．以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求出点E的轨迹的方程； (2)又点M在线段的延长线上，且，过点的直线与交于A，B两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A，B的点，且平分，求的取值范围． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $