5.3　诱导公式(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦诱导公式二、三、四，通过单位圆对称性直观推导公式，衔接诱导公式一形成知识链，以“图形表示-终边关系-公式推导”为支架帮助学生理解公式来源与内在逻辑。 其亮点在于融合直观想象与数学抽象，用单位圆图形揭示公式几何本质，通过“明辨是非”辨析易错点，分“给角求值、给值求值、化简证明”类型设计典例并总结“解题有招”步骤。这能提升学生逻辑推理与数学运算能力，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

5.3　诱导公式(一) 【学习目标】 1.借助单位圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.(直观想象、数学抽象) 2.能够运用诱导公式一~四进行化简与求值.(逻辑推理、数学运算) 诱导公式二~四 1.公式二 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (π+α)=______ 角π+α与角α的终边关于原点对称 cos (π+α)=______ tan (π+α)=_____ -sin α -cos α tan α 2.公式三 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (-α)=______ 角-α与角α的终边关于x轴对称 cos (-α)=_____ tan (-α)=______ -sin α cos α -tan α 3.公式四 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (π-α)=_____ 角π-α与角α的终边关于y轴对称 cos (π-α)=______ tan (π-α)=______ sin α -cos α -tan α [思考] 在学习上述公式时,如何体会轴对称、中心对称的作用? 提示:上述公式是圆对称性的“代数表示”.因此,用数形结合的思想从单位圆关于坐标轴、原点的对称性出发研究公式,可以发现终边关于坐标轴或原点对称的角的正弦函数值、余弦函数值之间的关系,使得公式(数)与单位圆(形)紧密结合,成为一个整体,不仅大大简化了公式的推导过程,而且还有利于对公式的记忆. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.( ) (2)诱导公式中的角α一定是锐角.( ) 提示:sin (-)=-sin ,此时α不是锐角,故错误. √ × (3)由诱导公式三知cos [-(α-β)]=-cos(α-β).( ) 提示:由诱导公式三知cos [-(α-β)]=cos(α-β),故错误. (4)在△ABC中,sin (A+B)=sin C.( ) 提示:在△ABC中,A+B+C=π,sin (A+B)=sin(π-C)=sin C,故正确. × √ 类型1 给角求值(数学运算) 【典例1】求值: (1)sin +cos +cos (-)=　　　　.  (2)sin(-1 200°)tan 585°+cos(-300°)·sin(-750°)=　　　　.  【解析】(1)因为sin =sin (π-)=sin ,cos =cos (π+)=-cos =-, cos (-)=cos =cos (4π-)=cos (-)=cos , 所以sin +cos +cos (-)=+(-)+. (2)原式=-sin 1 200°tan 585°-cos 300°sin 750° =-sin(3×360°+120°)tan(2×360°-135°)-cos(360°-60°)sin(2×360°+30°) =-sin 120°tan(-135°)-cos(-60°)sin 30° =sin(180°-60°)tan 135°-cos 60°sin 30°=sin 60°tan(180°-45°)-cos 60°sin 30° =-sin 60°tan 45°-cos 60°sin 30°=-×1-=-. 答案:(1)　(2)- 【解题有招】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 【即学即练】 求下列各式的值. (1)sin(-)+cos ·tan 2 025π-2cos ; (2)cos (-120°)sin (-150°)+tan 855°. 【解析】(1)sin(-)+cos ·tan 2 025π-2cos =sin +cos ·tan 0-2cos(-)=+0-2cos -2×=-. (2)原式=-cos (180°-60°)·sin (180°-30°)+tan (135°+2×360°) =-(-cos 60°)sin 30°+tan 135°=cos 60°sin 30°+tan (180°-45°) =cos 60°sin 30°-tan 45°=-1=-. 类型2 给值求值(数学运算) 【典例2】(1)已知cos α=,0<α<,则sin (3π+α)的值为(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选A.由cos α=,0<α<,得sin α=, 所以sin (3π+α)=-sin α=-. √ (2)(2025·江门高一检测)已知cos(53°-α)=,则cos(127°+α)=(　　) A.±　 B. C.　 D.- 【解析】选D.由cos(53°-α)=,得cos(127°+α)=cos [180°-(53°-α)] =-cos(53°-α)=-. √ 【解题有招】 关于给值求值问题 (1)能直接利用诱导公式的,直接利用诱导公式化简,再观察已知与要求的式子的关系,结合同角三角函数的基本关系求值. (2)不能直接利用诱导公式的,观察已知角与所求的角的关系,两角和、差是否为特殊角,是否具有互补等关系,再进一步利用诱导公式求值. 【即学即练】 1.(2025·长春高一检测)若sin α=,α∈(,π),则cos(π-α)的值为　　　　.  【解析】由sin α=,α∈(,π),得cos(π-α)=-cos α=-[-]=. 答案: 2.已知sin (-x)=,且<x<,则cos (+x)=　　　　.  【解析】因为sin (-x)=sin [π-(-x)]=sin (+x)=, 且<x<,所以<+x<,所以cos (+x)=-=-. 答案:- 类型3 化简求值及证明(数学运算) 【典例3】(1)化简:. (2)(一题多解)设tan (α+)=m, 求证:. 【解析】(1)= ===-1. (2)方法一:左边== ==右边,所以原等式成立. 方法二:由tan (α+)=m,得tan (α+)=m, 所以等式左边== ==右边,等式成立. 【解题有招】 关于化简求值问题 (1)化简:根据所给式子合理选择相应诱导公式; (2)求值:结合同角三角函数关系求出未知的三角函数值,注意角的范围. 【即学即练】 1.化简:(1); (2). 【解析】(1)==1. (2)原式===-1. 2.求证:=. 【证明】因为左边== ==, 右边=,所以左边=右边,故原式成立. $