5.4培优课 三角函数中的参数求解（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角函数中的参数求解，涵盖由最值、图像、奇偶性、对称性及单调性求参数五类问题，结合高考命题规律，以方程思想与待定系数法为支架，衔接三角函数性质与逆向思维问题，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分类解析与例题规律结合，通过逆向问题训练数学思维，如例1利用函数对称性推理参数值，规律方法提炼求解策略培养数学语言表达。学生能提升参数问题解题能力，教师可借助系统资源优化教学效率。

培优课　三角函数中的参数求解 1 　　含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，解答时通常将方程思想与待定系数法相结合.本文结合最近几年高考命题规律，对求解参数问题进行分类解析. 重点解读 一、由三角函数的最值求参数 01 二、由三角函数的图象求参数 02 三、由三角函数的奇偶性求参数 03 目录 课时作业 06 四、由三角函数的对称性求参数 04 五、由三角函数的单调性求参数 05 3 一、由三角函数的最值求参数 01 PART 目 录 【例1】　如果f（x）＝ sin 2x＋a cos 2x，x∈R，且f（x）在x＝－ 时 取得最大值，则实数a的值为 ⁠. 解析：∵x＝－ 时f（x）取得最大值，∴f（x）关于x＝－ 对称，∴f （－ ＋x）＝f（－ －x）对∀x∈R均成立.令x＝－ 代入上式，有f （－ ）＝f（0），∴f（－ ）＝ sin ［2×（－ ）］＋a cos ［2×（－ ）］＝－ sin ＋a cos ＝－1，f（0）＝ sin 0＋a cos 0＝a，∴a＝－1. －1 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　求形如y＝a sin x＋b（或y＝a cos x＋b）型三角函数中的参数a，b 的值时，一般利用正弦（余弦）函数的有界性列方程组求解，注意参数a 的正负. 数学·必修第一册 目 录 训练1　为了使函数y＝ cos ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现5次最大 值，则ω的最小值为（　　） A. 4π B. 8π C. 10π D. 12π 解析：　由题意知：ωx∈[0，ω]，又y＝ cos x在[0，＋∞）上的最大值 依次在x＝0，2π，4π，6π，8π，10π，…处取得，要至少出现5次最大值， 可得ω≥8π，ωmin＝8π，故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 二、由三角函数的图象求参数 02 PART 目 录 【例2】　已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象 与x轴相交的两相邻点的坐标为（ ，0）和（ ，0），则函数f（x） ＝ ⁠ tan（ x－ ） 解析：由题意可得f（x）的周期为T＝ － ＝ ＝ ，所以ω＝ ，得f （x）＝tan（ x＋φ），又其图象过点（ ，0），所以tan（ × ＋φ）＝ 0，即tan（ ＋φ）＝0，所以 ＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－ ，k∈Z， 又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .所以f（x）＝tan（ x－ ）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 由三角函数的图象求参数一般涉及A、ω、φ： （1）A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定； （2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定； （3）φ可由某关键点、线确定. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－π≤φ＜π）的图象如图所 示，则ω＝ 　　　，φ＝ 　　. 　 解析：由图象可知ω＝ ，当x＝2π时，y＝1，∴ ×2π＋φ＝ ＋2kπ， k∈Z. ∵－π≤φ＜π，∴φ＝ π. π 数学·必修第一册 目 录 03 PART 三、由三角函数的奇偶性求参数 目 录 【例3】　已知函数f（x）＝ sin （x＋ ＋φ）是奇函数，则φ的值可以 是（　　） A. 0 B. － C. D. π 解析：　法一　f（x）＝ sin （x＋ ＋φ）为奇函数，则只需 ＋φ＝ kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－ ，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－ 满足题意. √ 法二　因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即 sin （ ＋φ）＝0， 所以φ＋ ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－ ，k∈Z. 令k＝0，则φ＝－ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 由三角函数的奇偶性求参数φ的思路 （1）要使y＝A sin （ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ （k∈Z）； （2）要使y＝A sin （ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ＋ （k∈Z）； （3）要使y＝A cos （ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ＋ （k∈Z）； （4）要使y＝A cos （ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ（k∈Z）. 数学·必修第一册 目 录 训练3　函数y＝3 cos （2x＋φ）是奇函数，则｜φ｜的最小值是 ⁠. 解析：因为y＝3 cos （2x＋φ）是奇函数，所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，所以 当k＝0时，｜φ｜取得最小值 . ​ 数学·必修第一册 目 录 04 PART 四、由三角函数的对称性求参数 目 录 【例4】　已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜ ）的最 小正周期为π，且关于（ ，0）中心对称，则φ＝ 　－ 　. 解析：因为f（x）的最小正周期为π，所以T＝ ＝π，得ω＝2，则f （x）＝ sin （2x＋φ）.又f（x）关于（ ，0）中心对称，所以2× ＋φ ＝kπ，k∈Z，即φ＝－ ＋kπ，k∈Z，又0＜｜φ｜＜ ，所以取k＝0， 得φ＝－ . － 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 由三角函数的对称性求参数φ的思路 （1）对于函数y＝ sin （ωx＋φ），y＝ cos （ωx＋φ），应将ωx＋φ看 成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋ （k∈Z），求出 φ的值； （2）对于函数y＝tan（ωx＋φ），令ωx＋φ＝ （k∈Z），求出φ的值. 数学·必修第一册 目 录 训练4　已知函数y＝ sin （2x＋φ）（－ ＜φ＜ ）的图象关于直线x＝ 对称，则φ的值是 ⁠ 解析：由题意可得 sin （ π＋φ）＝±1，所以 π＋φ＝ ＋kπ，φ＝ － ＋kπ（k∈Z），因为－ ＜φ＜ ，所以k＝0，φ＝－ . － 数学·必修第一册 目 录 05 PART 五、由三角函数的单调性求参数 目 录 【例5】　已知函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单 调递增，则ω的取值范围是 ⁠. 解析：函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单调 递增，当－ ＜x＜ 时，－ ＋ ＜ωx＋ ＜ ＋ ，∵当x＝0时，ωx ＋ ＝ ，由于函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单 调递增，∴ 解得ω≤ ，∵ω＞0，∴0＜ω≤ ，因此， ω的取值范围是（0， ］. （0， ］ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明 确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的 单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式组）求解. 数学·必修第一册 目 录 训练5　已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）在区间[0，a]（a＞0）上单调 递增，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第一册 目 录 解析：　令t＝2x＋ ，因为0≤x≤a，故 ≤t≤2a＋ ，因为f（x） 在[0，a]上单调递增，故y＝ sin t在［ ，2a＋ ］上单调递增，故2a＋ ≤ 即0＜a≤ ，故选A. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 06 PART 目 录 1. 已知函数y＝ sin （2x＋φ）的图象关于点（ ，0）对称，则φ的可能取 值为（　　） A. － B. C. － D. 解析：因为函数y＝ sin （2x＋φ）的图象关于点（ ，0）对称，所以 2× ＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝kπ－ （k∈Z）.结合选项，当k＝0 时，φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第一册 目 录 2. f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［0， ］上单调递增，在［ ， ］上 单调递减，则ω＝（　　） A. 2 B. C. D. 解析：　当x＝ 时，函数f（x）取得最大值，则 sin ＝1，所以 ＝ 2kπ＋ （k∈Z），所以ω＝6k＋ ，k∈Z，又ω＞0，结合选项ω＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 3. 已知直线x＝ 和x＝ 是曲线f（x）＝ sin （ωx＋φ）（－π＜φ≤π） 的两条对称轴，且函数f（x）在（ ， ）上单调递减，则φ＝（　　） A. － B. 0 C. D. π 解析：　由f（x）在（ ， ）上单调递减可知，f（ ）是最小值， 由两条对称轴为直线x＝ 和x＝ 可知，直线x＝0也是对称轴，且f （0）＝－1为最小值，故 sin φ＝－1.又－π＜φ≤π，解得φ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 4. 已知函数f（x）＝2 sin 的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－ a的值一定不可能是（　　） A. π B. 2π C. π D. π 解析：　∵f（x）＝2 sin 的定义域为[a，b]且值域为[－1，2].则 [a，b]不是f（x）的一个周期，即b－a＜4π，由选项知 ＞4π，故b －a一定不可能是D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 5. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的最小正周期为 2，且函数图象过点（ ，1），若f（x）在区间[－2，a]内有4个零点， 则a的取值范围为（　　） A. ［ ， ） B. （ ， ］ C. ［ ， ） D. （ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解析：　由最小正周期T＝2＝ ，得ω＝π.因为函数f（x）的图象过点 （ ，1），所以 sin （ ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z. 因为｜ φ｜＜π，所以φ＝ ，所以f（x）＝ sin （πx＋ ）.当x∈[－2，a]时， πx＋ ∈［－ ，πa＋ ］，因为f（x）在[－2，a]内有4个零点，所 以2π≤πa＋ ＜3π，所以 ≤a＜ ，所以a的取值范围为［ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 6. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤ ）的图 象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤ ，则称f（x）为“近 轴函数”.若函数y＝2 sin （2x－φ） 是“近轴函数”，则φ的 取值范围是（　　） A. ［ ， ］ B. ［－ ，－ ］∪［ ， ］ C. ［－ ，－ ］ D. ［－ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解析：y＝2 sin （2x－φ）靠近原点的对称轴为x＝x0，则2x0－φ＝ ± ⇒x0＝ ± ，要为近轴函数，则｜x0｜≤ ，∵｜± ｜＞ ，∴φ＞ 0，x0＝ － ，φ＜0，x0＝ ＋ ， ∴ 或 解得φ∈［－ ，－ ］∪［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 7. 〔多选〕（2025·眉山期末）设ω＞0，函数f（x）＝－2 sin （ωx－ ） 在区间（0， ］上有零点，则ω的值可以是（　　） A. B. C. D. 解析：　f（x）＝－2 sin （ωx－ ），令ωx－ ＝kπ，解得x＝ ＋ ，k∈Z；因为ω＞0，取k＝0，所以0＜ ≤ ，即ω≥ ，故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 8. 〔多选〕已知函数f（x）＝3 sin （ωx＋ ）（ω＞0）的图象的对称轴 与对称中心的最小距离为 ，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为2π B. f（x）的图象关于点（－ ，0）对称 C. f（x）在（－ ， ）上单调递减 D. f（x）的图象关于直线x＝ 对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解析：因为f（x）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为 ，所以 ＝ ，即T＝π，选项A错误；由T＝ ＝π，得ω＝2，即f（x）＝3 sin （2x＋ ），因为f（－ ）＝3 sin （－ ＋ ）＝3 sin 0＝0，所以f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，选项B正确；当－ ＜x＜ 时，有－ ＜2x＋ ＜ ，所以f（x）＝3 sin （2x＋ ）在（－ ， ）上单调递增，选项C错误；因为f（ ）＝3 sin （ ＋ ）＝3 sin ＝－3，所以f（x）的图象关于直线x＝ 对称，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 9. 已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在（－ ， ）上单调递增，则ω的最大值 为 ⁠ 解析：∵｜－ ｜ ＜ ，∴由正切函数的单调性可得 ≥ ×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 10. （2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝ cos ωx－1（ω＞0）在区 间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ⁠. 解析：因为x∈[0，2π]，ω＞0，所以ωx∈[0，2ωπ].由f（x）＝0得 cos ωx＝1，从而要使f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则需 4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3. [2，3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 11. 若函数f（x）＝ cos ωx（ω＞0）在区间（2π，3π）内既没有最大值 1，也没有最小值－1，则实数ω的取值范围是 ⁠. 解析：当x∈（2π，3π）且ω＞0时，2πω＜ωx＜3πω.因为函数f（x）在 区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，所以（2πω，3πω） ⊆（kπ，kπ＋π），其中k∈Z，所以 （k∈Z），解得 ≤ω≤ （k∈Z），由 ≤ ，可得k≤2.因为ω＞0且k∈Z，所以当k ＝0时，0＜ω≤ ；当k＝1时， ≤ω≤ ；当k＝2时，ω＝1.综上所述， 实数ω的取值范围是（0， ］∪［ ， ］∪{1}. （0， ］∪［ ， ］∪{1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 12. 设函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜ ），若函数图象与x轴的两 个相邻的交点间的距离为 ，且图象关于点M（－ ，0）对称. （1）求函数的解析式； 解：由已知得函数的最小正周期为 ， 因而T＝ ＝ ，则ω＝2. 由2×（－ ）＋φ＝ （k∈Z）， 得φ＝ ＋ （k∈Z）. 又0＜φ＜ ，则φ＝ . 从而函数解析式为y＝tan（2x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）求函数的单调区间； 解：令－ ＋kπ＜2x＋ ＜ ＋kπ（k∈Z），得－ ＋ ＜x＜ ＋ （k∈Z）， 从而函数的单调递增区间为（－ ＋ ， ＋ ）（k∈Z），无单调递 减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （3）求不等式－1＜f（x）＜ 的解集. 解：若－1＜f（x）＜ ，则－ ＋kπ＜2x＋ ＜ ＋kπ（k∈Z）， 得－ ＋ ＜x＜ ＋ （k∈Z）， 因而不等式的解集为{x｜－ ＋ ＜x＜ ＋ ，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 13. 已知函数f（x）＝ a sin （x＋ ）＋1－a（a∈R），x∈［0， ］，定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 且g（2）＝0.若g（f（x））＜0恒成立，求实数a的取值范围. 解：f（x）＝ a sin （x＋ ）＋1－a，根据已知条件，由g（x）＜0 可得x∈（－∞，－2）∪（0，2）. 由题意，要使g（f（x））＜0恒成立，则f（x）∈（－∞，－2）或f （x）∈（0，2）恒成立. 若 a sin （x＋ ）＋1－a＜－2恒成立， 则a［ sin （x＋ ）－1］＜－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 ∵x∈［0， ］，∴ sin （x＋ ）∈[1， ]. 当x＝0或x＝ 时， sin （x＋ ）－1＝0，a×0＝0＞－3.故这时的a 不存在. 若0＜ a sin （x＋ ）＋1－a＜2恒成立， 则－1＜a［ sin （x＋ ）－1］＜1. 只需a［ sin （x＋ ）－1］的最大值和最小值同时在（－1，1）中， 即 解得－1－ ＜a＜1＋ . 综上，实数a的取值范围为{a｜－1－ ＜a＜1＋ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $