5.2.2 同角三角函数的基本关系（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系，核心知识点为平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα）。课堂导入通过复习任意角三角函数定义（终边与单位圆交点坐标x,y表示sinα,cosα）及单位圆方程x²+y²=1，引导学生代入发现平方关系，衔接上节诱导公式一，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光（几何直观，单位圆推导）和数学思维（逻辑推理，公式变形与证明）为主线，通过互动探究（推导过程）、典例分析（如例1分类讨论知一求二，例3齐次式化切）和“学海拾贝”小结（梳理公式、题型、易错点），培养学生运算求解能力。教师可直接使用系统教学资源提升效率，学生通过实例掌握方法，深化对三角函数关系的理解。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系 5.2三角函数的概念 学 习 目 标 1 2 理解并掌握同角三角函数的两个基本关系式： 平方关系： 商数关系：=tanα (α≠kπ+, k∈Z) 能够运用基本关系式进行“知一求二”（已知一个三角函数值，求其余两个）、化简三角函数式、证明简单的三角恒等式。 从三角函数的定义出发，通过代数推导与单位圆几何直观相结合，探究并发现同角三角函数之间的内在联系，体会数形结合的思想方法。在公式变形与应用中，培养逻辑推理能力、分类讨论意识及运算求解能力 复习回顾 知识讲解 互动探究 新课引入 问题1：任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)，如何用坐标表示 sinα、cosα、tanα？ 问题2：点 P(x,y) 在单位圆上，它的坐标满足什么方程？ sinα=y，cosα=x，tanα= (x≠0) 单位圆方程：=1 将三角函数的定义代入单位圆方程，你发现了什么？ 3 引出课题 知识讲解 互动探究 新课引入 上节我们学过诱导公式一，表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系． 4 目标一：同角三角函数基本关系 推导平方关系和商数关系 知识讲解 互动探究 新课引入 如图, 设点 是角 的终边与单位圆的交点. 过 作 轴的垂线, 交 轴于 , 则 是直角三角形, 而且 . 由勾股定理有 . 因此, , 即 . 由 tanα=，可得：tanα (cosα≠0) 6 对基本关系的解读 知识讲解 互动探究 新课引入 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1. 商数关系 同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切. 辨析1：公式中的”同角”是什么意思？一定成立吗？ 辨析2：商数关系 =tanα 对任意角都成立吗？限制条件是什么？ 7 对基本关系的解读 知识讲解 互动探究 新课引入 （1）注意 “同角”，这里 “同角” 有两层含义，一是 “角相同”，二是对 “任意” 一个角 (在使函数有意义的前提下) 关系式都成立，即与角的表达形式无关，如： 成立，但是就不一定成立. （2）商数关系对角是有限制的，𝛂≠𝐤𝛑+(𝐤∈𝐙) （3）的简写, 读作 “sinα 的平方”, 不能将 写成 , 前者是 α 的正弦的平方, 后者是 的正弦, 两者是不 同的, 要弄清它们的区别, 并能正确书写. 8 目标二：同角三角函数基本关系变形 常见变形 知识讲解 互动探究 新课引入 平方关系 商数关系 注意：该公式成立条件：cosα≠0，即 α≠π/2+kπ,k∈Z。 10 目标三：基本关系的应用 利用基本关系及变形求值 例1 已知sinα=-，求 cosα, tanα 的值． 典例分析 牛刀小试 解: 因为 sinα<0, sinα≠-1, 所以 α 是第三或第四象限角. 由 得如果 α 是第三象限角, 那么 cosα<0. 于是 cosα=-, 从而tanα= 如果 α 是第四象限角, 那么cosα=, tanα=-. 灵活选择公式，需要定符与时，考虑角所在象限，不确定就分类讨论。 利用基本关系及变形求值 例2 已知 ， 求的其他三角函数值。 典例分析 牛刀小试 解: 若在第一、二象限，则 若在第三、四象限，则 灵活选择公式，需要定符与时，考虑角所在象限，不确定就分类讨论。 利用基本关系及变形证明 证法一 例1 证法二 法三 求证： 典例分析 牛刀小试 证一：左边 右边 等式成立 （利用平方关系） 证二： 且 （利用比例关系） 证三： 从左推右，从右推左，两边往中间挤，作差化简结果为零。 利用基本关系及变形证明 例2 若，求证： 典例分析 牛刀小试 证明 . 左边 右边. 从左推右，从右推左，两边往中间挤，作差化简结果为零。 化简与求值 化简 的结果是（ ） A. B. C. D. 已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 答案: C [原式 ] 答案: B 化简与求值 化简：（是第二、三象限角）（）. A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解： 同理： 原式 化简与求值 已知 ，求下列各式的值. . . . 典例分析 牛刀小试 点拨 , , 分子分母同时除以 得 再分子分母同除以  知 的值，求关于 的齐次分式的值的技巧 - 比如求 的值，因为 ，所以用 除之，将待求式化为关于 的表达式，可整体代入 的值. - “1”经常换成 . 例如: 求 或求 目标四：针对训练 举一反三 1.已知 ，且 在第三象限，求 和 . 解析 ， 是第三象限角. . . 点拨 先由平方关系可确定 cosα 的值，再由 cosα 和商的关系求 tanα 的值. 举一反三 2. 已知 ，求 的值. 分析 解析 为第三、第四象限角 若 为第三象限角： 若 为第四象限角： 3. 化简 (1) 举一反三 4. 已知，求，的值; 【详解】因为，且，所以是第二或第三象限的角. 当是第二象限角时，有，.当是第三象限角时，同理有 ，. 举一反三 5. 已知，，求的值. 由已知得 由①得，代入②得， 所以. 又，所以，所以.   举一反三 已知. (1)求的值; 【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案； （2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案. 【详解】（1）解：， ； 已知 （2） 解： . 目标五：小结 学海拾贝 一、两大核心公式（同一个角） 1. 平方关系 衍生变形： 2. 商数关系 适用条件： 学海拾贝 三大常见题型与思路 题型1：知一求二 已知其中一个，求另外两个 ✅关键：根据角所在象限判断三角函数正负 题型2：齐次式化简（分子分母都是sinα,cosα一次/二次） 例：，上下同除以，化为； 二次齐次可借助进行“1的代换”。 学海拾贝 题型3：sinα±cosα与sinαcosα互化 ️易错：开平方一定要看角范围，确定符号！ 学海拾贝 易错警示 公式必须是同一个角，； 使用时，留意； 的值正负不能直接由确定，平方会丢失符号信息； “1的代换”是求值、化简高频技巧：。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $