第六单元 因数与倍数（单元举一反三讲义）五年级上册数学苏教版（新教材）

该小学数学“因数与倍数”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理单元知识，涵盖因数倍数意义、2/3/5倍数特征、质数合数等核心内容，以定义-特点-方法逻辑呈现，突出相互依存、有限无限等核心特点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题讲解结合跟踪训练（如短除法求最大公因数），培优练习融入实际问题（如试验田划分正方形），培养运算能力与推理意识。基础题巩固概念，提升题发展数学思维，助力教师精准教学，支持学生自主复习。

第六单元 因数与倍数 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：因数与倍数的意义和特征 1. 定义：在非0自然数中，如果 （无余数，a、b、c均为非0自然数），那么b和c是a的因数，a是b和c的倍数。 2. 核心特点（必考） ① 因数和倍数相互依存，不能单独说某个数是因数或倍数； ② 研究范围：只针对非0自然数，小数、分数、0都不研究； ③ 一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身； ④ 一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3. 查找方法 找因数：成对列举，从小到大，避免遗漏重复； 找倍数：用这个数依次乘1、2、3…… 知识点2：2、3、5的倍数特征及奇数、偶数 1. 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8。 2. 5的倍数特征：个位是0或5。 3. 3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数（与个位无关）。 4. 同时是2、5的倍数：个位一定是0。 5. 奇数和偶数 偶数：是2的倍数的数（0是最小偶数）； 奇数：不是2的倍数的数。 6. 奇偶运算规律 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数； 奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数。 知识点3：质数、合数与分解质因数 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。最小质数是2，2是唯一的偶质数。 2. 合数：除了1和它本身还有其他因数的数，至少有3个因数。最小合数是4。 3. 特殊数：1既不是质数，也不是合数。 4. 20以内必背质数：2、3、5、7、11、13、17、19。 5. 质因数：一个合数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 6. 分解质因数：把合数写成几个质数相乘的形式，只针对合数。常用方法：短除法，从最小质数除起，直到商为质数。 7. 易错点：分解质因数结果不能出现1、合数，必须全部为质数相乘。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和105        76和24            16和88 【跟踪训练】 用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和42    17和51    30、45和60 【例题讲解】 用长18厘米，宽12厘米的长方形地砖铺成一个正方形图案（都用整块的地砖），这个正方形的边长最小是多少厘米？铺这样一个正方形图案需要多少块砖？ 【跟踪训练】 海水稻具有抗涝、抗盐碱等能力，通过推广种植海水稻，可实现“亿万荒滩变良田”。小新家有一块海水稻试验田，长60米，宽48米。把这块海水稻试验田划分为若干块大小相同的正方形试验田且没有剩余，最少可以划分出多少块？（边长为整米数） 培优练习 一、填空题 1．有两个质数，已知它们的和是18，它们的积是77，这两个质数分别是( )和( )。 2．某天，爸爸的手机显示步数为四位数938□。若这个四位数既有因数2又有因数5，则步数是( )步；若这个四位数既是2的倍数又是3的倍数，则这个步数是( )步。 3．学校以“绿色发展，低碳创新”为主题举办环保宣传活动，同学们积极报名参加。活动开始前，老师想把报名的同学分成几个小组分配任务，他发现每组6人剩1人，每组7人也剩1人，那么报名参加活动的同学至少有( )人。 4．用0、1、8、3四个数字组成一个数，它既是2的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )，最小的四位数是( )。 5．一筐橘子，如果5个装一盒，还剩2个，如果7个装一盒，还剩4个。这筐橘子至少有( )个。 6．一本日记本的密码是一个五位数，它的千位上是最小的质数。百位上是10以内（不含10）最大的合数，十位上是最小的奇数，个位上是最小的偶数。这个数既是3的倍数，又是符合条件的最小的一个数。这本日记本的密码是( )。 7．一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，如果这个数是偶数，最大是( )，如果这个数是奇数，最小是( )。 8．一个数的最大因数与最小倍数的和是72，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 二、选择题 9．“哥德巴赫猜想”是伟大的数学家哥德巴赫曾经提出的想法，即：任意大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。但现在也没有人能够完全证明。下面（    ）符合这一猜想。 A．6＝2＋4 B．14＝11＋3 C．2＝1＋1 D．4＝1＋3 10．一个三位数是46，要使它是3的倍数，里最小填（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 11．把一张长36cm、宽24cm的长方形纸剪成若干张同样的小正方形纸，而且没有剩余，最少可以剪成（    ）张。 A．54 B．24 C．12 D．6 12．小华和小刚两人用骰子做游戏，骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6，掷一次，观察朝上的面标有的数，下面游戏规则公平的有（    ）个。 ①1、2、3小华赢，4、5、6小刚赢； ②大于3小华赢，小于3小刚赢； ③奇数小华赢，偶数小刚赢； ④质数小华赢，合数小刚赢。 A．1 B．2 C．3 D．4 13．有一个四位数的密码，密码的前两位是两位数中最大的质数，密码的后两位是3和5的公倍数，这个密码是一个奇数，这个数最大是（    ）。 A．9995 B．9795 C．9775 D．9975 14．下列说法正确的是（    ）。 ①，2、3都是6的因数。    ②一个数的倍数可能等于它的因数。 ③两个数的公倍数的个数是有限的。    ④将21分解质因数是。 ⑤所有的合数都是偶数。    ⑥1既不是质数也不是合数。 A．①②⑥ B．②④⑤ C．①④⑥ D．③④⑥ 15．A＝2×3×7，B＝3×5×7，A和B的最小公倍数是（    ）。 A．21 B．42 C．210 D．420 16．一包糖果，无论平均分给6个人还是平均分给8个人，都剩下3块，这包糖果至少有（    ）块。 A．51 B．48 C．24 D．27 三、判断题 17．若（a、b均为非零自然数），则a和b的最大公因数是b。( ) 18．最小自然数、最小质数、最小合数的和是6。( ) 19．秦始皇陵步兵俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵俑。3个3个地数，能正好数完。( ) 20．今年2026年是平年，全年共365天，而且2026是3的倍数。( ) 21．在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。( ) 四、计算题 22．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18        25和15        13和26 五、解答题 23．奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 24．拾金不昧、见义勇为、帮扶同学，这些都是当代学生的高尚品格。希望小学的校长将48本笔记本和36支钢笔全部分给五年级的品德模范，要求每名品德模范都有笔记本和钢笔，且每人分得的笔记本数量相同，钢笔数量也相同。每名品德模范至少分得几本笔记本和几支钢笔？ 25．端午节妈妈包了一些粽子。有20个江米粽子和12个黄米粽子。把江米粽子和黄米粽子分成若干串给朋友，需要每串中江米粽子和黄米粽子数量相等。每串粽子最少有几个？ 26．草鞋陪伴红军翻雪山、过草地，见证了“红军不怕远征难”的豪迈，某研学小组参加“编草鞋”体验活动，活动前老师要将两条长度分别为56分米和80分米的麻绳剪成同样的整数分米小段给同学们，且没有剩余，剪的每段麻绳最长为多少分米？一共可以剪成多少段？ 27．把一张长40厘米、宽24厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？裁成的正方形的边长是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：因数与倍数的意义和特征 1. 定义：在非0自然数中，如果 （无余数，a、b、c均为非0自然数），那么b和c是a的因数，a是b和c的倍数。 2. 核心特点（必考） ① 因数和倍数相互依存，不能单独说某个数是因数或倍数； ② 研究范围：只针对非0自然数，小数、分数、0都不研究； ③ 一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身； ④ 一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3. 查找方法 找因数：成对列举，从小到大，避免遗漏重复； 找倍数：用这个数依次乘1、2、3…… 知识点2：2、3、5的倍数特征及奇数、偶数 1. 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8。 2. 5的倍数特征：个位是0或5。 3. 3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数（与个位无关）。 4. 同时是2、5的倍数：个位一定是0。 5. 奇数和偶数 偶数：是2的倍数的数（0是最小偶数）； 奇数：不是2的倍数的数。 6. 奇偶运算规律 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数； 奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数。 知识点3：质数、合数与分解质因数 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。最小质数是2，2是唯一的偶质数。 2. 合数：除了1和它本身还有其他因数的数，至少有3个因数。最小合数是4。 3. 特殊数：1既不是质数，也不是合数。 4. 20以内必背质数：2、3、5、7、11、13、17、19。 5. 质因数：一个合数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 6. 分解质因数：把合数写成几个质数相乘的形式，只针对合数。常用方法：短除法，从最小质数除起，直到商为质数。 7. 易错点：分解质因数结果不能出现1、合数，必须全部为质数相乘。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和105        76和24            16和88 【答案】35和105的最大公因数是35，最小公倍数是105； 76和24的最大公因数是4，最小公倍数是456； 16和88的最大公因数是8，最小公倍数是176。 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】（1）35和105，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为5、7，故最大公因数为，最小公倍数为； （2）76和24，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为2、2，故最大公因数为，最小公倍数为； （3）16和88，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为2、2、2，故最大公因数为，最小公倍数为。 【跟踪训练】 用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和42    17和51    30、45和60 【答案】最大公因数7；最小公倍数210；最大公因数17；最小公倍数51；最大公因数15；最小公倍数180 【分析】用短除法求最大公因数：用这几个数公有的质因数去除，一直除到结果互质为止，把所有公有的除数相乘。 用短除法求最小公倍数：用这几个数公有的质因数去除，一直除到结果两两互质为止，最小公倍数是除数乘最后的商；据此解答。 【详解】35和42 35和42的最大公因数是：7 35和42的最小公倍数是：7×5×6＝210 17和51 17和51的最大公因数是：17 17和51的最小公倍数是：17×1×3＝51 30、45和60        30、45和60的最大公因数是：3×5＝15 30、45和60的最小公倍数是：2×3×5×1×2×3＝180 【例题讲解】 用长18厘米，宽12厘米的长方形地砖铺成一个正方形图案（都用整块的地砖），这个正方形的边长最小是多少厘米？铺这样一个正方形图案需要多少块砖？ 【答案】36厘米；6块 【分析】要用长方形地砖铺成一个正方形图案，正方形的边长必须既是长方形长的倍数，也是宽的倍数。要求正方形的边长最小，即求18和12的最小公倍数。求需要多少块砖，用拼成的正方形的面积除以一块长方形地砖的面积即可。 【详解】18＝2×3×3 12＝2×2×3 所以18和12的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 即正方形的边长最小是36厘米。 36×36÷（18×12） ＝1296÷216 ＝6（块） 答：这个正方形的边长最小是36厘米，铺这样一个正方形图案需要6块砖。 【跟踪训练】 海水稻具有抗涝、抗盐碱等能力，通过推广种植海水稻，可实现“亿万荒滩变良田”。小新家有一块海水稻试验田，长60米，宽48米。把这块海水稻试验田划分为若干块大小相同的正方形试验田且没有剩余，最少可以划分出多少块？（边长为整米数） 【答案】20块 【分析】要把长方形试验田划分成大小相同的正方形且没有剩余，正方形的边长必须是长和宽的公因数。要求最少划分多少块，则每块正方形试验田的面积要尽可能大，即边长要尽可能大，也就是求长和宽的最大公因数。求出最大公因数后，分别用长和宽除以最大公因数，得到长和宽方向各能划分的块数，二者相乘即为总块数。 【详解】 60和48的最大公因数是2×2×3＝12。 即正方形试验田的最大边长为12米。 （60÷12）×（48÷12） ＝5×4 ＝20（块） 答：最少可以划分出20块。 培优练习 一、填空题 1．有两个质数，已知它们的和是18，它们的积是77，这两个质数分别是( )和( )。 【答案】 【分析】根据题意，已知两个质数的积是，可以从积入手进行分解。将分解成两个整数相乘的形式，找出所有的因数组合。然后根据质数的定义（只有和它本身两个因数的数），筛选出两个都是质数的组合。最后验证这两个质数的和是否等于，从而确定最终答案。 【详解】 这两个质数分别是和。 2．某天，爸爸的手机显示步数为四位数938□。若这个四位数既有因数2又有因数5，则步数是( )步；若这个四位数既是2的倍数又是3的倍数，则这个步数是( )步。 【答案】 9380 9384 【分析】这个四位数同时有因数2和5，说明这个数具备2和5的倍数的共同特征；2的倍数，个位上的数是偶数；5的倍数，个位上是0或5； 这个四位数既是2的倍数又是3的倍数，说明这个数具备2和3的倍数的共同特征；2的倍数，个位上的数是偶数；3的倍数，各位上的数的和是3的倍数。 【详解】是2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，是5的倍数，个位可以是0、5，综上，既是2的倍数又是5的倍数，个位只能是0，这个四位数是9380； 是2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8， 如果个位是0，，20不是3的倍数； 如果个位是2，，22不是3的倍数； 如果个位是4，，24是3的倍数； 如果个位是6，，26不是3的倍数； 如果个位是8，，28不是3的倍数； 综上，既是2的倍数又是3的倍数，个位只能填4，这个四位数是9384。 3．学校以“绿色发展，低碳创新”为主题举办环保宣传活动，同学们积极报名参加。活动开始前，老师想把报名的同学分成几个小组分配任务，他发现每组6人剩1人，每组7人也剩1人，那么报名参加活动的同学至少有( )人。 【答案】43 【分析】每组6人剩1人，这意味着报名的总人数减去1人后，正好是6的倍数； 每组7人也剩1人，这意味着报名的总人数减去1人后，正好是7的倍数；综合起来，总人数减去1是6和7的公倍数；求最少的人数，先找6和7的最小公倍数，再把多出的1人加回去即可。 【详解】因为6和7是互质数， 最小公倍数：（人） （人） 即报名参加活动的同学至少有43人。 4．用0、1、8、3四个数字组成一个数，它既是2的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )，最小的四位数是( )。 【答案】 8310 1038 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的数需要同时满足两个条件：个位是0、2、4、6、8；各个数位数字之和能被3整除。先计算0、1、8、3的总和，判断四位数都满足3的倍数要求，只需让个位为0或8；要找最大数就把大数放高位、个位取0，要找最小四位数就把最小非0数放千位，个位取8。 【详解】0＋1＋8＋3＝12，12÷3＝4，说明用这四个数字组成的任意四位数都是3的倍数。 是2的倍数，个位只能是0或8。 求最大四位数：高位尽量放大数字，个位选0，依次排8、3、1、0，得到8310。 求最小四位数：千位不能为0，最小选1，个位选8，中间从小到大排0、3，得到1038。 5．一筐橘子，如果5个装一盒，还剩2个，如果7个装一盒，还剩4个。这筐橘子至少有( )个。 【答案】32 【分析】先观察余数特点，5个装剩2个，补上3个就能装满5个一盒；7个装剩4个，补上3个就能装满7个一盒，说明橘子总数加上3之后，既是5的倍数也是7的倍数，先求出5和7的最小公倍数，再用最小公倍数减去3即可求出最少橘子数量。 【详解】因为5和7互质，所以5和7的最小公倍数是5×7＝35 最少橘子数：35－3＝32（个） 6．一本日记本的密码是一个五位数，它的千位上是最小的质数。百位上是10以内（不含10）最大的合数，十位上是最小的奇数，个位上是最小的偶数。这个数既是3的倍数，又是符合条件的最小的一个数。这本日记本的密码是( )。 【答案】32910 【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身两个因数外还有其他因数的数是合数；能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。首先根据定义确定千位、百位、十位和个位上的数字；然后根据3的倍数的特征（各位数字之和是3的倍数）确定万位上的数字；最后根据“最小的一个数”的要求，确定万位上最小的可行数字，从而得出结果。 【详解】千位：最小的质数是 2，所以千位上是2。 百位：10以内（不含10）的合数有4、6、8、9，其中最大的是9，所以百位上是9。 十位： 最小的奇数是1，所以十位上是1。 个位： 最小的偶数是0，所以个位上是0。此时，这个五位数后四位确定为2910。 2910各数位上的数字和是：，12是3的倍数，所以万位上的数也是3的倍数，分别是3、6、9，其中3是符合条件的最小的一个数，所以这个五位数是32910。 7．一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，如果这个数是偶数，最大是( )，如果这个数是奇数，最小是( )。 【答案】 90 15 【分析】同时满足是3的倍数、又有因数5的数，这个数是15的倍数； 15的倍数中偶数是15和偶数的乘积，所以在两位数的范围内找最大的符合条件的数；偶数个位必须是偶数，因此个位只能是0，十位取最大的一位数9。 15的倍数中奇数是15和奇数的乘积，所以在两位数的范围内找最小的符合条件的数；奇数个位必须是奇数，因此个位只能是5，十位是最小的一位数1。 【详解】如果这个数是偶数，最大是90。 90既是3的倍数，又有因数5。 如果这个数是奇数，最小是15。 15既是3的倍数，又有因数5。 8．一个数的最大因数与最小倍数的和是72，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 【答案】36＝2×2×3×3 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。因为一个数的最大因数与最小倍数的和是72，所以这个数的2倍是72。用72÷2即可计算出这个数，再根据分解质因数的方法，将其写成几个质数相乘的形式。 【详解】72÷2＝36，所以这个数是36。 36＝2×2×3×3。 二、选择题 9．“哥德巴赫猜想”是伟大的数学家哥德巴赫曾经提出的想法，即：任意大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。但现在也没有人能够完全证明。下面（    ）符合这一猜想。 A．6＝2＋4 B．14＝11＋3 C．2＝1＋1 D．4＝1＋3 【答案】B 【分析】质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身，不能被其他自然数整除的数。结合哥德巴赫猜想“任意大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”的核心要求，逐一验证每个选项，判断拆分的两个数是否均为质数，同时注意1既不是质数也不是合数，排除不符合要求的选项。 【详解】A．6＝2＋4，4是合数，不是质数，不符合猜想要求； B．14＝11＋3，14是大于2的偶数，11和3均为质数，符合猜想要求。 C．2＝1＋1，2不大于2，且1不是质数，不符合猜想要求； D．4＝1＋3，1不是质数，不符合猜想要求。 10．一个三位数是46，要使它是3的倍数，里最小填（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 3的倍数特征的是：一个数各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。这个三位数是46，先计算已知数位的和：4＋6＝10，再依次验证。 【详解】A．填1：10＋1＝11，11不是3的倍数，不符合； B．填2：10＋2＝12，12是3的倍数，符合要求，且是符合条件里最小的数。 C．填3：10＋3＝13，13不是3的倍数，不符合； D．填4：10＋4＝14，14不是3的倍数，不符合。 因此方框里最小填2。 11．把一张长36cm、宽24cm的长方形纸剪成若干张同样的小正方形纸，而且没有剩余，最少可以剪成（    ）张。 A．54 B．24 C．12 D．6 【答案】D 【分析】要把长方形纸剪成同样的小正方形且没有剩余，小正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数。要求剪成的张数最少，则小正方形的面积应最大，即边长应最大，也就是求长和宽的最大公因数。求出小正方形的边长后，分别计算长和宽方向能剪出的个数，相乘即为总张数。 【详解】分解质因数求36和24的最大公因数： 36＝2×2×3×3；24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是：2×2×3＝12 所以小正方形的边长最大是12cm。 36÷12＝3（张） 24÷12＝2（张） 3×2＝6（张） 即最少可以剪成6张。 12．小华和小刚两人用骰子做游戏，骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6，掷一次，观察朝上的面标有的数，下面游戏规则公平的有（    ）个。 ①1、2、3小华赢，4、5、6小刚赢； ②大于3小华赢，小于3小刚赢； ③奇数小华赢，偶数小刚赢； ④质数小华赢，合数小刚赢。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6，每个数朝上的可能性相等。只需统计每种规则下两人获胜对应的数字个数，若个数相等，则游戏公平；若个数不相等，则游戏不公平。据此对①②③④四种规则逐一进行分析。 奇数：不能被2整除的整数；偶数：能被2整除的整数（0也是偶数）；质数：大于1，且只有1和它本身两个因数的自然数；合数：大于1，且除了1和它本身还有其他因数的自然数。 【详解】①小华赢的数有1、2、3，共3个；小刚赢的数有4、5、6，共3个。因为3＝3，两人获胜的可能性相等，此规则公平； ②大于3的数有4、5、6，共3个；小于3的数有1、2，共2个。因为3≠2，两人获胜的可能性不相等，此规则不公平； ③奇数有1、3、5，共3个；偶数有2、4、6，共3个。因为3＝3，两人获胜的可能性相等，此规则公平； ④质数有2、3、5，共3个；合数有4、6，共2个（1既不是质数也不是合数）。因为3≠2，两人获胜的可能性不相等，此规则不公平。 综上所述，公平的规则有①和③，共2个。 13．有一个四位数的密码，密码的前两位是两位数中最大的质数，密码的后两位是3和5的公倍数，这个密码是一个奇数，这个数最大是（    ）。 A．9995 B．9795 C．9775 D．9975 【答案】C 【分析】质数的定义：除了1和它本身以外不再有其他的因数的自然数。奇数的特征：不能被2整除的数（个位上是1、3、5、7、9）是奇数。先根据质数的定义确定密码的前两位数字，再根据公倍数的特征和奇数的定义确定密码的后两位数字，最后根据数值最大的要求组合得出结果，并与选项进行对照。 【详解】确定前两位数字：97只有因数1和97，是质数。所以密码的前两位数字是97； 确定后两位数字：3和5的公倍数即是15的倍数。两位数中15的倍数有：15、30、45、60、75、90； 筛选奇数：因为这个密码是一个奇数，所以个位数字必须是1、3、5、7、9，在后两位的可能数值中，15、45、75的个位是奇数，30、60、90的个位是偶数，所以后两位只能是15、45、75； 要使这个四位数最大，后两位数字应尽可能大。在15、45、75中，最大的是75； 综上所述，这个数最大是9775。 14．下列说法正确的是（    ）。 ①，2、3都是6的因数。    ②一个数的倍数可能等于它的因数。 ③两个数的公倍数的个数是有限的。    ④将21分解质因数是。 ⑤所有的合数都是偶数。    ⑥1既不是质数也不是合数。 A．①②⑥ B．②④⑤ C．①④⑥ D．③④⑥ 【答案】A 【分析】①在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 ②一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身。 ③两个数的公因数是有限的，公倍数是无限的。 ④分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式。 ⑤能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个合数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数。 ⑥1既不是质数，也不是合数。 【详解】①2×3＝6，2和3都是6的因数，原说法正确。 ②如6，6的最小倍数是6，所以一个数的倍数可能等于它的因数，原说法正确。 ③两个数的倍数是无限的，所以公倍数也是无限的。原说法错误。 ④21分解质因数：21＝3×7，原式21＝1×3×7，1不是质因数，原说法错误。 ⑤9是合数，9是奇数，所以不是所有的合数都是偶数，原说法错误。 ⑥1既不是质数，也不是合数，原说法正确。 说法正确的有①②⑥。 15．A＝2×3×7，B＝3×5×7，A和B的最小公倍数是（    ）。 A．21 B．42 C．210 D．420 【答案】C 【分析】根据最小公倍数的求法，两个数的最小公倍数等于它们公有质因数与独有质因数的连乘积。观察和的质因数分解式，找出公有质因数和独有质因数，相乘即可得到最小公倍数。 【详解】已知，。 和公有的质因数是和。 独有的质因数是，独有的质因数是。 和的最小公倍数是： 16．一包糖果，无论平均分给6个人还是平均分给8个人，都剩下3块，这包糖果至少有（    ）块。 A．51 B．48 C．24 D．27 【答案】D 【分析】根据题意，糖果总数减去剩下的3块后，既能被6整除，也能被8整除，说明糖果总数减去3是6和8的公倍数；要求至少有多少块，即求6和8的最小公倍数，再加上剩下的3块。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 24＋3＝27（块） 三、判断题 17．若（a、b均为非零自然数），则a和b的最大公因数是b。( ) 【答案】√ 【分析】两个数成倍数关系，较小数是它们的最大公因数。 【详解】因为（、 均为非零自然数），即是的7倍，所以和的最大公因数是 ，原题说法正确。 故答案为：√ 18．最小自然数、最小质数、最小合数的和是6。( ) 【答案】√ 【分析】表示物体个数的数叫自然数，最小的自然数为0；自然数中，除了1和它本身之外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数。由此可知，最小质数为2，最小的合数为4，据此即能求出它们的和是多少。 【详解】最小的自然数是0，最小的质数是2，最小的合数是4，它们的和为：0＋2＋4＝6。 故答案为：√ 19．秦始皇陵步兵俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵俑。3个3个地数，能正好数完。( ) 【答案】√ 【分析】判断一个数能否3个3个地数完，即判断这个数是否是3的倍数。根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此计算264各个数位上的数字之和进行判断。 【详解】264各个数位上的数字之和： 因为12是3的倍数，所以264是3的倍数。 即3个3个地数，能正好数完。题目说法正确。 故答案为：√ 20．今年2026年是平年，全年共365天，而且2026是3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】判断平年、闰年的方法：用年份除以4（整百年份除以400），有余数为平年，无余数为闰年；判断一个数是否是3的倍数，可以把这个数每一位上的数字全部加起来，如果得到的和能被3整除，那这个数就是3的倍数；如果和不能被3整除，这个数就不是3的倍数。分别验证题干中的两个结论。 【详解】 有余数，所以2026年是平年，全年共365天，这部分说法正确； 不是3的倍数，所以2026不是3的倍数，这部分说法错误。 综上所述，原题说法错误。 故答案为：× 21．在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。( ) 【答案】× 【分析】奇数是指不是的倍数的数，偶数是指是的倍数的数。质数是指只有和它本身两个因数的数，合数是指除了和它本身还有别的因数的数。是奇数但非质非合，是偶数但是质数，此外奇数中也有合数如。据此判断。 【详解】奇数不都是质数，例如是奇数，但的因数有、、，它是合数；是奇数，但它既不是质数也不是合数。 偶数不都是合数，例如是偶数，但的因数只有和，它是质数。 因此，原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 22．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18        25和15        13和26 【答案】24和18：最大公因数6，最小公倍数72； 25和15：最大公因数5，最小公倍数75； 13和26：最大公因数13，最小公倍数26 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是：2×3＝6 24和18的最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72 （2）25＝5×5 15＝3×5 25和15的最大公因数是：5； 25和15的最小公倍数是：3×5×5＝75； （3）13和26是倍数关系，所以13和26的最大公因数是13，最小公倍数是26。 五、解答题 23．奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】2株、18株，或者5株、15株 【分析】先写出20以内的质数，根据两种花的总数是20株，求出另一种花的数量，验证哪一组是一个质数一个合数，且合数是质数的倍数即可。 【详解】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。 质数取2，20－2＝18，18是合数，且是2的倍数，2和18可以； 质数取3，20－3＝17，17不是合数，排除； 质数取5，20－5＝15，15是合数，且是5的倍数，5和15可以； 质数取7，20－7＝13，13不是合数，排除； 当质数取11，13，17，19时，质数大于合数，无法满足合数是质数的倍数，排除。 答：这两种花可能2株、18株，或者5株、15株。 24．拾金不昧、见义勇为、帮扶同学，这些都是当代学生的高尚品格。希望小学的校长将48本笔记本和36支钢笔全部分给五年级的品德模范，要求每名品德模范都有笔记本和钢笔，且每人分得的笔记本数量相同，钢笔数量也相同。每名品德模范至少分得几本笔记本和几支钢笔？ 【答案】 本；支 【分析】根据题意，笔记本和钢笔都要全部分完，且每人分得的数量相同，说明品德模范的人数必须是和的公因数。题目要求每名品德模范分得的物品数量“至少”是多少，意味着品德模范的人数要尽可能“最多”。因此，解题思路是先求和的最大公因数，确定最多有多少名品德模范，再用物品总数除以人数，即可得到每人分得的最少数量。 【详解】的因数有： 的因数有： 和的公因数有： 其中最大公因数是，所以最多有名品德模范。 每名品德模范分得笔记本的数量： （本） 每名品德模范分得钢笔的数量： （支） 答：每名品德模范至少分得本笔记本和支钢笔。 25．端午节妈妈包了一些粽子。有20个江米粽子和12个黄米粽子。把江米粽子和黄米粽子分成若干串给朋友，需要每串中江米粽子和黄米粽子数量相等。每串粽子最少有几个？ 【答案】8个 【分析】根据题意，把20个江米粽子和12个黄米粽子分成若干串，且每串中江米粽子和黄米粽子数量相等，串数最多，则每串粽子的数量最少。 先求出20和12的最大公因数，也就是最多的串数，再用粽子总数除以串数，即可求出每串粽子最少的数量。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 20和12的最大公因数是：2×2＝4 即最多可以分成4串。 每串中江米粽子的数量：20÷4＝5（个） 每串中黄米粽子的数量：12÷4＝3（个） 每串粽子的总数量：5＋3＝8（个） 答：每串粽子最少有8个。 26．草鞋陪伴红军翻雪山、过草地，见证了“红军不怕远征难”的豪迈，某研学小组参加“编草鞋”体验活动，活动前老师要将两条长度分别为56分米和80分米的麻绳剪成同样的整数分米小段给同学们，且没有剩余，剪的每段麻绳最长为多少分米？一共可以剪成多少段？ 【答案】 8 分米；17 段 【分析】要把两条不同长度的绳子剪成同样的整数分米小段且没有剩余，每段的长度必须是两条绳子长度的公因数；要求每段最长，即求和的最大公因数。求出每段长度后，分别用两条绳子的总长度除以每段长度，求出各自的段数，最后相加即可得到总段数。 找最大公因数方法：把两个数分解成质数相乘；把相同质因数全部相乘，积就是最大公因数。 【详解】和分解质因数： 和的最大公因数是： 所以剪的每段麻绳最长为分米。 一共可以剪成的段数： （段） 答：剪的每段麻绳最长为 分米，一共可以剪成段。 27．把一张长40厘米、宽24厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？裁成的正方形的边长是多少厘米？ 【答案】15个；8厘米 【分析】由题意可知，把长方形纸裁成同样大小且没有剩余的正方形，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数。要求正方形的面积尽可能大，则边长应是长和宽的最大公因数。求出最大公因数确定边长后，分别计算长和宽方向能裁出的个数，二者相乘即为至少可以裁成的正方形总个数。 【详解】 40和24的最大公因数是。 （个） （个） （个） 答：至少可以裁15个，裁成的正方形的边长是8厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $