第六单元 第 6 课时 质数和合数初步（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“质数和合数初步”核心知识点，承接因数与倍数、找因数方法及2/3/5倍数特征等前置知识，从“因数个数”维度系统分类非0自然数，构建质数合数定义、分类标准、判断方法、100以内质数查找、1的特殊性及完全数拓展的完整知识体系，为后续公因数等学习奠定数论基础。 该资料通过知识模块表格梳理与解题方法图谱化呈现，渗透分类与归纳思想，结合百数表筛选法等具象教学方法，融入完全数文化拓展培养文化自信。分层练习设计助力课中教学实施与课后查漏补缺，有效提升学生抽象能力与推理意识，实现知识建构与素养发展的统一。

第 6 课时 质数和合数初步 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：质数和合数的概念辨析（基础必考） 3 考点二：质数的判断方法（核心必考） 7 考点三：100 以内质数的查找（核心必考） 8 考点四：质数合数的综合应用（提升层级） 9 考点五：完全数（完美数）的文化拓展（拓展应用） 11 第三部分 高频易错预警与避坑指南 13 易错点 1：混淆质数、合数的定义，误判 1 的属性 13 易错点 2：认为所有奇数都是质数，所有偶数都是合数 13 易错点 3：凭个位数字判断质数，忽略因数个数的核心标准 13 易错点 4：质数判断时遗漏因数，导致误判 13 易错点 5：混淆完全数与质数、合数的概念 14 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 15 一、基础夯实达标练（6 题） 15 二、能力拓展提升练（4 题） 16 三、思维拓展培优练（2 题） 17 四、数学活动拓展 18 第五部分 习题精准解析与知识点睛 19 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版五年级上册第六单元《因数与倍数》的核心概念奠基课，严格对标新教材内容，承接前 5 课时因数与倍数的意义、找因数的方法、2/3/5 的倍数特征等知识基础，从 “因数的个数” 维度对非 0 自然数进行系统分类，是小学数论知识体系的核心节点课。核心掌握质数与合数的核心定义、按因数个数对非 0 自然数的分类标准、质数的判断方法、100 以内质数的查找与记忆、1 的特殊性、完全数（完美数）的数学文化拓展六大核心内容。全课时建立 “因数个数探究→分类定义→方法建构→质数查找→文化拓展→实践应用” 的完整学习路径，围绕数感、推理意识、分类思想、文化自信四条《义务教育数学课程标准（2022 年版）》核心素养主线，帮助学生建立系统的数的分类认知，培养严谨的分类讨论思想，感受数学文化的魅力，为后续公因数、公倍数、分数化简的学习奠定核心概念基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 概念定义 质数：只有 1 和它本身两个因数的数；合数：除了 1 和它本身还有其他因数的数；1 既不是质数也不是合数 定义辨析法、因数个数分类法 混淆质数与合数的定义，误判 1 的属性 分类标准 非 0 自然数按因数的个数分为三类：1、质数、合数，分类不重复、不遗漏 分类讨论法、标准辨析法 遗漏分类，或重复分类，认为非 0 自然数只有质数和合数两类 质数判断方法 判断一个数是否为质数，只需找它的因数，若只有 1 和它本身两个，则为质数，否则为合数 因数个数判断法、试除法 判断时遗漏因数，或误认为个位是 1、3、7、9 的数都是质数 100 以内质数查找 用百数表筛选法（埃拉托斯特尼筛法）找出 100 以内的所有质数，掌握质数的分布规律 百数表筛选法、有序列举法 筛选时遗漏质数，或把合数误判为质数 特殊数辨析 1 既不是质数也不是合数；2 是最小的质数，也是唯一的偶质数；4 是最小的合数 特殊值辨析法、分类记忆法 认为最小的质数是 1，或认为所有质数都是奇数 数学文化拓展 完全数（完美数）的定义、特征，最小的完全数 6、28 等，感受数学文化的魅力 文化拓展法、规律探究法 混淆完全数与质数、合数的概念，误判完全数的特征 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 因数个数分类法 质数、合数概念辨析题 找出非 0 自然数的所有因数→数因数的个数→按个数分为 1、质数、合数三类 因数个数定分类，1 个因数是 1，2 个因数是质数，3 个及以上是合数 质数判断法 判断一个数是否为质数 找出这个数的所有因数→若只有 1 和它本身两个因数→则为质数；若有第三个因数→则为合数 质数判断很简单，因数只有两个，1 和它本身，多一个都不行 百数表筛选法 100 以内质数查找 绘制百数表→先划掉 1→再划掉 2、3、5、7 的倍数（本身保留）→剩下的就是质数 百数表找质数，先把 1 划出去，2、3、5、7 倍数全划掉，剩下的都是质数 试除法 大数质数判断 用小于这个数的质数依次试除→若都不能整除，则为质数；若能整除，则为合数 试除判断质数，除到商接近除数，都除不尽才是质数 完全数验证法 完全数判断 找出一个数的所有真因数（除本身外的因数）→计算真因数之和→若和等于这个数本身，则为完全数 完全数，真因数和，等于本身才符合，6、28 是最小的两个 三、课时数学思想与素养提升 1. 分类思想：非 0 自然数的系统分类 核心要义：以 “因数的个数” 为统一标准，将非 0 自然数分为 1、质数、合数三类，分类不重复、不遗漏，建立系统、严谨的数的分类体系，是本课时最核心的数学思想，也是整个数论体系的核心逻辑基础。 典型范式：1 只有 1 个因数，单独分为一类；质数有且只有 2 个因数，分为一类；合数有 3 个及以上因数，分为一类，三类覆盖所有非 0 自然数，边界清晰、无重叠、无遗漏。 2. 归纳思想：从特殊到一般的规律探究 核心要义：通过列举大量数的因数个数，观察共同特征，归纳出质数、合数的普遍定义，再通过百数表筛选，归纳出 100 以内质数的分布规律，完整经历 “观察 — 猜想 — 归纳 — 验证” 的科学探究过程，培养归纳推理能力。 典型范式：先列举 2、3、5、7、11 等数的因数，发现都只有 1 和本身两个因数，归纳出质数的定义；再列举 4、6、8、9、10 等数的因数，发现都有 3 个及以上因数，归纳出合数的定义。 3. 模型思想：质数合数的通用判断模型 核心要义：提炼质数合数的通用判断模型：在非 0 自然数范围内，若一个数的因数个数 = 2，则为质数；若因数个数≥3，则为合数；若因数个数 = 1，则为 1，既不是质数也不是合数，用统一的模型解决所有质数合数的判断问题，实现举一反三，是模型思想在数论中的核心体现。 典型范式：无论是两位数、三位数还是多位数，都可以用这个模型快速判断，无需逐个记忆，模型普适性强，逻辑严谨。 4. 文化思想：数学文化的传承与渗透 核心要义：通过完全数（完美数）的数学文化拓展，介绍古希腊数学家的探究成果、完全数的神秘特征，让学生感受数学的文化魅力与历史底蕴，培养数学文化自信，落实新课标对数学文化渗透的要求。 典型范式：介绍最小的完全数 6，它的真因数 1+2+3=6，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的，被称为 “完美数”，蕴含着和谐、完美的数学文化内涵，让学生在学习知识的同时，感受数学的文化价值。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：质数和合数的概念辨析（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 概念定义与分类判断 题目：先找出下面各数的因数，再判断哪些是质数，哪些是合数，哪些既不是质数也不是合数。 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 思路点拨： ① 第一步明确分类标准：按因数的个数分类，非 0 自然数分为三类： · 只有 1 个因数的数：既不是质数也不是合数； · 只有 1 和它本身两个因数的数：质数； · 除了 1 和它本身，还有其他因数的数：合数； ② 第二步逐个找出因数，统计因数个数： · 1 的因数：只有 1，共 1 个； · 2 的因数：1、2，共 2 个； · 3 的因数：1、3，共 2 个； · 4 的因数：1、2、4，共 3 个； · 5 的因数：1、5，共 2 个； · 6 的因数：1、2、3、6，共 4 个； · 7 的因数：1、7，共 2 个； · 8 的因数：1、2、4、8，共 4 个； · 9 的因数：1、3、9，共 3 个； · 10 的因数：1、2、5、10，共 4 个； ③ 第三步按分类标准归类： · 质数：2、3、5、7（因数个数为 2）； · 合数：4、6、8、9、10（因数个数≥3）； · 既不是质数也不是合数：1（因数个数为 1）； ④ 第四步验证：检查每个数的因数个数是否正确，分类是否符合标准，无重复、无遗漏。 【答案】 质数：2、3、5、7； 合数：4、6、8、9、10； 既不是质数也不是合数：1。 【知识点睛】质数和合数概念的核心要点： 1. 核心定义： · 质数（素数）：一个非 0 自然数，只有 1 和它本身两个因数，没有其他因数； · 合数：一个非 0 自然数，除了 1 和它本身，还有其他的因数（即因数个数≥3）； · 1：只有 1 个因数，既不是质数，也不是合数，是单独的一类； 2. 分类标准：非 0 自然数按因数的个数，分为1、质数、合数三类，分类不重复、不遗漏，覆盖所有非 0 自然数； 3. 易错提醒：绝对不能遗漏 1 的分类，也不能把 1 归为质数或合数，这是最常见的错误；判断的唯一依据是因数的个数，和数的大小、奇偶性无关。 典型例题 2（基础层级）—— 概念对错判断 题目：判断下面的说法是否正确，并说明理由。 （1）所有的奇数都是质数。 （2）所有的偶数都是合数。 （3）1 既不是质数，也不是合数。 （4）最小的质数是 2，最小的合数是 4。 （5）一个数的因数个数是 2 个，这个数一定是质数。 思路点拨： ① 第（1）题： · 第一步回忆质数和奇数的定义：奇数是不能被 2 整除的数，质数是只有两个因数的数； · 第二步举反例：9 是奇数，但 9 的因数有 1、3、9，共 3 个，是合数，不是质数；15 是奇数，也是合数； · 第三步得出结论：说法错误。 ② 第（2）题： · 第一步回忆偶数和合数的定义：偶数是能被 2 整除的数，合数是因数个数≥3 的数； · 第二步举反例：2 是偶数，但 2 的因数只有 1 和 2，是质数，不是合数； · 第三步得出结论：说法错误。 ③ 第（3）题： · 第一步回忆 1 的因数：1 只有 1 个因数，不符合质数的定义（需要 2 个因数），也不符合合数的定义（需要≥3 个因数）； · 第二步得出结论：说法正确。 ④ 第（4）题： · 第一步回忆质数和合数的范围：最小的非 0 自然数是 1，既不是质数也不是合数；2 是最小的质数，也是唯一的偶质数；4 是最小的合数； · 第二步得出结论：说法正确。 ⑤ 第（5）题： · 第一步回忆质数的定义：只有 1 和它本身两个因数的数，就是质数； · 第二步得出结论：说法正确。 【答案】 （1）错误，理由：9 是奇数，但它是合数，不是质数，并非所有奇数都是质数； （2）错误，理由：2 是偶数，但它是质数，不是合数，并非所有偶数都是合数； （3）正确，理由：1 只有 1 个因数，不符合质数和合数的定义，因此既不是质数也不是合数； （4）正确，理由：最小的质数是 2，最小的合数是 4； （5）正确，理由：质数的定义就是只有 1 和它本身两个因数的数，因此因数个数为 2 的数一定是质数。 【知识点睛】概念辨析的核心要点： 1. 质数与奇偶性的关系：质数不一定是奇数（2 是质数也是偶数），奇数不一定是质数（9、15 是奇数也是合数），二者没有必然的对应关系； 2. 合数与奇偶性的关系：合数不一定是偶数（9、15 是合数也是奇数），偶数不一定是合数（2 是偶数也是质数），二者没有必然的对应关系； 3. 特殊数的边界：1 既不是质数也不是合数，2 是最小的质数、唯一的偶质数，4 是最小的合数，这些特殊值必须牢记； 4. 判断核心：判断质数合数的唯一标准是因数的个数，和数的大小、奇偶性、位数都无关。 考点二：质数的判断方法（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 质数判断应用 题目：判断下面的数中，哪些是质数？哪些是合数？ 17、22、29、35、37、41、49、53 思路点拨： ① 第一步明确判断方法：判断一个数是质数还是合数，核心是找出它的所有因数，数因数的个数；因数个数为 2 则是质数，≥3 则是合数； ② 第二步逐个判断： · 17：因数只有 1、17，共 2 个，是质数； · 22：因数有 1、2、11、22，共 4 个，是合数； · 29：因数只有 1、29，共 2 个，是质数； · 35：因数有 1、5、7、35，共 4 个，是合数； · 37：因数只有 1、37，共 2 个，是质数； · 41：因数只有 1、41，共 2 个，是质数； · 49：因数有 1、7、49，共 3 个，是合数； · 53：因数只有 1、53，共 2 个，是质数； ③ 第三步汇总结果： · 质数：17、29、37、41、53； · 合数：22、35、49； ④ 第四步验证：对质数用除法验证，17÷2=8……1，17÷3=5……2，都不能整除，确认是质数；对合数验证，22÷2=11，35÷5=7，49÷7=7，确认是合数。 【答案】 质数：17、29、37、41、53； 合数：22、35、49。 【知识点睛】质数判断的核心要点： 1. 核心方法：找因数个数法，是判断质数合数的唯一通用方法，必须熟练掌握； 2. 快速判断技巧： · 先判断是否为 2、3、5 的倍数，若除了 1 和本身还有 2、3、5 的因数，一定是合数； · 个位是 1、3、7、9 的数，不一定是质数，需要进一步验证，比如 21、27、33 都是合数； 3. 试除法简化：判断一个数是否为质数，只需用小于它的质数依次试除，只要有一个能整除，就是合数；都不能整除，就是质数； 4. 易错提醒：不要凭个位数字判断质数，比如 49 个位是 9，但它是 7 的倍数，是合数，必须通过因数个数判断。 考点三：100 以内质数的查找（核心必考） 典型例题 4（核心层级）—— 百数表筛选法找质数 题目：用百数表找出 100 以内的所有质数，绘制 100 以内质数表。 思路点拨： ① 第一步规范绘制百数表，填写 1-100，确保数字准确、行列对齐； ② 第二步执行筛选步骤（埃拉托斯特尼筛法）： · 先划掉 1，单独分类； · 划掉 2 的倍数（除 2 外），所有偶数除了 2 都是合数； · 划掉 3 的倍数（除 3 外），能被 3 整除的数除了 3 都是合数； · 划掉 5 的倍数（除 5 外），个位是 0 或 5 的数除了 5 都是合数； · 划掉 7 的倍数（除 7 外），能被 7 整除的数除了 7 都是合数； ③ 第三步整理剩下的数，按从小到大排列：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； ④ 第四步计数验证：一共 25 个质数，检查是否有遗漏、有合数混入； ⑤ 第五步绘制规范的质数表，标注清晰。 【答案】 100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共 25 个。 【知识点睛】100 以内质数查找的核心要点： 1. 筛选方法：用埃拉托斯特尼筛法，先划掉 1，再依次划掉 2、3、5、7 的倍数（本身保留），剩下的就是质数，这是最快捷、最准确的方法； 2. 质数个数：100 以内的质数共 25 个，需要熟练记忆，尤其是 20 以内的质数，是后续学习的基础； 3. 分布规律：100 以内的质数，除了 2 和 5，个位都是 1、3、7、9，可辅助记忆，但不能作为判断依据； 4. 易错提醒：不要把 1 算入质数，也不要把 9、15、21、25、27、33、35、39、45、49、51、55、57、63、65、69、75、77、81、85、87、91、93、95、99 这些合数误判为质数。 考点四：质数合数的综合应用（提升层级） 典型例题 5（提升层级）—— 组数问题 题目：用数字卡片 0、1、2、3、5，按要求组成两位数。 （1）组成的数是质数； （2）组成的数是合数； （3）组成的数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，还是 5 的倍数。 思路点拨： ① 第一步明确数位限制：两位数的最高位十位不能为 0，因此十位只能选 1、2、3、5； ② 第二步解决第（1）题：质数是只有 1 和本身两个因数的数，先列出所有符合条件的两位数，再筛选质数： · 十位为 1：10、12、13、15；其中质数是 13； · 十位为 2：20、21、23、25；其中质数是 23； · 十位为 3：30、31、32、35；其中质数是 31； · 十位为 5：50、51、52、53；其中质数是 53； · 综上，质数有：13、23、31、53； ③ 第三步解决第（2）题：合数是因数个数≥3 的数，所有组成的两位数中，除了上面的质数，剩下的都是合数：10、12、15、20、21、25、30、32、35、50、51、52； ④ 第四步解决第（3）题：同时是 2、3、5 的倍数，个位必须是 0，且各位数字之和是 3 的倍数： · 个位固定为 0，十位可以是 1、2、3、5； · 各位和分别为 1+0=1、2+0=2、3+0=3、5+0=5，只有 3+0=3 是 3 的倍数； · 因此符合条件的数是 30； ⑤ 第五步验证检查：逐一核对每个数的因数个数，确认质数、合数分类正确，综合特征符合要求。 【答案】 （1）质数：13、23、31、53； （2）合数：10、12、15、20、21、25、30、32、35、50、51、52； （3）同时是 2、3、5 的倍数：30。 【知识点睛】组数问题的解题要点： 1. 首位限制：组成多位数时，最高位不能为 0，必须优先确定首位的可选数字，避免出现无效数； 2. 特征优先：先根据质数、合数的定义确定筛选标准，再有序列举，避免无效列举； 3. 有序原则：按十位、个位的顺序有序列举，保证不重不漏； 4. 多条件叠加：多个条件同时满足时，先锁定最严格的条件（如同时是 2、3、5 的倍数，先锁定个位为 0），再满足其余条件，简化筛选过程。 考点五：完全数（完美数）的文化拓展（拓展应用） 典型例题 6（拓展层级）—— 完全数的认识与验证 题目：什么是完全数？请验证 6 和 28 是不是完全数。 思路点拨： ① 第一步明确完全数的定义：一个非 0 自然数，它的所有真因数（即除了它本身以外的因数）之和等于它本身，这个数就叫做完全数（也叫完美数）； ② 第二步验证 6 是不是完全数： · 先找出 6 的所有因数：1、2、3、6； · 真因数是除了 6 本身以外的因数：1、2、3； · 计算真因数之和：1+2+3=6，等于 6 本身； · 因此 6 是完全数； ③ 第三步验证 28 是不是完全数： · 先找出 28 的所有因数：1、2、4、7、14、28； · 真因数是除了 28 本身以外的因数：1、2、4、7、14； · 计算真因数之和：1+2+4+7+14=28，等于 28 本身； · 因此 28 是完全数； ④ 第四步文化拓展：完全数是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的，被认为是 “完美、和谐” 的数，是数论中最古老的研究内容之一，目前已发现的完全数都是偶数，最小的两个完全数是 6 和 28。 【答案】 完全数的定义：一个非 0 自然数，它的所有真因数（除本身外的因数）之和等于它本身，这个数就是完全数； 6 的真因数之和 1+2+3=6，28 的真因数之和 1+2+4+7+14=28，因此 6 和 28 都是完全数。 【知识点睛】完全数的核心要点： 1. 核心定义：完全数的本质是 “真因数之和等于它本身”，必须严格满足这个条件； 2. 真因数范围：真因数是除了数本身以外的所有因数，1 是所有非 0 自然数的真因数； 3. 常见完全数：小学阶段只需掌握最小的两个完全数 6 和 28，了解其特征即可； 4. 文化价值：完全数是数学文化的重要内容，体现了数学的和谐之美，感受数学的历史底蕴与文化魅力。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：混淆质数、合数的定义，误判 1 的属性 错误范式：认为 1 是质数，或者 1 是合数，把 1 纳入质数或合数的分类中。 成因剖析：对质数、合数的定义理解不深，质数需要 2 个因数，合数需要≥3 个因数，1 只有 1 个因数，不符合两者的定义，因此既不是质数也不是合数。 避坑方案：牢记核心分类标准：非 0 自然数按因数个数分为三类：1（1 个因数）、质数（2 个因数）、合数（≥3 个因数），三类独立，互不包含。可以记口诀：“1 个因数是 1，两个因数是质数，三个及以上是合数，三类分清楚，不混也不错”。 易错点 2：认为所有奇数都是质数，所有偶数都是合数 错误范式：认为 9 是质数，因为它是奇数；认为 2 是合数，因为它是偶数。 成因剖析：对质数、合数与奇数、偶数的概念混淆，没有明确二者的分类标准完全不同：质数合数按因数个数分，奇数偶数按能否被 2 整除分，没有必然的对应关系。 避坑方案：明确两个分类标准的独立性：质数合数看因数个数，奇数偶数看能不能被 2 整除。牢记特殊值：2 是唯一的偶质数，9、15、21 等是奇合数，举反例验证，避免绝对化判断。 易错点 3：凭个位数字判断质数，忽略因数个数的核心标准 错误范式：认为个位是 1、3、7、9 的数都是质数，误判 21、27、33、49 为质数。 成因剖析：受 2、3、5 倍数特征的影响，错误认为质数有个位特征，忽略了质数的判断核心是因数个数，和个位数字无关。 避坑方案：牢记核心规则：判断质数的唯一标准是因数的个数，和个位数字、数的大小无关。个位是 1、3、7、9 的数，可能是质数，也可能是合数，必须通过找因数的个数来判断，不能只看个位。 易错点 4：质数判断时遗漏因数，导致误判 错误范式：判断 51 是否为质数，只找了 1 和 51，认为是质数，遗漏了 3 和 17，51 是合数。 成因剖析：找因数时没有有序列举，遗漏了部分因数，导致因数个数统计错误，判断失误。 避坑方案：找因数时严格使用有序列举法，从 1 开始，依次试除，一对一对找，直到两个数接近或重复为止，确保不重不漏。判断质数时，必须找全所有因数，再统计个数，不能只找 1 和本身。 易错点 5：混淆完全数与质数、合数的概念 错误范式：认为完全数是质数，或者完全数是特殊的合数，没有明确完全数的定义。 成因剖析：对完全数的定义理解不清，不知道完全数是按 “真因数之和” 定义的，和质数、合数的分类标准不同。 避坑方案：明确三个概念的分类标准：质数合数按因数个数分，完全数按真因数之和是否等于本身分，完全数都是合数（除了 6、28 等，都是合数），和质数没有交集。完全数是特殊的合数，不是质数。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）一个非 0 自然数，按因数的个数可以分为（ ）、（ ）和（ ）三类。 （2）质数是只有（ ）和（ ）两个因数的数，合数是除了（ ）和（ ），还有其他因数的数。 （3）最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），（ ）既不是质数也不是合数。 （4）100 以内的质数有（ ）个，其中唯一的偶质数是（ ）。 （5）完全数是指一个数的所有（ ）之和等于它本身的数，最小的两个完全数是（ ）和（ ）。 2. 判断： （1）所有的质数都是奇数。（ ） （2）所有的合数都是偶数。（ ） （3）1 既不是质数，也不是合数。（ ） （4）49 是质数。（ ） （5）两个质数的乘积一定是合数。（ ） 3. 选择： （1）下面的数中，是质数的是（ ）。 A. 9 B. 15 C. 17 （2）下面的数中，是合数的是（ ）。 A. 2 B. 3 C. 4 （3）下面的数中，既不是质数也不是合数的是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 （4）100 以内最大的质数是（ ）。 A. 91 B. 97 C. 99 （5）下面的数中，是完全数的是（ ）。 A. 6 B. 8 C. 10 4. 把下面的数填入相应的类别里。 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15 质数： 合数： 既不是质数也不是合数： 5. 按要求写数： （1）写出 20 以内的所有质数； （2）写出 20 以内的所有合数； （3）写出两个完全数。 6. 用数字卡片 1、2、3、5，组成两位数的质数，能组成哪些？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）一个质数（ ）因数。 A. 只有 1 个 B. 只有 2 个 C. 有 3 个及以上 （2）下面的数中，既是奇数又是合数的是（ ）。 A. 9 B. 11 C. 12 （3）用 0、1、2、3 组成的所有两位数中，质数有（ ）个。 A. 3 B. 4 C. 5 8. 一个长方形的长和宽都是质数，它的面积是 21 平方厘米，这个长方形的长和宽分别是多少厘米？ 9. 两个质数的和是 20，积是 91，这两个质数分别是多少？ 10. 验证 14 是不是完全数。 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上是最小的完全数，这个三位数是多少？ 12. 小明在做一个质数的乘法计算，他把一个因数 13 看成了 18，得到的积比正确的积多了 45，正确的积是多少？ 四、数学活动拓展 实践活动：100 以内质数大闯关 活动任务： 1. 用百数表，用筛法找出 100 以内的所有质数，制作一张属于自己的 100 以内质数表； 2. 和同学玩 “质数抢答” 游戏，一人说一个数，另一人快速判断是不是质数，看谁判断得又快又准； 3. 查找完全数的相关资料，了解更多完全数的特征和数学文化，和同学分享你的发现； 4. 观察生活中的质数和合数，比如门牌号、学号、商品价格，说一说哪些是质数，哪些是合数。 要求：通过动手操作、游戏互动、资料查阅，巩固质数和合数的概念，感受数学文化的魅力，提升数感和逻辑思维能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）1；质数；合数 （2）1；它本身；1；它本身 （3）2；4；1 （4）25；2 （5）真因数；6；28 思路点拨： ① 非 0 自然数按因数个数分为 1、质数、合数三类； ② 质数的定义是只有 1 和本身两个因数，合数是除了 1 和本身还有其他因数； ③ 最小的质数是 2，最小的合数是 4，1 既不是质数也不是合数； ④ 100 以内质数共 25 个，唯一的偶质数是 2； ⑤ 完全数是真因数之和等于本身的数，最小的两个是 6 和 28。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖本课时所有核心定义与分类标准，夯实底层知识基础。 2. 【答案】（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√ 思路点拨： ① 2 是质数也是偶数，并非所有质数都是奇数，错误； ② 9 是合数也是奇数，并非所有合数都是偶数，错误； ③ 1 既不是质数也不是合数，正确； ④ 49 的因数有 1、7、49，是合数，错误； ⑤ 两个质数的乘积，因数有 1、两个质数、乘积本身，共 4 个，一定是合数，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避 “质数都是奇数”“合数都是偶数” 等高频易错点，巩固核心定义。 3. 【答案】（1）C （2）C （3）A （4）B （5）A 思路点拨： ① 17 的因数只有 1 和 17，是质数，选 C； ② 4 的因数有 1、2、4，是合数，选 C； ③ 1 既不是质数也不是合数，选 A； ④ 100 以内最大的质数是 97，选 B； ⑤ 6 是最小的完全数，选 A。 【知识点睛】基础选择题型，考查核心概念的直接应用，训练快速判断的能力。 4. 【答案】 质数：2、3、5、7、11、13 合数：4、6、8、9、10、12、14、15 既不是质数也不是合数：1 思路点拨： 根据质数、合数的定义，按因数个数分类，逐一判断。 【知识点睛】分类筛选题型，巩固质数、合数的定义，掌握分类的标准。 5. 【答案】 （1）20 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19 （2）20 以内的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20 （3）完全数：6、28（答案不唯一） 思路点拨： 根据质数、合数的定义，列举 20 以内的数，完全数写出最小的两个即可。 【知识点睛】基础列举题型，巩固质数、合数的范围，强化记忆。 6. 【答案】 能组成的两位数质数有：13、23、31、53。 思路点拨： 先列出所有用 1、2、3、5 组成的两位数，再根据质数的定义筛选，只有 13、23、31、53 符合质数的定义。 【知识点睛】组数与质数判断的综合应用，培养有序列举和筛选的能力。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）A （3）A 思路点拨： ① 质数的定义是只有 2 个因数，选 B； ② 9 是奇数，也是合数，选 A； ③ 用 0、1、2、3 组成的无重复数字两位数有 10、12、13、20、21、23、30、31、32，其中质数是 13、23、31，共 3 个，选 A。 【知识点睛】综合应用题型，深化对质数、合数、奇数、偶数概念的理解，培养逻辑推理能力。 8. 【答案】 21 的因数有 1、3、7、21，其中质数是 3 和 7。 答：这个长方形的长是 7 厘米，宽是 3 厘米。 思路点拨： 长方形面积 = 长 × 宽，长和宽都是质数，积是 21，找出 21 的质因数，即可得到长和宽。 【知识点睛】质数与长方形面积的综合应用，培养问题转化能力，巩固质数的判断。 9. 【答案】 和为 20 的质数组合有：3+17=20，7+13=20； 其中积为 91 的是 7×13=91。 答：这两个质数分别是 7 和 13。 思路点拨： 先找出和为 20 的所有质数组合，再验证积是否为 91，即可得到答案。 【知识点睛】质数的综合应用，培养有序列举和验证的能力，深化对质数的理解。 10. 【答案】 14 的因数有 1、2、7、14； 真因数之和：1+2+7=10，10≠14，因此 14 不是完全数。 思路点拨： 先找出 14 的所有真因数，计算真因数之和，看是否等于 14 本身，即可判断。 【知识点睛】完全数的验证题型，巩固完全数的定义，培养严谨的验证习惯。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 最小的质数是 2，最小的合数是 4，最小的完全数是 6； 因此这个三位数是 246。 思路点拨： 分别根据质数、合数、完全数的特征，确定每个数位上的数字，再组合成三位数。 【知识点睛】多知识点综合应用题型，整合本课时所有核心概念，培养综合分析和数位组合能力。 12. 【答案】 把 13 看成 18，多看了 18-13=5，积多了 45，因此另一个因数是 45÷5=9； 正确的积是 13×9=117。 答：正确的积是 117。 思路点拨： 先根据错误的因数和积的差，求出另一个因数，再计算正确的积，其中 9 是合数，13 是质数，符合题目要求。 【知识点睛】质数合数与乘法计算的综合应用，培养逆向推理能力，深化对质数合数的理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 质数表制作：用百数表和筛法，找出 100 以内的所有质数，制作规范的质数表，标注质数的个数； 2. 游戏互动：和同学玩质数抢答游戏，一人说数，一人判断是否为质数，巩固质数的判断方法； 3. 文化拓展：查阅完全数的相关资料，了解完全数的历史、特征、已发现的完全数，和同学分享交流； 4. 生活应用：观察生活中的数字，找出其中的质数和合数，分享自己的发现，体会数学与生活的联系。 【知识点睛】通过动手制作、游戏互动、资料查阅、生活观察的完整实践过程，巩固质数和合数的核心概念，感受数学文化的魅力，提升数感、逻辑思维能力和合作交流能力，落实综合实践课的育人目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $