5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，通过生活中四季轮回、昼夜交替等周期现象导入，衔接上节课函数图象知识，以观察图象特征为支架，引导学生理解周期函数定义、最小正周期及奇偶性判定。 其亮点在于运用数形结合思想，通过图象观察与诱导公式推导相结合，如用换元法得出y=A sin(ωx+φ)的周期公式，结合y=|sinx|图象直观判断周期，培养学生数学眼光与思维。小结提炼核心规律与易错点，助力学生系统掌握，也为教师提供结构化教学方案。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 （第1课时） 5.4三角函数的图象与性质 周期性和奇偶性 学 习 目 标 1 2 3 理解周期函数、周期、最小正周期的定义，掌握正弦函数、余弦函数的周期性，明确y=sin⁡x、y=cos⁡x的最小正周期为2π。 掌握正弦、余弦函数奇偶性的结论及推导过程，能利用定义和诱导公式判断简单三角函数的奇偶性。 学会利用周期性、奇偶性解决简单的三角函数求值、化简等问题。 同学们，我们在上一节课通过五点法画出了正弦函数、余弦函数的完整图象。大家观察图象可以发现，正弦曲线、余弦曲线都呈现出周而复始、重复出现的变化规律，这和我们生活中的周期现象高度契合：四季轮回、昼夜交替、钟表转动，都是固定周期重复的现象。 函数图象的重复变化、三角函数值的循环不变性，本质上就是三角函数的核心性质——周期性。 除此之外，函数的奇偶性是我们研究函数的基本性质，正弦、余弦函数是否具备奇偶性？今天我们就聚焦这两个核心性质，系统探究正弦、余弦函数的周期性与奇偶性。 目标一：三角函数的周期性 问题：观察正弦函数图象，发现其有什么特点？ 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 2𝛑个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的 “周而复始” 的变化规律. 余弦函数是否也具有上述特点？ 是 正余弦函数周期现象 实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z) 中得到反映, 即自变量 x 的值增加 2π 整数倍时所对应的函数值, 与 x 所对应的函数值相等. 数学上, 用周期性这个概念来定量地刻画这种 “周而复始” 的变化规律. 一般地, 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果存在一个非零常数 T, 使得 对每一个 x∈D 都有 x+T∈D, 且 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫做 周期函数. 非零常数 T 叫做这个函数的周期. 函数的周期性定义 最小正周期 周期函数的周期不止一个. 例如，2π, 4π, 6π, …以及-2π, -4π, -6π, …都是正弦函数的周期. 事实上，∀k∈Z 且 k≠0，常数 2kπ 都是它的周期. 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 正弦函数是周期函数，周期：2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周期：2π. 余弦函数是周期函数，周期：2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周期：2π. 注意 ①如果不加特别说明，以后所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期 ②并非所有的周期函数都有最小正周期，如：常数函数 f(x)=c 目标二：求三角函数型函数的周期性 1、求下列函数的周期 (1)y=3sinx,x∈R; (2)y=cos2x,x∈R; ∀x∈R, 有3sin(x+2π)=3sinx，由周期函数的定义可知，y=3sinx的周期为2π. 第1题中函数主体是正弦函数，所以其周期与正弦函数相同；第2题角度是2x，用换元法把角看成一个整 体，新函数周期是2π，算出相对于x，每增加多少单位函数值不变，即得周期 令z=2x, 由x∈R得z∈R,且y=cosz的周期为2π，即cos(z+2π)=cosz, 于是cos(2x+2π)=cos2x,所以cos2(x+π)=cos2x,x∈R，由周期函数的定义知，y=cos2x的周期为π. 牛刀小试 例2 求下列函数的周期 (3)y=sin( x-） 第一步，先用换元法转换. 第二步，利用已知三角函数的周期找关系. 第三步，根据定义变形. 第四步，确定结论. 根据定义可知其周期. 令，由得，且的周期为，即 ，于是，所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 牛刀小试 周期公式 回顾上面例题的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 可以看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关. 本例是利用f(x+T)=f(x)求周期，并由此观察周期与自变量系数的关系. 在f(x+T)=f(x)中，T是相对于自变量x而言的. 结论: 函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R) 与 y=Acos(ωx+φ)(x∈R) 的周期均为 证明: 令 ，则 , , 求下列函数的周期：y=2sin( x+), x∈R; 定义法 解：因为 所以自变量只要并且至少要增加到，函数的值才能重复出现. 所以函数的周期是. 公式法 y=2sin( x+),中𝛚= ，所以周期是=𝟒𝝅 求下列函数的周期： 观察图象可知最小正周期为𝛑 作图如下： 求三角函数周期的方法 方法 说明 定义法 利用周期函数的定义求解 公式法 形如 、，周期 观察法 观察函数图象求周期 目标三：三角函数的奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线, 可以看到正弦曲线关于原点 O 对称, 余弦曲线关于 y 轴对称. 这个事实, 也可由诱导公式 sin(-x)=-sinx, cos(-x)=cosx得到. 导入奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 判断奇偶性 下列函数中，周期为 的奇函数是() A. B. C. D. 【解析】对于 A，，是奇函数，周期，不符合题意； 对于 B， ，是奇函数，周期，符合题意； 对于 C， ，是偶函数，不符合题意； 对于 D， ， 是偶函数， 不符合题意.故选 B. 判断奇偶性方法归纳 判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性， 关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y=Acosωx(Aω≠0)其中的一个. 其他结构，比如含绝对值或分段，可以根据图象的对称特点，可以套用奇偶性定义判断。 φ=kπ(k∈Z)时，y=Asin(ωx+φ)是奇函数，y=Acos(ωx+φ)是偶函数； φ=kπ+π/2 (k∈Z)时，y=Asin(ωx+φ)是偶函数，y=Acos(ωx+φ)是奇函数. 目标四：针对训练 举一反三 1.若函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. -2 【答案】A 【详解】最小正周期，解得， 则， . 2.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 解析：A，B 中的函数是奇函数，D 中的函数是非奇非偶函数，C 中的 函数符合偶函数的定义，所以 是偶函数. 举一反三 3. .函数 的部分图象是( ) 解析: 设 ，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称对称， ，所以 为奇函数， 图象关于原点对称，又 ，选项 BCD 不能同时满足以上要求，而选项 A 满足以上要求，所以选项 A 中的图象是函数 的可能图象.故选：A. 举一反三 4. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ ； ； ； ． 答案：(1) (3) (4) 是奇函数; (2) 是偶函数 解析：(1) ，函数的定义域为, ，所以函数是奇函数; ，函数的定义域为, ,所以函数是偶函数; 举一反三 4. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ ； ； ； ．   ，函数的定义域为, ，所以函数是奇函数; ，函数的定义域为, ，所以函数是奇函数. 目标五：小结 学海拾贝 1. 周期性（核心规律） 周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为周期。其中最小的正数T为最小正周期。 结论：y=sin⁡x和y=cos⁡x都是周期函数，最小正周期均为2π。 2. 奇偶性（核心结论） 由诱导公式可得：sin⁡(-x)=-sin⁡x，故y=sin⁡x是奇函数，图象关于原点对称； cos⁡(-x)=cos⁡x，故y=cos⁡x是偶函数，图象关于y轴对称。 学海拾贝 3. 思想方法与应用 本节课运用了数形结合、从特殊到一般的思想，通过图象直观感知、公式严谨证明的方式探究函数性质。利用周期性可以实现三角函数值的“化繁为简、化大为小”，利用奇偶性可以简化对称区间的求值、化简问题。 4. 易错提醒 周期函数的周期不唯一，我们解题中默认使用最小正周期；判断三角函数奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称。 下节课我们将继续依托图象和周期性，探究正弦、余弦函数的单调性与最值性质。 学海拾贝 判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(-x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $