第六单元 第 1 课时 因数和倍数的意义（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“因数和倍数的意义”核心知识点，系统梳理定义、相互依存关系、找因数与倍数的方法、特征及非0自然数研究范围，承接整数乘除法基础，为后续2、3、5的倍数特征及质数合数学习搭建支架。 资料以“情境引入-概念建构-应用拓展”路径设计，通过分类思想、模型思想培养推理意识，结合分组问题等实例提升应用意识，课中助教师高效授课，课后分层练习助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第 1 课时 因数和倍数的意义 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：因数和倍数的概念辨析（基础必考） 3 考点二：找一个数的因数的方法（核心必考） 5 考点三：找一个数的倍数的方法（核心必考） 7 考点四：因数和倍数的相互依存关系（提升层级） 9 考点五：因数和倍数的实际应用（拓展应用） 10 第三部分 高频易错预警与避坑指南 12 易错点 1：忽略因数倍数的研究范围，把小数、分数纳入研究 12 易错点 2：单独表述因数和倍数，忽略相互依存关系 12 易错点 3：找因数时遗漏、重复，或忘记 1 和本身 12 易错点 4：混淆因数和倍数的特征，认为倍数个数有限 12 易错点 5：认为 0 有因数和倍数，把 0 纳入研究范围 13 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 14 一、基础夯实达标练（6 题） 14 二、能力拓展提升练（4 题） 15 三、思维拓展培优练（2 题） 16 四、数学活动拓展 16 第五部分 习题精准解析与知识点睛 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版五年级上册第六单元《因数与倍数》的起始奠基课，严格对标 2024 版苏教版新教材内容，承接整数乘除法的知识基础，是整个单元的核心概念课，为后续 2、3、5 的倍数特征、质数与合数、最大公因数与最小公倍数的学习奠定核心概念基础。核心掌握因数和倍数的定义、相互依存关系、找一个数的因数的方法、找一个数的倍数的方法、因数和倍数的基本特征、非 0 自然数范围内的概念边界六大核心内容。全课时建立 “情境引入→概念建构→方法探究→特征总结→应用拓展” 的完整学习路径，围绕数感、推理意识、模型意识、应用意识四条《义务教育数学课程标准（2022 年版）》核心素养主线，帮助学生建立数论初步的核心概念，培养严谨的逻辑思维能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 概念定义 因数和倍数的定义，在非 0 自然数范围内，若，则、是的因数，是、的倍数 定义辨析法、算式对应法 忽略 “非 0 自然数” 的研究范围，概念边界模糊 依存关系 因数和倍数的相互依存关系，不能单独说某个数是因数 / 倍数 依存判断法、逻辑辨析法 单独表述 “12 是倍数，3 是因数”，忽略相互依存的属性 因数寻找 有序列举一个数的所有因数的方法，成对列举、不重不漏 有序列举法、成对找因数法 找因数时遗漏、重复，或无序列举导致错误 倍数寻找 有序列举一个数的倍数的方法，从本身开始依次乘 1、2、3… 倍数列举法、依次乘算 找倍数时漏掉最小倍数（本身），或错误认为倍数有最大数 特征总结 因数的个数有限、最小是 1、最大是本身；倍数的个数无限、最小是本身、无最大 特征归纳法、对比总结法 混淆因数和倍数的特征，认为倍数个数有限 特殊数处理 1 的因数只有 1，1 是所有非 0 自然数的因数；0 不参与因数倍数研究 特殊值辨析法、分类讨论法 认为 0 有因数和倍数，或 1 没有因数 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 定义辨析法 概念判断、算式辨析题 确定算式中的非 0 自然数→对应的模型→判断因数和倍数的对应关系 先看范围非 0 自然数，再乘除对应，因数倍数要分清 因数有序列举法 找一个数的所有因数 从 1 开始，成对列举→两个数相乘等于目标数→按从小到大排列→检查不重不漏 找因数，从 1 起，一对一对找，最小 1，最大本身，个数有限不会超 倍数有序列举法 找一个数的倍数 用目标数依次乘 1、2、3…→得到的积就是倍数→按从小到大排列 找倍数，乘 1 起，依次加本身，最小是本身，无限找不完 依存关系判断法 概念辨析、对错判断题 判断是否成对出现→是否符合乘除关系→是否在非 0 自然数范围内→得出结论 因数倍数相互依，不能单独说，必须成对提 集合图表示法 因数、倍数的结果表示 画椭圆集合框→在框内按顺序填写所有因数 / 倍数→标注集合名称 集合框里按序填，因数倍数分清楚，不重不漏是关键 三、课时数学思想与素养提升 1. 分类思想：数的属性系统归类 核心要义：通过因数的个数、倍数的特征，对非 0 自然数进行分类，为后续质数、合数的学习奠定基础，通过分类梳理建立清晰的数的属性体系，是本课时最核心的数学思想。 典型范式：按因数的个数分类，只有 1 个因数的数是 1，有 2 个因数的数是质数，有 3 个及以上因数的数是合数，通过分类建立数论的核心知识体系。 2. 模型思想：因数倍数的通用数学模型 核心要义：提炼因数和倍数的通用数学模型：在非 0 自然数范围内，若（、、均为非 0 自然数），则、是的因数，是、的倍数，用统一的模型解决所有因数倍数的判断问题，实现举一反三，是模型思想在数论中的核心体现。 典型范式：无论是，还是，都可以用这个模型快速判断因数和倍数的对应关系，无需逐个推导，模型普适性强。 3. 推理思想：概念的双向逻辑推理 核心要义：从乘法算式正向推导因数和倍数的关系，也可以从因数倍数的定义反向推导乘法算式，双向逻辑推理，培养严谨的逻辑推理意识。 典型范式：已知，正向推出 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数；反过来，已知 3 是 12 的因数，就能推出存在整数，使得，，双向推理逻辑闭环。 4. 应用思想：因数倍数的生活落地 核心要义：将因数和倍数的知识应用于物品分组、人数分配、周期问题等生活场景，体会数论知识在解决实际问题中的实用价值，培养用数学方法解决生活问题的应用意识。 典型范式：12 个同学分组，每组人数相同，有几种分法？就是找 12 的所有因数，1 和 12、2 和 6、3 和 4，对应 6 种分法，用因数知识解决生活中的分组问题。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：因数和倍数的概念辨析（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 概念定义与算式对应 题目：根据算式，说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。 思路点拨： ① 第一步明确概念前提：因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，6、2、12 都是非 0 自然数，符合研究范围； ② 第二步匹配定义模型：在非 0 自然数范围内，若，则、是的因数，是、的倍数； ③ 第三步对应算式：在中，，，，符合乘法模型； ④ 第四步得出结论：6 和 2 是 12 的因数，12 是 6 的倍数，也是 2 的倍数； ⑤ 第五步验证：用除法验证，，，商都是整数且没有余数，符合因数倍数的除法定义，结论正确。 【答案】6 和 2 是 12 的因数，12 是 6 的倍数，也是 2 的倍数。 【知识点睛】因数和倍数概念的核心要点： 1. 范围前提：因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，不包括 0、小数、分数，这是概念的核心边界，必须牢记； 2. 定义本质：两个非 0 自然数相乘得到第三个非 0 自然数，相乘的两个数就是积的因数，积就是这两个数的倍数；也可以用除法定义：若（、、均为非 0 自然数，且无余数），则、是的因数，是、的倍数； 3. 相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数，某个数是倍数，必须成对出现，说清楚 “谁是谁的因数”，“谁是谁的倍数”； 4. 易错提醒：不能说 “12 是倍数，6 是因数”，必须说清楚对应关系，单独表述是错误的。 典型例题 2（基础层级）—— 概念对错判断 题目：判断下面的说法是否正确，并说明理由。 （1）因为，所以 1.5 是 3 的因数，3 是 1.5 的倍数。 （2）因为，所以 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 （3）0 是任何数的倍数，任何数都是 0 的因数。 思路点拨： ① 第（1）题： · 第一步明确范围：因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，1.5 是小数，不符合范围要求； · 第二步得出结论：说法错误，因为 1.5 不是非 0 自然数，不在因数倍数的研究范围内。 ② 第（2）题： · 第一步匹配除法定义：，被除数、除数、商都是非 0 自然数，且没有余数，符合因数倍数的除法定义； · 第二步对应关系：除数 3 和商 4 是被除数 12 的因数，被除数 12 是 3 和 4 的倍数； · 第三步得出结论：说法正确。 ③ 第（3）题： · 第一步明确范围：因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，0 不在研究范围内； · 第二步分析：0 不能作为除数，且研究范围不包含 0，因此不能说 0 是任何数的倍数； · 第三步得出结论：说法错误。 【答案】 （1）错误，理由：因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，1.5 是小数，不符合范围要求； （2）正确，理由：，被除数、除数、商都是非 0 自然数且无余数，符合因数倍数的定义； （3）错误，理由：因数和倍数的研究范围不包含 0，0 不参与因数倍数的相关研究。 【知识点睛】概念辨析的核心要点： 1. 范围优先：判断因数倍数的第一步，先看数是否是非 0 自然数，只要有一个数不是非 0 自然数，就不存在因数倍数关系； 2. 定义匹配：必须满足乘法 / 除法的定义，乘法是两个非 0 自然数相乘得第三个，除法是被除数除以除数商为整数且无余数，二者本质一致； 3. 0 的特殊性：0 不在因数倍数的研究范围内，不能讨论 0 的因数和倍数，也不能说 0 是任何数的倍数； 4. 易错提醒：不要忽略范围要求，看到乘除法算式就直接判断，必须先看数的类型是否符合要求。 考点二：找一个数的因数的方法（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 有序列举找因数 题目：找出 18 的所有因数，并用集合图表示出来。 思路点拨： ① 第一步明确找因数的方法：找一个数的因数，就是找所有非 0 自然数，和另一个数相乘等于这个数，一对一对地找，避免遗漏和重复； ② 第二步从 1 开始成对列举： · ，所以 1 和 18 是 18 的因数； · ，所以 2 和 9 是 18 的因数； · ，所以 3 和 6 是 18 的因数； · 接下来试 4，，没有整数解，不是因数；试 5，也没有整数解，停止列举； ③ 第三步按从小到大排列：把所有因数按从小到大的顺序排列，得到 1、2、3、6、9、18； ④ 第四步检查验证：数一下因数的个数，6 个，没有重复，没有遗漏，成对列举的结果完整； ⑤ 第五步绘制集合图，规范表示结果。 【答案】18 的因数有：1、2、3、6、9、18。 【知识点睛】找因数的核心方法与要点： 1. 核心方法：成对列举法，从 1 开始，依次试除，找到两个数相乘等于目标数，就把这两个数都记为因数，直到重复为止，这种方法能保证不重不漏； 2. 有序原则：列举因数时，必须按从小到大的顺序排列，避免无序列举导致的遗漏或重复； 3. 因数特征：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身； 4. 易错提醒：找因数时，不要漏掉 1 和它本身，也不要重复列举，比如，3 和 6 都要记下来，不能只记一个。 典型例题 4（核心层级）—— 因数的特征应用 题目：下面关于一个数的因数的说法，正确的是（ ）。 A. 一个数的因数一定比它本身小 B. 一个数的因数的个数是无限的 C. 最小的因数是 1，最大的因数是它本身 D. 0 的因数是 0 思路点拨： ① 第一步回忆因数的特征：一个数的因数个数有限，最小是 1，最大是它本身； ② 第二步逐个分析选项： · A 选项：一个数的因数包括它本身，比如 18 的因数有 18，所以 “一定比它本身小” 错误； · B 选项：因数的个数是有限的，不是无限的，错误； · C 选项：最小的因数是 1，最大的因数是它本身，符合因数的特征，正确； · D 选项：0 不在因数倍数的研究范围内，错误； ③ 第三步得出结论：选 C。 【答案】C 【知识点睛】因数特征的核心要点： 1. 一个非 0 自然数的因数，最小是 1，最大是它本身，不会超过它本身； 2. 一个数的因数的个数是有限的，不是无限的； 3. 1 是所有非 0 自然数的因数，所有非 0 自然数都有因数 1； 4. 易错提醒：不要忘记一个数的因数包括它本身，这是最常见的错误。 考点三：找一个数的倍数的方法（核心必考） 典型例题 5（核心层级）—— 有序列举找倍数 题目：找出 5 的倍数，写出 50 以内 5 的所有倍数，并用集合图表示。 思路点拨： ① 第一步明确找倍数的方法：找一个数的倍数，就是用这个数依次乘 1、2、3、4…… 得到的积，就是这个数的倍数； ② 第二步依次计算列举： · ，5 是 5 的倍数； · ，10 是 5 的倍数； · ，15 是 5 的倍数； · …… · 一直乘到，刚好在 50 以内，停止列举； ③ 第三步按从小到大排列：所有倍数按顺序排列为 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50； ④ 第四步检查验证：所有数都是 5 乘 1 到 10 的结果，都在 50 以内，没有遗漏，没有超出范围的数。 【答案】50 以内 5 的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50。 【知识点睛】找倍数的核心方法与要点： 1. 核心方法：依次乘 1、2、3…… 法，用目标数依次乘非 0 自然数，得到的积就是这个数的倍数，方法简单，不易出错； 2. 有序原则：列举倍数时，按从小到大的顺序排列，依次递增，避免遗漏； 3. 倍数特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数； 4. 范围限制：如果题目限定了范围，比如 “50 以内”，就只列举范围内的倍数，超出的不写；如果没有范围，就用省略号表示无限个，比如 5 的倍数有 5、10、15、20…… 典型例题 6（核心层级）—— 倍数的特征应用 题目：判断对错：一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） 思路点拨： ① 第一步回忆因数和倍数的特征：一个数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身； ② 第二步分析：比如 5 的最大因数是 5，最小的倍数也是 5，二者相等，并不是倍数一定比因数大； ③ 第三步得出结论：这句话是错误的，打 ×。 【答案】× 【知识点睛】倍数特征的核心要点： 1. 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数； 2. 一个数的最小倍数和它的最大因数相等，都是它本身，因此存在倍数等于因数的情况； 3. 易错提醒：不要认为倍数一定比因数大，忽略了 “本身” 这个特殊情况。 考点四：因数和倍数的相互依存关系（提升层级） 典型例题 7（提升层级）—— 依存关系辨析 题目：下面的说法正确吗？请改正错误的说法。 （1）因为，所以 2 是因数，10 是倍数。 （2）15 是 3 的倍数，3 是 15 的因数。 思路点拨： ① 第（1）题： · 第一步回忆依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说清楚 “谁是谁的因数”，“谁是谁的倍数”； · 第二步分析错误：说法中单独说 “2 是因数，10 是倍数”，没有说清楚对应关系，错误； · 第三步改正：2 和 5 是 10 的因数，10 是 2 和 5 的倍数。 ② 第（2）题： · 第一步检查对应关系：说法中明确说了 “15 是 3 的倍数，3 是 15 的因数”，对应关系清晰，符合相互依存的要求； · 第二步验证：，符合因数倍数的定义，说法正确。 【答案】 （1）错误，改正：2 和 5 是 10 的因数，10 是 2 和 5 的倍数； （2）正确。 【知识点睛】相互依存关系的核心要点： 1. 核心属性：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，必须成对出现，说清楚两个数之间的对应关系； 2. 规范表述：必须表述为 “是的因数”，“是的倍数”，不能单独说 “是因数”，“是倍数”； 3. 易错提醒：这是本课时最常见的错误，很多学生容易单独表述因数和倍数，必须强化规范表述的意识。 考点五：因数和倍数的实际应用（拓展应用） 典型例题 8（拓展层级）—— 分组问题应用 题目：三年级一班有 36 名同学，要分成人数相等的若干小组，要求每组人数大于 1 人，小于 36 人，有多少种不同的分法？ 思路点拨： ① 第一步分析问题：要把 36 名同学分成人数相等的小组，每组人数相同，说明每组的人数是 36 的因数，组数也是 36 的因数； ② 第二步找出 36 的所有因数：用成对列举法，36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，共 9 个； ③ 第三步根据要求筛选：题目要求每组人数大于 1 人，小于 36 人，所以去掉 1 和 36，剩下的因数有 2、3、4、6、9、12、18，共 7 个； ④ 第四步对应分法： · 每组 2 人，分 18 组； · 每组 3 人，分 12 组； · 每组 4 人，分 9 组； · 每组 6 人，分 6 组； · 每组 9 人，分 4 组； · 每组 12 人，分 3 组； · 每组 18 人，分 2 组； ⑤ 第五步得出结论：一共有 7 种不同的分法。 【答案】一共有 7 种不同的分法。 【知识点睛】实际应用的核心要点： 1. 问题转化：把生活中的分组问题，转化为找一个数的因数的数学问题，是转化思想的典型应用； 2. 筛选条件：要结合题目的要求，对找出的因数进行筛选，去掉不符合条件的因数； 3. 对应关系：因数和分组的方案是一一对应的，每个符合条件的因数都对应一种分法； 4. 易错提醒：不要忘记去掉 1 和它本身对应的分法，必须符合题目中的限制条件。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：忽略因数倍数的研究范围，把小数、分数纳入研究 错误范式：因为，所以 0.5 是 2 的因数，2 是 0.5 的倍数。 成因剖析：对因数倍数的研究范围理解不清，不知道因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，不包括小数、分数，只要有一个数不是非 0 自然数，就不存在因数倍数关系。 避坑方案：牢记核心前提：因数和倍数的研究范围是 non-0 自然数（正整数），不包括 0、小数、分数。判断因数倍数的第一步，先看数的类型，只要有一个数不是非 0 自然数，直接判定不存在因数倍数关系。 易错点 2：单独表述因数和倍数，忽略相互依存关系 错误范式：因为，所以 3 是因数，12 是倍数。 成因剖析：对因数和倍数的相互依存属性理解不清，不知道二者是成对出现的，不能单独存在，必须说清楚两个数之间的对应关系。 避坑方案：牢记核心规则：因数和倍数相互依存，不能单独说某个数是因数或倍数，必须成对表述。规范表述为 “是的因数”，“是的倍数”，缺一不可。可以记口诀：“因数倍数手拉手，成对出现不分手，单独表述全错误，对应关系要记熟”。 易错点 3：找因数时遗漏、重复，或忘记 1 和本身 错误范式：找 12 的因数，只找出 2、3、4、6，漏掉了 1 和 12；或者找出 1、2、3、3、4、6、12，重复列举了 3。 成因剖析：没有掌握有序列举的方法，无序尝试导致遗漏或重复，尤其容易漏掉 1 和数本身这两个特殊的因数。 避坑方案：严格使用成对列举法，从 1 开始，依次试除，一对一对找，直到两个数接近或重复为止。比如找 12 的因数：、、，刚好 3 对，全部列出来，既不会遗漏，也不会重复。同时牢记：1 和数本身一定是这个数的因数，必须包含在内。 易错点 4：混淆因数和倍数的特征，认为倍数个数有限 错误范式：认为 10 的倍数只有 10、20、30，没有更多了，倍数个数是有限的。 成因剖析：对倍数的特征理解不清，不知道一个数的倍数的个数是无限的，只有最小的倍数，没有最大的倍数。 避坑方案：牢记核心特征：因数个数有限，最小 1，最大本身；倍数个数无限，最小本身，无最大。可以记口诀：“因数有限，最小 1，最大是自己；倍数无限，最小是自己，永远找不到最大”。找倍数时，只要没有范围限制，就要用省略号表示无限个，不能写死。 易错点 5：认为 0 有因数和倍数，把 0 纳入研究范围 错误范式：认为 0 的因数是 0，0 是任何数的倍数。 成因剖析：对因数倍数的研究范围理解不清，不知道 0 不在研究范围内，0 不能作为除数，也不能参与因数倍数的相关讨论。 避坑方案：牢记：因数和倍数的研究范围是非 0 自然数，0 不参与其中。不能讨论 0 的因数和倍数，也不能说 0 是任何数的倍数，所有涉及 0 的因数倍数表述都是错误的。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）在非 0 自然数范围内，若，则（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 （2）12 的因数有（ ），最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 （3）5 的倍数有（ ），最小的倍数是（ ），（ ）最大的倍数。 （4）18 的因数中，最小的是（ ），最大的是（ ）。 （5）一个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。 2. 判断： （1）因为，所以 2.5 是 10 的因数。（ ） （2）1 是所有非 0 自然数的因数。（ ） （3）一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） （4）16 的因数有 1、2、4、8、16，共 5 个。（ ） （5）一个数的最小倍数是它本身。（ ） 3. 选择： （1）下面的算式中，能表示因数和倍数关系的是（ ）。 A. B. C. （2）24 的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。 A. 12 B. 24 C. 48 （3）下面的数中，因数个数最多的是（ ）。 A. 6 B. 12 C. 24 （4）一个数既是 15 的因数，又是 15 的倍数，这个数是（ ）。 A. 1 B. 15 C. 30 4. 找出下面各数的所有因数： （1）20 （2）36 （3）49 5. 找出下面各数的倍数（各写 5 个）： （1）3 （2）7 （3）10 6. 五（1）班有 48 名同学，要分成人数相等的若干小组，每组人数大于 2 人，小于 10 人，有几种不同的分法？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）甲数 ×3 = 乙数（甲、乙均为非 0 自然数），乙数是甲数的（ ）。 A. 因数 B. 倍数 C. 无法确定 （2）下面的说法中，正确的是（ ）。 A. 4 是因数，8 是倍数 B. 10 的倍数一定比 10 的因数大 C. 一个非 0 自然数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数 8. 根据，说一说因数和倍数的关系。 9. 一个数既是 30 的因数，又是 5 的倍数，这个数可能是多少？ 10. 妈妈买了 30 个苹果，要把它平均分给若干个小朋友，要求每个小朋友分到的苹果数相同，且至少分 2 个，最多分 10 个，有几种不同的分法？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一个数的最大因数和最小倍数相加等于 60，这个数是多少？ 12. 有一堆糖果，数量在 40 到 50 之间，平均分给 6 个小朋友，正好分完；平均分给 8 个小朋友，也正好分完。这堆糖果有多少个？ 四、数学活动拓展 实践活动：生活中的因数和倍数 活动任务： 1. 调查生活中用到因数和倍数的场景，比如班级分组、物品分配、周期问题等； 2. 记录一个场景中的数据，比如班级有 40 名同学，分组做操，用因数知识找出所有可能的分法； 3. 再找一个倍数的应用场景，比如公交车每 10 分钟发一班车，用倍数知识找出 1 小时内的发车时间； 4. 和同学分享你的调查结果，说一说因数和倍数在生活中的应用，体会数学知识的实用价值。 要求：通过真实的生活调查，巩固因数和倍数的概念，体会数学与生活的紧密联系，提升应用意识和实践能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】（1）；；；；； （2）1、2、3、4、6、12；1；12 （3）5、10、15、20……；5；没有 （4）1；18 （5）有限；无限 思路点拨： ① 因数和倍数的定义，，、是的因数，是、的倍数； ② 12 的因数成对列举：1×12、2×6、3×4，共 6 个，最小 1，最大 12； ③ 5 的倍数依次乘 1、2、3……，最小是 5，没有最大的倍数； ④ 18 的最小因数是 1，最大因数是 18； ⑤ 因数个数有限，倍数个数无限。 【知识点睛】本题考查因数和倍数的核心定义、特征、找法，是本课时最基础的知识点，必须牢固掌握。 2. 【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√ 思路点拨： ① 2.5 是小数，不在因数倍数的研究范围内，错误； ② 1 是所有非 0 自然数的因数，正确； ③ 一个数的最小倍数和最大因数相等，都是它本身，错误； ④ 16 的因数有 1、2、4、8、16，共 5 个，正确； ⑤ 一个数的最小倍数是它本身，正确。 【知识点睛】概念辨析题，准确掌握因数倍数的范围、定义、特征即可快速判断。 3. 【答案】（1）B （2）B （3）C （4）B 思路点拨： A 选项有小数，C 选项商不是整数，只有 B 选项符合因数倍数的定义，选 B； 24 的最大因数和最小倍数都是它本身 24，选 B； 6 的因数有 4 个，12 的因数有 6 个，24 的因数有 8 个，24 的因数最多，选 C； 既是 15 的因数，又是 15 的倍数，这个数是它本身 15，选 B。 【知识点睛】基础选择题，考查因数倍数的定义、特征、因数个数判断，是基础必考题。 4. 【答案】 （1）20 的因数：1、2、4、5、10、20 （2）36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 （3）49 的因数：1、7、49 思路点拨： 用成对列举法，从 1 开始，两个数相乘等于目标数，依次列举，确保不重不漏。 【知识点睛】找因数的基础练习，掌握成对列举的方法，确保结果完整。 5. 【答案】（答案不唯一，合理即可） （1）3 的倍数：3、6、9、12、15 （2）7 的倍数：7、14、21、28、35 （3）10 的倍数：10、20、30、40、50 思路点拨： 用目标数依次乘 1、2、3、4、5，得到的积就是倍数，按从小到大排列。 【知识点睛】找倍数的基础练习，掌握依次乘算的方法，理解倍数的无限性。 6. 【答案】 48 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 去掉小于等于 2 的 1、2，和大于等于 10 的 12、16、24、48，剩下的因数有 3、4、6、8，共 4 个。 答：有 4 种不同的分法。 思路点拨： 先找出 48 的所有因数，再根据 “每组人数大于 2 人，小于 10 人” 的条件筛选，符合条件的因数有 3、4、6、8，对应 4 种分法。 【知识点睛】因数的实际应用，掌握问题转化的方法，结合条件筛选因数，培养应用意识。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）C 思路点拨： ① 甲数 ×3 = 乙数，说明乙数是甲数的 3 倍，乙数是甲数的倍数，选 B； ② A 选项单独表述因数和倍数，错误；B 选项 10 的最小倍数和最大因数都是 10，相等，错误；C 选项正确，每个非 0 自然数都是它本身的因数和倍数。 【知识点睛】因数倍数的综合辨析，深化对概念的理解，培养逻辑判断能力。 8. 【答案】 12 和 5 是 60 的因数，60 是 12 的倍数，也是 5 的倍数。 思路点拨： 根据因数和倍数的定义，，符合的模型，对应得出因数和倍数的关系。 【知识点睛】因数倍数的规范表述，强化相互依存的概念，培养严谨的数学表达习惯。 9. 【答案】 30 的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30； 其中是 5 的倍数的有：5、10、15、30。 答：这个数可能是 5、10、15、30。 思路点拨： 先找出 30 的所有因数，再从中筛选出 5 的倍数，符合条件的数有 4 个。 【知识点睛】因数和倍数的综合应用，培养有序列举和筛选的能力，深化对两个概念的理解。 10. 【答案】 30 的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30； 根据条件，每个小朋友至少分 2 个，最多分 10 个，符合条件的因数有 2、3、5、6、10，共 5 个。 答：有 5 种不同的分法。 思路点拨： 先找出 30 的所有因数，再结合 “至少分 2 个，最多分 10 个” 的条件筛选，符合条件的因数有 5 个，对应 5 种分法。 【知识点睛】因数的实际应用，结合生活场景，培养问题转化和筛选分析的能力。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个数是。 答：这个数是 30。 思路点拨： 核心规律：一个数的最大因数和最小倍数相等，都是它本身。因此两个数相加等于 60，这个数就是 60 的一半，30。 【知识点睛】因数和倍数特征的综合应用，培养逆向推理能力，深化对核心特征的理解。 12. 【答案】 糖果数量在 40 到 50 之间，既是 6 的倍数，也是 8 的倍数。 先找 6 和 8 的公倍数，6 的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54……；8 的倍数：8、16、24、32、40、48、56……； 在 40 到 50 之间的公倍数是 48。 答：这堆糖果有 48 个。 思路点拨： 问题转化为找 40-50 之间，既是 6 的倍数也是 8 的倍数的数，先分别列举 6 和 8 的倍数，再找范围内的公倍数，结果是 48。 【知识点睛】倍数的综合应用，培养公倍数的初步认知，为后续学习最小公倍数奠定基础，提升综合分析能力。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 场景调查：选择班级分组、公交发车、节日装饰等生活场景，记录相关数据； 2. 因数应用：比如班级 45 名同学，分组做操，找出 45 的所有因数，列出所有可能的分法； 3. 倍数应用：比如公交站每 15 分钟发一班车，找出 1 小时内的所有发车时间，用倍数知识计算； 4. 分享交流：和同学分享调查的场景、应用的因数倍数知识，交流生活中其他的应用场景； 5. 总结提升：总结因数和倍数在生活中的应用，体会数学知识的实用价值。 【知识点睛】通过真实的生活调查实践活动，能巩固因数和倍数的概念，体会数学与生活的紧密联系，提升应用意识、实践能力和合作交流能力，落实综合实践课的育人价值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $