湖南长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二下学期期末考试 数学 命题人、审题人：吴瑶 蔡毅 王丹 袁名波 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为实数，集合，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ） A. 240 B. 600 C. 900 D. 1200 7. 已知、，且，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（ ） A. 数列和都严格增 B. 数列严格增，数列严格减 C. 数列严格减，数列严格增 D. 数列和都严格减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，公比为q，则（ ） A. q＝±2 B. ＝±12 C. 是公比为4的等比数列 D. 是公比为2的等比数列 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. B. 若将向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是 C. 若在上有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调，则的最大值是 11. 双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为___________． 13. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 14. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D． （1）证明：； （2）若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知抛物线为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交曲线C于另一点B，交x轴的正半轴于点，记点B关于x轴的对称点为点交x轴于点P，且． （1）求证：点关于原点对称； （2）求点P到直线的距离d的取值范围． 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 19. 设函数，. （1）若对，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 高二下学期期末考试 数学 命题人、审题人：吴瑶 蔡毅 王丹 袁名波 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接交于点E，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 又因为四边形为平行四边形，所以E为的中点， 所以为的中位线，所以D为的中点． 又因为为等边三角形，所以． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）设，则， 由消x得，得 设，知三点共线，又， 则有，即， 所以点关于原点对称． （2） 【18题答案】 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为百人 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意知，，故， 构造函数， 则， 当时，均单调递增，所以函数在上单调递增， 而，则在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 即， 当时， ， 综上所述， 恒成立，即； （ii）不存在，在数列中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： ，则，， 设，即，可得， 因为在上单调递增， 对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又是递增数列，故. 假设数列中存在连续三项构成等差数列，则， 故， 整理得，该方程无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $