5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的性质，核心内容包括周期函数、最小正周期的概念，以及正弦余弦函数的周期性、奇偶性。通过回顾函数基本性质，结合“明辨是非”判断题辨析易混点，借助性质对比表构建知识支架，衔接三角函数图像与性质的学习。 其亮点在于以数学抽象深化概念理解，通过“解题有招”总结求周期的定义法、公式法、图像法和奇偶性判断的定义域优先原则，结合典例及变式训练提升数学运算能力。直观想象辅助图像分析，帮助学生形成逻辑思维，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一) 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.(数学抽象、直观想象) 2.会求函数y=Asin (ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期.(数学抽象、直观想象) 3.掌握y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(数学抽象、直观想象) 一、周期函数 1.函数的周期性 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个__________,使得对每一个 x∈D都有x+T∈D,且___________,那么函数f(x)就叫做周期函数.__________ 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期. 非零常数T f(x+T)=f(x) 非零常数T 最小的正数 二、正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 函数 y=sin x y=cos x 图象 定义域 R R 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π ___ 奇偶性 _______ _______ 2π 奇函数 偶函数 [思考] 是不是所有的函数都有最小正周期?举例说明. 提示:不是所有的函数都有最小正周期.例如,常函数f(x)=C(C为常数),x∈R是周期函数,但它没有最小正周期. [点睛] 1.周期性 (1)周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的.如果只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),那么T是不能称为f(x)的周期的. (2)从等式来看,应是自变量x本身所加的非零常数才是周期. (3)不是所有的函数都是周期函数. (4)周期函数的周期不止一个,如果T是函数f(x)的周期,那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期. (5)设周期为T的函数的定义域为M,若x∈M,则必有x+nT∈M(n∈Z且n≠0).因此周期函数的定义域一定是无限集. (6)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数,则只需研究它在一个周期范围内的性质,就可以知道它的整体性质. 2.奇偶性 (1)判断函数的奇偶性时,一定要判断函数的定义域是否关于原点对称,当定义域不关于原点对称时,正弦型函数和余弦型函数就不具有奇偶性. (2)由奇偶性可知正弦曲线关于原点(0,0)对称,余弦曲线关于y轴对称. (3)正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.函数y=sin x,x∈R的对称轴是x=+kπ,k∈Z,对称中心是(kπ,0),k∈Z;函数y=cos x,x∈R的对称轴是x=kπ,k∈Z,对称中心是(+kπ,0),k∈Z. (4)函数y=Asin (ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0,x∈R)的最小正周期为T=. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数.( ) 提示:因为函数的定义域不关于原点对称, 所以y=sin x,x∈(-π,π]是非奇非偶函数. (2)由于sin (+)=sin ,所以是函数y=sin x的一个周期.( ) 提示:由sin (x+)=cos x≠sin x,故不是函数y=sin x的一个周期. × × (3)因为sin (+4π)=sin ,所以函数y=sin 的周期为4π.( ) 提示:由sin (+2π)=sin ,所以2π是函数y=sin 的周期,而4π只是函数y=sin 的一个周期,故错误. (4)函数y=sin (x)是奇函数.( ) 提示:函数y=sin (x)的定义域为R,且sin (-x)=-sin (x),所以函数y=sin (x)是奇函数,故正确. × √ 类型1 正弦函数、余弦函数的周期性(数学抽象) 【典例1】求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3sin x,x∈R; (2)y=cos 2x,x∈R; (3)y=2sin (x-),x∈R; (4)y=|sin x|,x∈R. 【解析】(1)∀x∈R有3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的最小正周期为2π. (2)因为cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=cos 2x的最小正周期为π. (3)令t=x-,由x∈R得t∈R且y=2sin t的最小正周期为2π. 即2sin(t+2π)=2sin t,于是2sin (x-+2π)=2sin (x-), 所以2sin [(x+4π)-]=2sin (x-), 由周期函数的定义知,函数y=2sin (x-)的最小正周期为4π. (4)因为函数y=|sin x|,x∈R的图象如图所示. 由图象可知y=|sin x|的最小正周期为π. 【解题有招】 求三角函数最小正周期的常用方法 定义法 利用周期函数的定义求解 公式法 对形如y=Asin (ωx+φ)或y=Acos (ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0, ω≠0)的函数,T= 图象法 利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期 【即学即练】 若函数f(x)=3cos(ax-)的最小正周期为π,则常数a=　　　　　.  【解析】因为函数f(x)=3cos(ax-)的最小正周期为π,所以=π,解得a=±2. 答案:±2 类型2 正弦函数、余弦函数的奇偶性(直观想象) 【典例2】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin xcos x; (2)f(x)=; (3)f(x)=+. 【解析】(1)函数的定义域为R,关于原点对称. 因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)=sin xcos x为奇函数. (2)函数应满足1-sin x≠0,所以函数的定义域为{x|x≠2kπ+,k∈Z},显然定义域不关于原点对称,所以f(x)=为非奇非偶函数. (3)由得cos x=1,所以函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.当cos x=1时,f(-x)=0,f(x)=±f(-x). 所以f(x)=+既是奇函数又是偶函数. 【解题有招】 判断函数奇偶性的思路 【即学即练】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=sin (x+); (2)f(x)=|sin x|+cos x; (3)f(x)=x2cos (x+). 【解析】(1)f(x)=sin (x+)=-cos x,x∈R,因为∀x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=-cos (-x)=-cos x=f(x),所以函数f(x)=sin (x+)是偶函数. (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x), 所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数. (3)f(x)=x2cos (x+)=-x2sin x,x∈R,因为∀x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),所以函数f(x)=x2cos (x+)为奇函数. 类型3 三角函数奇偶性与周期性的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例3】(一题多变) [母题]定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,)时,f(x)=sin x,则f()等于(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选D.f()=f(-2π)=f(-)=f()=sin . √ [变式]在母题中,把“偶函数”变成“奇函数”,其他不变,则f()的值为　　　.  【解析】f()=f(-2π)=f(-)=-f()=-sin =-. 答案:- 【解题有招】 关于奇偶性、周期性的应用 (1)奇偶性:以函数f(x)=sin(ωx+φ)为例,当已知函数为奇函数时,φ=kπ,k∈Z,当已知函数为偶函数时,φ=+kπ,k∈Z. (2)周期性:利用周期性可以将角转化到已知的区间上,利用已知区间上的解析式求值. 【即学即练】 已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=sin x;当-π≤x≤π时,f(-x)=-f(x);当x>时,f(x+)=f(x-),则f(π)=(　　) A.- B.0 C. D.- √ 【解析】选C.因为当x>时,f(x+)=f(x-), 所以当x>时,f(x)的周期是π.所以f(π)=f(). 因为当-π≤x≤π时,f(-x)=-f(x). 所以f()=-f(-)=-sin (-)=sin . $