第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“同角三角函数的基本关系”核心知识点，从公式一（终边相同角的三角函数值相等）引入，通过表格观察和单位圆交点坐标推导，梳理出平方关系sin²α+cos²α=1和商数关系tanα=sinα/cosα，构建从具体到抽象的学习支架，为求值、化简、证明提供基础。 该资料以问题驱动培养数学眼光，如通过表格发现函数关系、单位圆推导公式；例题分层设计体现数学思维，如“知一求二”分类讨论、sinθ±cosθ整体代换；证明题多法展示数学语言，如左右归一法。课中辅助教师归纳方法，课后学生可通过跟踪训练和对点练查漏补缺，提升应用能力。

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.(重点)2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(难点) 导语 公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 一、利用同角三角函数的基本关系求值 问题1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1. 知识梳理　同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：=tan α.  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 注意点： (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立. (2)对于sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而tan α=仅对α∈成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 例1　(1)(课本例6)已知sin α=-，求cos α，tan α的值. 解　因为sin α<0，sin α≠-1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α+cos2α=1得 cos2α=1-sin2α=1- 如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是 cos α=-， 从而tan α= 如果α是第四象限角，那么 cos α= 例1　(1)已知cos α=-求sin α，tan α的值. 解　∵cos α=-<0， ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α= tan α==-； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α=-=-=- tan α=. (2)已知tan α=-4，求的值. 解　 =. 反思感悟　(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个，即“知一求二”. (2)已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 ①对于形如或 的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值. ②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α+cos2α，转化为形如的式子求值. 跟踪训练1　(1)已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值. 解　∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1， ∴(-3cos α)2+cos2α=1， 即10cos2α=1，∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， cos α=-sin α=； 当角α的终边在第四象限时， cos α=sin α=-. (2)已知=-1，求sin2α+sin α·cos α+1的值. 解　方法一　(弦化切) 由=-1，得tan α=1， 所以sin2α+sin αcos α+1 = = = ==2. 方法二　因为=-1， 所以sin α=cos α， 所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 二、sin θ±cos θ型求值问题 例2　已知sin θ+cos θ=0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 解　因为sin θ+cos θ=0<θ<π)， 所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ= 所以sin θcos θ=- 所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ = =. 反思感悟　已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ； (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ； (3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2； (4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ+cos θ，sin θ-cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 跟踪训练2　若sin θ-cos θ=则tan θ+=　　　　.  答案　-2 解析　由已知得(sin θ-cos θ)2=2， ∴sin θcos θ=- ∴tan θ+=-2. 三、利用同角三角函数的基本关系化简和证明 问题3　你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式？ 提示　sin2α+cos2α=1⇒ tan α= 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值. 例3　(1)化简：. 解　原式= ==1. (2)证明：. 证明　方法一　左边= = = ==右边. 所以原等式成立. 方法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α =sin αcos α+cos α-(1-sin2α) =cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α) =(1+sin α)(cos α-1+sin α) =(1+sin α)(sin α+cos α-1)， 且sin α+cos α-1≠0，cos α≠0， 所以. (2)(课本例7)求证： 证明　方法一　由cos x≠0，知sin x≠-1，所以1+sin x≠0，于是 左边= = ==右边. 所以，原式成立. 方法二　因为(1-sin x)(1+sin x) =1-sin2x=cos2x =cos xcos x， 且1-sin x≠0，cos x≠0，所以 反思感悟　(1)三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的. (2)证明三角恒等式的常用方法 ①从左向右推导或从右向左推导. ②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. ③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. ④变更命题法，如要证明可证ad=bc，或证等. ⑤比较法，即证明“左边-右边=0”或“=1”. 跟踪训练3　(1)化简：+(1+tan2α)·cos2α. 解　原式=cos2α =·cos2α =1+1=2. (2)求证：. 证明　方法一　左边= ==右边. 所以原等式成立. 方法二　右边= = ==左边. 所以原等式成立. 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系. (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明. 2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. 1.若tan α=2，则的值为(　　) A.0 B. C.1 D. 答案　B 解析　. 2.已知tan α=α∈则cos α的值是(　　) A.± B. C.- D. 答案　C 解析　由tan α=可得 又sin2α+cos2α=1，可得cos2α+cos2α=1， 解得cos2α=因为α∈ 所以cos α=-. 3.已知sin α-cos α=-则sin αcos α等于(　　) A. B.- C.- D. 答案　C 解析　由题意得(sin α-cos α)2= 即sin2α+cos2α-2sin αcos α= 又sin2α+cos2α=1， ∴1-2sin αcos α= ∴sin αcos α=-. 4.若2sin α+cos α=0，则=　　　　.  答案　-8 解析　 = ==- ∵2sin α+cos α=0，∴tan α=- ∴原式==-8. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知α是第四象限角，cos α=则sin α等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α=-=-=-. 2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　) A. B. C.1 D. 答案　C 解析　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α) =sin2α+cos2α=1. 3.已知α是第四象限角，且sin α=-则tan α等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由α是第四象限角，sin α=-得cos α= 所以tan α==-. 4.已知sin α=则sin4α-cos4α的值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-. 5.已知sin α-cos α=则的值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　因为sin α-cos α= 所以1-2sin αcos α=所以sin αcos α= 所以=-. 6.已知=3，-<α<则sin α-cos α等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　D 解析　因为=3，所以=3，解得tan α=2. 又因为-<α<tan α>0， 所以0<α<. 所以sin α=cos α= 所以sin α-cos α=. 7.(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ+cos θ=-则下列结论正确的是(　　) A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 答案　CD 解析　因为θ∈(0，π)，则sin θ>0， 又因为sin θ+cos θ=-<0， 则cos θ<0，可知θ∈故A错误； 因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 可得sin θcos θ=- 则(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=且sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ=故D正确； 联立 解得故B错误； 所以tan θ==-故C正确. 8.(5分)已知asin α+bcos α=c，acos α-bsin α=d，则a2+b2　　　　c2+d2(填“>”“=”或“<”).  答案　= 解析　c2+d2 =(asin α+bcos α)2+(acos α-bsin α)2 =a2(sin2α+cos2α)+b2(cos2α+sin2α) =a2+b2. 9.(5分)已知α为第二象限角，则+cos α的值是　　　　　.  答案　1 解析　由题意，α为第二象限角，可得sin α>0，cos α<0， 则+cos α+cos α =2+cos α=2+cos α×=1. 10.(10分)已知θ为第二象限角，若tan θ=-2. (1)求cos θ的值；(5分) (2)求的值.(5分) 解　(1)由θ为第二象限角，且tan θ==-2，cos θ<0， 又sin2θ+cos2θ=5cos2θ=1，则cos θ=-=-. (2=-. 11.若α为锐角，3sin α=tan α=tan β，则(　　) A.cos α= B.tan α=-2 C.tan β=2 D.tan β=-2 答案　C 解析　因为α为锐角，3sin α=tan α， 所以3sin α= 所以cos α=所以A不正确； 所以sin α= 所以tan α==2 所以B不正确； 因为tan α=tan β， 所以tan β=tan α=×2=2， 所以C正确，D不正确. 12.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　) A.m2-2n-1=0 B.mn>0 C.m+n+1>0 D.m2-4n<0 答案　AC 解析　因为sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根， 所以sin α+cos α=-m，sin αcos α=n， 因为角α是锐角，所以m<0，n>0，则mn<0，故B错误； 又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1， 即1+2n=m2，m<-1， 所以m2-2n-1=0，故A正确； 而m+n+1=m++1=>0，故C正确； 因为方程有两个实数根，所以m2-4n≥0，故D错误. 13.(5分)已知关于x的方程2x2-+1)x+m=0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈则的值为　　　　　　　　.  答案　 解析　由题意得sin θ+cos θ= 所以=sin θ+cos θ=. 14.(10分)(1)求证：；(5分) (2)已知=1，求证：=1.(5分) 证明　(1)右边= = = ==左边， 故原等式成立. (2)设sin2A=m(0<m<1)，sin2B=n(0<n<1)，则cos2A=1-m，cos2B=1-n， 由=1，得=1，即(m-n)2=0， 所以m=n，故=1-n+n=1. 15.(多选)若=-则α的值可以是(　　) A.- B. C. D. 答案　ACD 解析　因为=- 所以=- 所以=- 所以=-所以sin α<0， 对于A，因为-角为第四象限角，所以sin α<0，故A正确；对于B，因为角为第二象限角，所以sin α>0，故B错误；对于C ，因为角为第三象限角，所以sin α<0，故C正确；对于D，因为角为第四象限角，所以sin α<0，故D正确. 16.(12分)已知sin x+cos x=t，t∈[0]. (1)当t=且x是第四象限角时，求sin3x-cos3x的值；(5分) (2)若关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，求实数a的取值范围.(7分) 提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 解　(1)因为t=即sin x+cos x=则(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x= 即sin xcos x=- 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. 因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x-cos x<0，所以sin x-cos x=- 所以sin3x-cos3x=(sin x-cos x)(sin2x+sin xcos x+cos2x)=-=-. (2)由(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，可得sin xcos x=t2-1)， 则关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1可化为-t2+at-=0，t∈[0]. ①当t=0时，-≠0，显然方程无解； ②当t≠0时，方程-t2+at-=0等价于a=； 当0<t≤时，由基本不等式可得×2=1，当且仅当t=1时，等号成立，又当t→0+时，t+→+∞， 故a=≥1， 所以要使得关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，则a≥1. 故实数a的取值范围是[1，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $