第六单元 第 2 课时 找一个数的因数（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“找一个数的因数”核心知识点，系统梳理乘法配对法和除法试除法两种方法，承接因数与倍数意义的前序知识，为后续质数、合数及公因数学习搭建关键支架。 该资料以数感、推理意识和应用意识为核心素养导向，通过分层练习（基础、提升、培优）和高频易错预警（如无序寻找致遗漏）强化有序思考，结合“因数大搜查”实践活动培养探究能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

第 2 课时 找一个数的因数 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：利用乘法算式寻找一个数的因数（基础必考） 3 考点二：利用除法算式寻找一个数的因数（核心必考） 4 考点三：因数基本特征综合辨析（高频基础考点） 5 考点四：两种找因数方法对比择优（提升考点） 6 考点五：寻找因数解决简单实际问题（拓展应用考点） 6 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：无序寻找因数，出现重复、遗漏 8 易错点 2：混淆因数与倍数特征，误以为因数个数无限 8 易错点 3：除法试除时，商不是整数仍然记作因数 8 易错点 4：两个相同乘数只写一组因数时重复书写 8 易错点 5：实际应用题忘记按照要求筛选因数 8 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 9 一、基础夯实达标练（6 题） 9 二、能力拓展提升练（4 题） 10 三、思维拓展培优练（2 题） 10 四、数学活动拓展 11 第五部分 习题精准解析与知识点睛 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版五年级上册第六单元《因数与倍数》第 2 课时，承接第 1 课时因数和倍数的意义，聚焦寻找一个数因数的两类核心方法（乘法配对法、除法试除法），系统探究因数的特征，为后续质数、合数、公因数的学习搭建关键基础。 本课严格遵循《义务教育数学课程标准（2022 年版）》要求，围绕数感、推理意识、应用意识三大核心素养设计学习流程：情境导入→方法探究→对比优化→特征归纳→练习应用。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 乘法算式找因数 依据，成对寻找乘积等于目标数的两个非 0 自然数，有序列举所有因数 乘法配对列举法 无序寻找、出现重复因数、遗漏 1 或者数本身 除法算式找因数 用目标数依次除以 1、2、3……，能整除且无余数，除数与商都是这个数的因数 除法有序试除法 除到商小于除数后继续试算，多余计算；忽略整除条件 因数特征探究 一个非 0 自然数因数个数有限；最小因数是 1；最大因数是它本身；1 只有 1 个因数 归纳对比法 混淆因数、倍数特征，误认为因数可以无限多 集合图规范表达 使用集合椭圆有序填写一个数的全部因数，规范数学书写格式 集合图示法 因数排列杂乱、重复、遗漏，缺少标注 综合方法选择 根据数字大小灵活选用乘法配对法或除法试除法，做到不重不漏 方法择优策略 只会单一方法，复杂数字寻找因数效率低 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 乘法配对列举法 寻找中小自然数全部因数 从 1 开始，寻找满足目标数的算式，一对一对记录因数；直到两个乘数接近、交叉重合为止；从小到大排序 找因数，乘法配，从 1 起步两两凑；相等只写一次数，不重不漏排整齐 除法有序试除法 数字偏大，适合试除寻找因数 目标数依次 ÷1、÷2、÷3……；商为整数且无余数，除数、商均为因数；当除数＞商时停止计算 依次试除看整除，商整无余记因数；除数超过商就停下，节约时间不出错 集合图表示法 规范呈现一个数所有因数 绘制椭圆集合框，上方标注 “XX 的因数”；框内从小到大有序填写因数 椭圆框，标名称，因数有序往里填，成对结果要齐全 三、课时数学思想与素养提升 1. 有序思考思想 核心要义：寻找因数必须遵循从小到大的顺序，杜绝随意罗列。有序思考可以从根源避免重复、遗漏，是本课时最重要的数学思想。 典型范式：寻找 24 的因数，从 1 开始配对，，当无法得到整数，继续到出现重复，立刻停止。 2. 转化思想 核心要义：因数概念存在双向转化关系。乘法算式可以转化为除法算式判断因数；寻找因数问题可以转化为 “乘积等于已知数” 或者 “能够整除已知数” 两类问题，实现方法互通。 典型范式：根据可以推出、，两种算式都能判定 3 和 8 是 24 的因数。 3. 极限思想 核心要义：通过大量实例归纳因数的边界：最小因数固定为 1，最大因数是数字自身；因数数量存在上限，因此个数有限。区分 “因数有限” 与 “倍数无限” 的本质不同。 典型范式：观察 15、20、36 等数字的因数，所有数字最小因数都是 1，最大因数等于数字本身，不存在无限罗列的情况。 4. 模型思想 核心要义 乘法模型：在非 0 自然数范围，，则是的因数。 除法模型：在非 0 自然数范围，（无余数），则是的因数。 两类模型互相印证，统一解决寻找因数的问题。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：利用乘法算式寻找一个数的因数（基础必考） 典型例题 1（基础层级） 题目：用乘法算式找出 20 的所有因数，并用集合图表示结果。 思路点拨 ① 确定方法：采用乘法配对法，寻找两个非 0 自然数相乘等于 20； ② 从数字 1 开始依次尝试，写出完整乘法算式： ，1 和 20 是 20 的因数； ，2 和 10 是 20 的因数； ，4 和 5 是 20 的因数； ，算式重复，停止列举； ③ 将所有因数整理，按照从小到大排序：1、2、4、5、10、20； ④ 核对检查，不存在重复数字，没有遗漏； ⑤ 按照绘图规范画出集合图呈现结果。 【答案】20 的因数：1、2、4、5、10、20。 【知识点睛】 1. 乘法配对法核心操作：固定乘积，从小到大枚举第一个乘数，找到对应的另一个乘数； 2. 停止判断标准：当乘数出现重复、顺序颠倒时，不再继续列举； 3. 关键提醒：不可漏掉数字本身这一组算式，1 和这个数一定是它的因数； 4. 书写规范：最终答案必须从小到大有序排列。 考点二：利用除法算式寻找一个数的因数（核心必考） 典型例题 2（核心层级） 题目：运用除法试除法找出 24 的全部因数。 思路点拨 ① 明确规则：用 24 依次除以 1、2、3、4……，若商是整数且没有余数，除数和商都是 24 的因数；当除数＞商时，停止计算； ② 依次列式计算： ，无余数 → 1、24 是因数； ，无余数 → 2、12 是因数； ，无余数 → 3、8 是因数； ，无余数 → 4、6 是因数； ，商不是整数，5 不是因数； ，此时除数 6＞商 4，出现重复配对，停止试除； ③ 汇总收集所有因数，从小到大排序：1、2、3、4、6、8、12、24； ④ 整体复核，确认无遗漏、无重复。 【答案】24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 【知识点睛】 1. 除法试除法判断条件：被除数 ÷ 除数 = 整数，没有余数；不满足条件则除数不是因数； 2. 终止技巧：除数大于商时立刻停止，大幅减少无效计算； 3. 方法对比：数字较小时乘法配对更快捷；数字偏大时，除法试除更方便检验； 4. 易错警示：不能除到小数就记录；不要一直无限试算，造成重复书写。 考点三：因数基本特征综合辨析（高频基础考点） 典型例题 3（基础层级） 题目 判断正误，并说明理由。 （1）一个数的因数的个数是无限的。（ ） （2）一个非 0 自然数最小的因数是 1，最大的因数是它本身。（ ） （3）1 没有因数。（ ） （4）18 最大的因数和最小的因数相加和是 19。（ ） 思路点拨 ① 分析第（1）小题：任何非 0 自然数的因数都能全部列举完毕，因数个数有限，因此这句话错误； ② 分析第（2）小题：根据因数特征，所有非 0 自然数最小因数都是 1，最大因数为自身，说法正确； ③ 分析第（3）小题：，1 的因数是 1，因此 “1 没有因数” 表述错误； ④ 分析第（4）小题：18 最小因数是 1，最大因数是 18；，结论正确。 【答案】 （1）×，理由：一个非 0 自然数因数个数有限； （2）√，理由：符合因数的基本特征； （3）×，理由：1 的因数是 1； （4）√，理由：。 【知识点睛】 因数三大核心特征（必须熟记） 1. 数量特征：非 0 自然数，因数的个数有限；倍数个数无限，注意区分对比； 2. 边界特征：最小因数 = 1，最大因数 = 这个数本身； 3. 特殊数字：数字 1 仅有 1 个因数，就是 1 本身。 考点四：两种找因数方法对比择优（提升考点） 典型例题 4（提升层级） 题目 分别选用合适的方法找出 32 的所有因数。 思路点拨 方案一：乘法配对法 ① 依次列出乘积等于 32 的算式： （重复，停止）； ② 整理因数：1、2、4、8、16、32。 方案二：除法试除法 ① 、、、；除数 8＞商 4，停止； ② 整理因数：1、2、4、8、16、32； ③ 对比发现，两种方法得到结果完全一致，可以互相验算。 【答案】32 的因数：1、2、4、8、16、32。 【知识点睛】 1. 乘法法、除法法本质相通，可以互相检验答案是否正确； 2. 使用建议：较小整数优先乘法配对；较大数字优先除法试除检验； 3. 检验习惯：寻找因数完成后，数一数因数总数，核对有无重复遗漏。 考点五：寻找因数解决简单实际问题（拓展应用考点） 典型例题 5（拓展层级） 题目 有 24 支铅笔，平均分发给若干名学生，每人分到铅笔数量相同。每人不能分到 1 支，也不能全部分给 1 个人。一共有多少种分配方案？ 思路点拨 ① 转化数学问题：分配问题等价于寻找 24 的因数；因数代表人数或者每人分得支数； ② 使用乘法配对法写出 24 全部因数：1、2、3、4、6、8、12、24； ③ 根据条件排除：去掉因数 1 和 24；剩余因数：2、3、4、6、8、12； ④ 一一对应分配方案： 2 人每人 12 支、3 人每人 8 支、4 人每人 6 支、6 人每人 4 支、8 人每人 3 支、12 人每人 2 支； ⑤ 计数，一共 6 种分配方案。 【答案】一共有 6 种分配方案。 【知识点睛】 1. 解题转化模型：物品平均分、分组问题→寻找总数的因数； 2. 解题步骤：先找全部因数→结合题干限制条件筛选因数→统计可行方案； 3. 注意审题：看清限制条件，按需剔除不符合题意的因数。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：无序寻找因数，出现重复、遗漏 错误范例：找 16 的因数随意写：2、4、8、16，漏掉因数 1。 成因剖析：没有使用有序配对策略，忽略 “1 和数字本身” 这一组因数。 避坑方案：固定从 1 开始成对寻找，写完统一从小到大排序，做完主动检查首尾数字。 易错点 2：混淆因数与倍数特征，误以为因数个数无限 错误范例：12 的因数有无穷多个。 成因剖析：将倍数 “个数无限” 迁移到因数，概念特征混淆。 避坑方案：牢记口诀：因数有限，最小 1，最大本身；倍数无限，最小本身，没有最大值。 易错点 3：除法试除时，商不是整数仍然记作因数 错误范例：，判定 5 是 12 的因数。 成因剖析：遗忘前提：因数倍数只研究非 0 自然数，除法必须整除无余数。 避坑方案：只要除法算出小数、有余数，这个除数一定不是目标数的因数。 易错点 4：两个相同乘数只写一组因数时重复书写 错误范例：，将 6 记录两次。 成因剖析：不理解配对规则，平方数两个乘数相同，因数只写一次。 避坑方案：当乘法算式两个数字相等，这个因数只写一遍，不可重复。 易错点 5：实际应用题忘记按照要求筛选因数 错误范例：分组题目不看限制条件，直接使用全部因数计算方案数量。 成因剖析：只会机械找因数，缺少结合题意筛选信息的意识。 避坑方案：应用题先圈画限制条件，找出因数后再剔除不符合条件的数据。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空 （1）利用乘法算式，可知 18 的因数有（ ）。 （2）一个非 0 自然数最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 （3）一个数因数的个数是（ ）的。（填 “有限” 或 “无限”） （4），没有余数，那么（ ）和（ ）是（ ）的因数。 （5）1 的因数是（ ）。 2. 判断 （1）35 的因数只有 5 和 7。（ ） （2）任何非 0 自然数都有因数 1。（ ） （3）21 最大的因数是 21。（ ） （4）因为，所以 4 是 10 的因数。（ ） 3. 选择题 （1）下面数字中，因数个数最多的是（ ） A.12 B.16 C.7 （2）一个数最大因数是 19，这个数是（ ） A.1 B.19 C.38 （3）36 的最小因数是（ ） A.1 B.6 C.36 4. 使用乘法配对法找出 28 的全部因数，绘制对应的集合图。 5. 使用除法试除法找出 42 的全部因数。 6. 把 30 块橡皮平均分给若干同学，每人分得数量一样，不允许每人 1 块，也不能只分给 1 人。一共有多少种分法？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 先写出 40 的所有因数，再回答：其中偶数有哪些？奇数有哪些？ 8. 一个数的最大因数与最小因数之和是 25，这个数是多少？ 9. 有长方形面积是 36 平方厘米，长、宽均为整厘米数。一共有多少种不同的长方形？（长＞宽） 10. 用两种不同方法写出 48 的全部因数，互相检验结果是否一致。 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 已知 a 是 36 的因数，同时 a 大于 4、小于 12，满足条件的 a 有哪些数字？ 12. 一个自然数，它的因数一共有 5 个，这个数最小是多少？ 四、数学活动拓展 实践活动：因数大搜查 活动任务： 1. 在草稿纸上依次写出 1～30 每个自然数的全部因数； 2. 统计每个数字因数的个数； 3. 观察思考：哪些数字只有 2 个因数？哪些数字因数个数超过 2 个？数字 1 有几个因数？ 4. 小组交流，尝试归纳发现，为下一节课认识质数、合数做好预习。 活动目标：通过自主列举、对比观察，积累大量实例，发展有序思考与归纳推理意识，搭建新知桥梁。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1.【答案】 （1）1、2、3、6、9、18 （2）1；它本身 （3）有限 （4）5；6；30 （5）1 思路点拨 ① 根据三组乘法算式，提取所有乘数，有序排列得到 18 的因数； ② 牢记因数两条基础特征：最小因数为 1，最大因数是数字本身； ③ 因数个数有限，倍数个数无限； ④ 整除除法算式中，除数和商是被除数的因数； ⑤ ，1 唯一的因数是 1。 【知识点睛】基础概念识记，掌握乘法、除法算式判定因数的基本形式，夯实本课时底层知识。 2.【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）× 思路点拨 ① 35 完整因数：1、5、7、35，题干漏掉 1 和 35； ② 所有非 0 自然数都存在因数 1； ③ 一个数最大因数是自身，21 最大因数为 21； ④ 商不是整数，不存在因数倍数关系。 【知识点睛】概念辨析题型，重点规避 “漏掉 1 和数字本身”、“小数商判定因数” 两大高频错误。 3.【答案】（1）A （2）B （3）A 思路点拨 ① 12 因数：1,2,3,4,6,12（6 个）；16 因数 5 个；7 因数 2 个；选 A； ② 一个数最大因数是它本身，所以这个数是 19； ③ 任何自然数最小因数都是 1。 【知识点睛】熟练运用因数特征快速解题，掌握因数个数的简单统计方法。 4.【答案】 乘法算式： 28 的因数：1、2、4、7、14、28。 集合图绘制要点：绘制椭圆，标题标注 28 的因数，框内有序填写数字。 思路点拨 从 1 开始配对列举，乘数重复时停止，整理排序，规范作图。 【知识点睛】巩固乘法配对法，掌握集合图标准书写格式，落实数学规范表达。 5.【答案】 （除数＞商停止） 42 的因数：1、2、3、6、7、14、21、42。 思路点拨 依次试除，仅保留整除无余数的算式，收集除数和商，有序整理。 【知识点睛】熟练运用除法试除法，掌握 “除数大于商停止运算” 的省时技巧。 6.【答案】 30 的因数：1、2、3、5、6、10、15、30； 排除 1 和 30，剩余 2、3、5、6、10、15，共 6 种分法。 思路点拨 ① 先寻找 30 全部因数； ② 根据条件剔除 1、30； ③ 统计剩余因数数量，得到分配方案总数。 【知识点睛】平均分问题转化为寻找因数，学会根据题意筛选有效因数。 二、能力拓展提升练解析 7.【答案】 40 的因数：1、2、4、5、8、10、20、40； 偶数：2、4、8、10、20、40；奇数：1、5。 思路点拨 先用乘法配对法完整写出因数；再根据奇数、偶数定义分类筛选。 【知识点睛】融合因数认识与奇偶数知识点，实现旧知新知综合运用。 8.【答案】 最小因数是 1，，这个数是 24。 思路点拨 ① 固定结论：最小因数 = 1； ② 和减去最小因数，结果就是这个数本身（最大因数）。 【知识点睛】逆向运用因数边界特征，锻炼逆向推理思维。 9.【答案】 长方形面积 = 长 × 宽 = 36，乘积为 36 的整数因数对有：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6； 满足长＞宽的组合：(36,1)、(18,2)、(12,3)、(9,4)，一共 4 种不同的长方形。 思路点拨 ① 将面积问题转化为乘积等于 36 的整数配对问题； ② 遵循长＞宽的要求，去除长与宽相等的正方形组合（6,6）； ③ 统计有效组合的数量。 【知识点睛】几何问题与因数知识结合，建立数形结合思维。 10.【答案】 48 的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 思路点拨 方法 1 乘法配对；方法 2 除法试除；两组答案对照，检验是否存在遗漏。 【知识点睛】掌握两种方法互相验算，养成答题自查的好习惯。 三、思维拓展培优练解析 11.【答案】 36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 大于 4 小于 12：6、9。满足条件的 a 是 6、9。 思路点拨 完整列出因数，再结合取值范围筛选数字。 【知识点睛】综合考查有序列举、范围筛选，提升严谨审题能力。 12.【答案】 有 5 个因数的数最小是 16。 16 的因数：1、2、4、8、16，共 5 个。 思路点拨 ① 推理：因数个数为奇数，说明这个数是平方数； ② 从小到大依次验证平方数：4（3 个因数）、9（3 个）、16（5 个）； 【知识点睛】拓展规律：平方数因数数量为奇数，非平方数因数成对出现，个数为偶数，为后续学习铺垫。 四、数学活动拓展解析 活动引导要点： 1. 有序写出 1～30 各数因数，杜绝漏写； 2. 观察发现：数字 1 仅有 1 个因数；部分数字只有 1 和自身 2 个因数；剩余数字因数多于 2 个； 3. 自主猜想分类标准，下节课正式学习质数和合数。 【知识点睛】借助探究活动积累直观经验，发展归纳推理意识，实现课时之间知识无缝衔接。 1 学科网（北京）股份有限公司 $