5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的图象，涵盖单位圆法、五点法及图象变换等核心内容。通过沙摆实验导入，联系物理简谐运动引出正弦曲线，衔接三角函数定义，搭建从具体现象到抽象图象的学习支架，含演示动画辅助理解。 其亮点在于以实验观察培养数学眼光，对比单位圆法（严谨）与五点法（高效）发展数学思维，通过典例及变式训练强化数学语言表达。小结用“学海拾贝”梳理方法与思想，助力学生直观构建知识体系，教师可提升教学效率与学生探究能力。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 5.4三角函数的图象与性质 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握利用单位圆中的正弦线、余弦线画出正弦函数、余弦函数图象的原理与步骤；熟练掌握 “五点法” 画正弦曲线、余弦曲线的步骤。 能准确找出五个关键点并作出理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系，能通过图象变换由 y=sinx 得到 y=cosx 的图象；给定区间上的简图； 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系，能通过图象变换由 y=sinx 得到 y=cosx 的图象；能利用正弦、余弦函数的图象解决简单的不等式、零点及定义域问题。 沙摆实验 知识讲解 互动探究 新课引入 将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，灌上细沙后拉离平衡位置释放，同时匀速拉动下方的纸板，纸板上会留下一条连续的曲线。 ：物理中把这条曲线叫做什么？它表示了哪个物理量随时间的变化？ 这是简谐运动的图象，物理中称为”正弦曲线”或”余弦曲线”，表示位移随时间的变化。 通过实验观察，你对正弦函数、余弦函数的图象有怎样的直观印象？ 3 目标一：正弦函数的图象 正弦函数图象的研究思路 知识讲解 互动探究 新课引入 为什么要研究正余弦曲线的画法 前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论. 为什么先研究[0,2𝛑]上的正余弦曲线的画法 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 sin(x±2π)=sinx, cos(x±2π)=cosx 来表示.这说明，自变量每增加(减少) 2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程. 下面先研究函数 y=sinx, x∈R 的图象, 从画函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象开始. 5 特殊的描点法 一般画图象，都要使用描点法，简单地说，就是列表，描点。但在画正余弦曲线时，用的不是简单的描点法，而是把点从单位圆上平移到直角坐标系中，依次连结这些点，就构成了正余弦曲线。 思考：在 上任取一个值 ，如何利用正弦函数的定义，确定 正弦函数值 ，并画出点 ？ 如图，在直角坐标系中画出以原点 O 为圆心的单位圆，⊙O 与 x 轴正半轴 的交点为 A(1,0). 在单位圆上, 将点 绕着点 旋转 弧度至点 , 根据正弦函数的定义, 点 的纵坐标 . 由此, 以 为横坐标, 为纵坐标画点, 即得到函 数图象上的点 . 特殊的描点法(正弦线平移法） 若把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份, 使 的值分别为0,,,, ⋯,2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分, 再按上述画点 的方法, 就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点 (如图). 事实上, 利用信息技术, 可使 在区间 [0,2π] 上取到足够多的值而画出足够多的点 , 将这些点用光滑的曲线连接起来, 可得到比较精确的函数 y=sinx, x∈[0,2π]的图象 （如图）. 形成正弦函数的图象 演示动画 思考:根据函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象,你能想象函数 y=sinx, x∈R 的图象吗? y=sinx, x∈R 的图象 由诱导公式一可知, 函数 y=sinx, x∈[2kπ,2(k+1)π], k∈Z 且 k≠0 的图象与 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象形状完全一致. 因此将函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象不断向左、向右平移（每次移动 2π 个单位长度）, 就可以得 到正弦函数 y=sinx, x∈R的图象（如图）. 正弦函数 y=sinx, x∈R 的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 五点法 思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点 观察上图, 在函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象上, 以下五个 (0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用. 描出这五个点, 函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象形状就基本确定了. 因此, 在精确度要求不高时, 常先找出这五个关键点, 再用光滑的曲线将它们连接起来, 得到正弦函数的简图. 这种近似的 “五点（画图）法” 是非常实用的. 画出下列函数的简图： y=1+sinx, x∈[0,2π] ; 五点法画正弦曲线 解：（1）按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图） 牛刀小试 画出下列函数的简图： y=1+sinx, x∈[0,2π] ; 五点法画正弦曲线 思考: 你能利用函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象, 通过图象变换得到 y=1+sinx∈[0,2π] 的图象吗? 能. 以函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象为基础, 将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度, 所得图象即函数 y=1+sinx, x∈[0,2π] 的图象. 牛刀小试 目标二：余弦函数的图象 思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 图象变换（平移）法画余弦曲线 对于函数 y=cosx, 由诱导公式cosx=sin(x+)得, y=cosx=sin(x+), x∈R．而函数 y=sin(x+), x∈R 的图象可以通过正弦函数 y=sinx, x∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以, 将正弦函数的图象向左平移个单位长度, 就得到余弦函数的图象, 如图所示． 余弦函数 y=cosx, x∈R 的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线 具有相同形状的 “波浪起伏” 的连续光滑曲线. 类似于用 “五点法” 画正弦函数图象, 找出余弦函数在区间[-π, π]上相应的五个关键点, 将它们的坐标填入下表, 然后画出y=cosx, x∈[-π, π]的简图. 余弦曲线五点法 五点法画余弦曲线 画出下列函数的简图：y=-cosx, x∈[0,2π] . 按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图） 同样地, 利用函数 y=cosx, x∈[0,2π] 的图象, 通过怎样图象变换就能得到函数 y=-cosx, x∈[0,2π] 的图象? 能. 以函数 y=cosx, x∈[0,2π] 的图象为基础, 作它关于 x 轴的对称图象,所得图象即函数 y=-cosx, x∈[0,2π] 的图象. 牛刀小试 函数 y=-cosx(x>0) 的图象中与 y 轴最近的最高点的坐标为( ) A.(,1) B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1) 答案：B 解析：用“五点 (画图) 法”作出函数y=-cosx(x>0)在(0,2π]内的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1). 牛刀小试 目标三：典型例题 五点法画函数的图象 利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表: 1                                【分析】分别取等于，求出对应的的值，再通过描点得出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 典例分析 例 五点法画函数的图象 “五点法”作函数的简图 2   定点: 如表所示. _____ ______ ______ ______ ______ _____ ______ ______ ______ ______ 作图: 在坐标系中描出这五个关键点, 用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像. 扩展: 将所得图像, 按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图像. 【答案】 其实这道题反映的是如何利用五点法画更复杂的正余弦型函数的图象。是做为角的整体取五个特殊角，不是自变量x取。 典例分析 例 五点法画函数的图象 作出下列函数的大致图像: . 3 按五个关键点列表: 从变换的角度看，从余弦函数的图象关于x轴对称得到-cosx的图象，再向上平移1个单位长度。 典例分析 例 图象的应用 4 已知函数. (1)请用”五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集. 假设f(x)由图象解为 把x换成，则解得解集为 典例分析 例 图象的应用 5 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D.6 【详解】当时，曲线与的图象如图所示,  由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 典例分析 例 目标四：针对训练 举一反三 1.函数 的大致图象是( ) 答案: C 解析: 因为-<x<，所以y= 故函数 y=|sinx|(-)的大致图象是选项 C 中的图象. 举一反三 2.方程 x+sinx=0 的根有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 答案: B 解析: 设 f(x)=-x, g(x)=sinx, 在同一直角坐标系中画出 f(x) 和 g(x) 的图象, 如图所示. 由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点, 则方程x+sinx=0仅有一个根. 举一反三 3.函数 y=1-sinx, x∈[0,2π] 的大致图象是( ) 答案: B 解析: 由题意得, 当x=0时, y=1, 故排除选项 C、D, 当x=π/2时, y=0, 故排除选项 A, 故选 B. 举一反三 4. (多选) 满足不等式的的值可以是( ) A. B. C. D. 答案：BCD 解析：如图，由三角函数的图象知，当时， ，故BCD都符合题意.故选B，C，D. 举一反三 5. (多选) 用 “五点法” 画 的图象时, 下列是关键点的是（ ） A. B. C. D. 答案: BC 解析: 按五个关键点列表: 目标五：小结 学海拾贝 要点 内容 正弦曲线 的图象，是一条”波浪起伏”的连续光滑曲线，周期为 余弦曲线 的图象，可由正弦曲线向左平移 个单位得到，依据： 五点法作图 在 上，正弦函数的五个关键点：；余弦函数的五个关键点： 作图步骤 ① 列表（找五点）→ ② 描点 → ③ 用光滑曲线连线 → ④ 按周期性向左右延伸 学海拾贝 1. 单位圆法：利用单位圆中的正弦线（余弦线）进行几何描点，原理严谨但操作繁琐，适合理解图象的生成过程。 2. 五点法：在精确度要求不高时，抓住五个关键点即可快速画出简图，是实用高效的作图方法。 3. 图象变换法：利用正弦与余弦的诱导公式关系，通过平移变换由一种曲线得到另一种曲线。 学海拾贝 数形结合：函数图象是研究函数性质的直观工具，“以形助数”可以大大简化问题。 从特殊到一般：先画出 [0,2π] 上的图象，再利用周期性扩展到整个定义域。 化归思想：复杂的余弦曲线作图问题，可以转化为熟悉的正弦曲线作图问题。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $